a.a. 2017/2018 Stefano Bifaretti Vincenzo Bonaiuto Dipartimento di Ingegneria Industriale

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1 a.a. 2017/2018 Stefano Bifaretti Vincenzo Bonaiuto Dipartimento di Ingegneria Industriale

2 Le macchine in c.a. impiegate negli azionamenti industriali sono caratterizzate da un circuito elettrico di statore costituito da un avvolgimento trifase e da un circuito rotorico monofase (macchine sincrone) oppure trifase (macchine asincrone). N S Macchina asincrona Macchina sincrona 2/39

3 Lo studio del comportamento statico e dinamico dei motori in c.a. è alquanto più complesso e laborioso di quello dei motori in c.c. Basta pensare che invece che da circuiti monofase in corrente continua i motori in c.a. sono caratterizzati da circuiti trifase in c.a. Per semplificare la trattazione si ricorre ad una schematizzazione bifase equivalente che consente di ridurre il numero di equazioni del modello matematico. La schematizzazione bifase equivalente può, in generale, venire applicata a qualsiasi avvolgimento polifase simmetrico; nel seguito si prenderanno in considerazione solo avvolgimenti trifase. 3/39

4 Si consideri un avvolgimento trifase simmetrico, cioè costituito da tre avvolgimenti monofasi uguali e disposti in modo che i loro assi formino tra loro angoli uguali a 2p/3. R t, L t ed M rappresentano, rispettivamente, la resistenza l induttanza propria di ogni avvolgimento e la mutua induttanza tra due avvolgimenti. 4/39

5 Per ottenere dei modelli facilmente utilizzabili è necessario introdurre alcune ipotesi semplificative, che consistono: nel trascurare le eventuali anisotropie presenti nel circuito magnetico; nel considerare il circuito magnetico lineare; nel supporre che tutte le perdite siano dovute solo alle correnti che circolano nei circuiti di statore e di rotore della macchina (si trascurano le perdite localizzate nel ferro della macchina). 5/39

6 Trascurando le perdite nel ferro, le tensioni applicate ai singoli avvolgimenti sono legate alle correnti e ai flussi dalle seguenti equazioni differenziali: 6/39

7 Nell ipotesi di linearità dei circuiti magnetici, i flussi e le correnti sono legati tra loro dalle seguenti relazioni lineari: Il comportamento del circuito è descritto mediante un sistema di tre equazioni differenziali tra loro dipendenti. 7/39

8 Tale sistema può essere semplificato ricorrendo alla schematizzazione bifase equivalente, che consente di ottenere un sistema composto da tre equazioni differenziali indipendenti. Il passaggio dalla schematizzazione trifase a quella bifase sarà descritto inizialmente mediante una opportuna trasformazione lineare di variabili, definita a priori; successivamente si presenterà una interpretazione fisica della trasformazione. 8/39

9 Nella trasformazione bifase equivalente, le variabili (tensioni, correnti e flussi) sono rappresentate, invece che dalle loro componenti secondo gli avvolgimenti 1, 2 e 3, dalle componenti secondo tre avvolgimenti fittizi a, b e 0. Le componenti di ciascuna variabile, riferite a tali avvolgimenti, sono legate a quelle riferite agli avvolgimenti 1, 2 e 3 dalla seguente trasformazione lineare: 9/39

10 La trasformazione è biunivoca; infatti da x a, x b e x 0 è possibile ricavare le componenti x 1, x 2 e x 3 mediante la seguente trasformazione inversa: 10/39

11 Sostituendo queste espressioni in quelle del modello trifase e moltiplicando ambo i membri di tutte le equazioni per 6, si ottiene: 11/39

12 Il nuovo modello coincide con quello che descrive il comportamento del seguente sistema di avvolgimenti composto da due avvolgimenti (a e b) uguali tra loro e disposti secondo due direzioni perpendicolari (quindi, non concatenati tra loro) e da un terzo avvolgimento (0), a sua volta non concatenato con i precedenti. 12/39

