SOLUZIONE della Prova TIPO A per:

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1 SOLUZIONE della Prova TIPO A per: Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti): 6 dei 10 esercizi numerici (nell effettiva prova d esame verranno selezionati a priori dal docente) + domande a risposta multipla (v. ultime due pagine) Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (6 crediti) / CONTROLLI AUTOMATICI : tutti i 10 esercizi numerici (escluse le domande a risposta multipla nelle ultime 2 pagine) ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema costituito da un motore elettrico ed una coppia di pulegge connesse da una cinghia elastica, il cui obiettivo è movimentare un dispositivo di massa m (es. la testina di una stampante): (Figura adattata da Modern Control Systems di R. Dorf R. Bishop, Pearson International Ed.) Le equazioni differenziali che descrivono il modello dinamico del sistema, ottenute dal bilancio delle forze generalizzate agenti sulle parti in movimento, sono le seguenti: Si determini il corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati, del tipo:

2 fissando le seguenti scelte per stato, ingresso e uscita: Occorre: sostituire la notazione delle variabili di stato, ingresso e uscita sostituire nella terza equazione l espressione di T 1 -T 2 ottenuta dalla seconda equazione notare che la derivata della prima variabile di stato corrisponde alla differenza tra la terza variabile di stato e la seconda: Si ottengono così le seguenti tre equazioni differenziali del primo ordine, per ciascuna derivata di una singola variabile di stato: Da queste equazioni si ottiene direttamente la forma delle matrici A e B: Le matrici C e D si ottengono in modo immediato dall espressione dell uscita y = x 1 : poiché tale uscita non dipende dall ingresso D = 0 (sistema puramente dinamico) e la matrice di dimensione 1x3 che estrae la prima variabile dal vettore di stato è: ESERCIZIO 2. Dato il modello ottenuto nell Esercizio 1, si sostituiscano i seguenti valori per i parametri fisici: m = 10; r = 0,1; k = 20; J = 0,2; b = 0,6; k m = 0,2

3 e si verifichi se il sistema sia o meno completamente controllabile, calcolando la matrice di raggiungibilità ed il relativo rango. Le matrici del sistema diventano: Pertanto: rango(p) = 3 Perciò il sistema E / NON E completamente controllabile. ESERCIZIO 3. Per il sistema con i valori numerici indicati nell Esercizio 2, si progetti una retroazione stato-ingresso (i.e. u = H x + v ), in modo tale che: gli autovalori assegnabili del sistema chiuso in retroazione siano tutti reali e distinti; il più lento di tali autovalori abbia tempo di assestamento (al 5%) di 1 secondo e gli altri assegnabili abbiano valori assoluti progressivi di una unità (es. -3, -4, ecc.). Poiché il sistema è completamente controllabile (v. Esercizio 2) è possibile assegnare arbitrariamente tutti e tre gli autovalori del sistema chiuso in retroazione con una retroazione stato-ingresso. Gli autovalori desiderati sono determinali dalle specifiche dell esercizio ricordando che il tempo di assestamento al 5% del modo corrispondente ad un autovalore reale è: Pertanto, per avere T a = 1, l autovalore più lento deve essere pari a λ 1 = -3, mentre gli altri, scelti progressivamente più negativi devono essere: λ 2 = -4, λ 3 = -5.

4 Con tale scelta, il polinomio caratteristico desiderato per il sistema chiuso in retroazione deve essere: La matrice H del controllore deve essere di dimensione 1x3, cioè H = [h 1 h 2 h 3 ], pertanto la matrice del sistema chiuso in retrazione con i coefficienti incogniti di H risulta: Di conseguenza, il polinomio caratteristico del sistema chiuso in retroazione risulta: Uguagliando