13 I parametri degli avvolgimenti che compaiono nella rappresentazione bifase sono legati a quelli degli avvolgimenti originari dalle seguenti relazioni. Se i tre avvolgimenti 1, 2 e 3 sono collegati a stella senza neutro, la somma delle tre correnti i 1, i 2 e i 3 risulta nulla; pertanto la corrente i 0 è sempre nulla e l avvolgimento 0 è aperto. Dualmente, nel caso di collegamento a triangolo è la somma delle tensioni v 1, v 2 e v 3 ad essere nulla e l avvolgimento 0 si trova cortocircuitato. 13/39

14 L avvolgimento 0 non è concatenato con gli altri due, pertanto, quando l avvolgimento trifase è alimentato con solo tre fili (come sempre avviene quando l alimentazione è ottenuta impiegando un convertitore statico), sia la tensione v 0 che la corrente i 0 sono nulle ed è sufficiente, nella schematizzazione bifase, considerare solo gli avvolgimenti a e b. 14/39

15 Il modello bifase equivalente risulta, quindi, costituito dalle seguenti due equazioni differenziali: e dai seguenti legami istantanei tra le componenti del flusso e quelle della corrente: 15/39

16 In questa situazione, inoltre, la trasformazione inversa si semplifica in: 16/39

17 Per ricavare una interpretazione fisica della schematizzazione bifase equivalente, conviene introdurre il concetto di vettore rappresentativo di una grandezza trifase che, nel caso di grandezze sinusoidali, conduce alla definizione del vettore rotante. Si consideri un avvolgimento trifase simmetrico, costituito da tre avvolgimenti 1, 2 e 3 uguali e disposti a 120 uno rispetto all altro 17/39

18 Ad ognuna delle componenti secondo i tre avvolgimenti della generica grandezza trifase x (tensione o corrente o flusso) si associa un vettore avente: modulo pari al valore istantaneo della componente; la direzione dell asse del relativo avvolgimento; il verso positivo o negativo a seconda del segno. La terna di grandezze trifasi (x 1, x 2, x 3 ) può venire, istante per istante, rappresentata dai tre vettori (x 1, x 2, x 3 ). Il vettore x pari alla somma vettoriale dei tre vettori x 1, x 2 e x 3, può essere considerato come il vettore rappresentativo della grandezza trifase x. 18/39

19 La trasformazione dai valori istantanei x 1, x 2 e x 3 al vettore x non è biunivoca; infatti, se si somma a tutte e tre le componenti x 1, x 2 e x 3 un generico termine Dx, si ottiene lo stesso vettore rappresentativo x. Affinché la trasformazione risulti biunivoca, occorre, pertanto, considerare, oltre al vettore x, uno scalare, x 0, pari alla somma scalare dei valori istantanei delle tre componenti, cioè: 19/39

20 Il vettore rappresentativo x può essere decomposto nelle sue componenti secondo due assi perpendicolari tra loro. In generale si sceglie un sistema di riferimento caratterizzato da una coppia di assi a e b ortogonali tra loro e orientati in modo tale che l asse a abbia la stessa direzione dell asse dell avvolgimento 1. 1 a x x a b x b /39

21 Confrontando le due trasformazioni: 21/39

22 si ricava: I due coefficienti e sono stati introdotti nella trasformazione bifase equivalente al fine di mantenere uguali le potenze nei due sistemi (trifase e bifase). 22/39

23 Si vuole ora determinare come si modificano le relazioni che legano tra loro le componenti della tensione, della corrente e del flusso quando, invece delle proiezioni dei loro vettori rappresentativi secondo gli assi a e b, fissi con l avvolgimento trifase, si considerano le proiezioni secondo due assi ortogonali, d e q, fittizi e rotanti con una velocità angolare w rispetto agli assi a e b. 23/39

24 o, equivalentemente: 24/39

25 Sostituendo queste espressioni in quelle del modello bifase equivalente si ottiene: 25/39

26 E possibile prendere in considerazione le componenti della tensione, della corrente e del flusso secondo due assi ortogonali d e q, fittizi e rotanti con una velocità angolare w qualsiasi rispetto all avvolgimento reale; in quest ultimo caso, però, occorre tenere conto dei termini mozionali -w q e w d. 26/39

27 Trasformazione bifase con assi fissi Quando l alimentazione è con solo tre conduttori si ha: x 0 =0 27/39

28 La trasformazione inversa si semplifica in: 28/39

29 Il modello bifase equivalente risulta, quindi, costituito dalle seguenti due equazioni differenziali: e dai seguenti legami istantanei tra le componenti del flusso e quelle della corrente: 29/39

30 Assi rotanti 30/39

31 31/39

32 Quando un avvolgimento trifase è alimentato con una terna simmetrica di tensioni sinusoidali si ha: 32/39

33 Applicando la trasformazione bifase con assi fissi, si ottiene: Due tensioni sfasate di 90 e di ampiezza pari a cioè pari al valore efficace della tensione concatenata (fase-fase). 33/39

34 Assumendo, quindi, un sistema di riferimento rotante, rispetto agli assi fissi, con una velocità angolare pari alla pulsazione W a delle tensioni di alimentazione ed indicato con 0 l angolo che l asse d forma con l asse a nell istante iniziale t = 0, si ricavano le seguenti espressioni delle tensioni v d e v q : ovvero due tensioni costanti. 34/39

35 Se viene scelto 0 = 0, si ottiene: Asse diretto orientato secondo la direzione del vettore di tensione. 35/39

36 Nel funzionamento a regime permanente, anche le componenti delle correnti e dei flussi, riferite agli stessi assi, saranno costanti; quindi, i vettori rappresentativi di tutte le grandezze trifasi sono caratterizzati da un modulo ed una fase costanti. E, pertanto, possibile effettuare una rappresentazione polare delle grandezze elettromagnetiche relative all avvolgimento. La rappresentazione polare è del tutto analoga alla rappresentazione con fasori, utilizzata in Elettrotecnica per studiare il comportamento a regime permanente di un circuito elettrico lineare con alimentazione sinusoidale. 36/39

37 Sulla base di tale analogia, vari Autori utilizzano, per rappresentare le grandezze trifasi, la dizione fasore invece che quella di vettore rappresentativo; occorre, comunque, notare che, la rappresentazione a fasori è impiegata in Elettrotecnica per analizzare il comportamento a regime permanente e con alimentazione sinusoidale mentre quella con i vettori rappresentativi delle grandezze trifasi può essere utilizzata anche per analizzare il comportamento transitorio e non implica andamenti sinusoidali delle grandezze elettromagnetiche. 37/39

38 Occorre osservare che spesso l avvolgimento statorico delle macchine in corrente alternata è realizzato in modo da presentare più coppie di poli. Quando il numero p di coppie polari è diverso dall unità, ad ogni periodo della tensione di alimentazione il suo vettore rappresentativo compie una rotazione pari all angolo giro diviso per il numero di coppie polari. Per semplificare l impiego della trasformazione da assi fissi ad assi rotanti è conveniente fare riferimento ad un avvolgimento equivalente, realizzato con una sola coppia di poli. 38/39

39 In questo avvolgimento equivalente, il vettore rappresentativo della tensione statorica compie un giro ad ogni periodo, cioè ruota con una velocità angolare pari a p volte quella effettiva. La velocità di rotazione dei vettori rappresentativi, riferiti all avvolgimento equivalente con una sola coppia di poli, sarà indicata come velocità elettrica ed espressa in radianti elettrici al secondo; la dizione velocità elettrica si giustifica con la considerazione che, quando l alimentazione è sinusoidale, questa risulta coincidente con la pulsazione dell alimentazione. 39/39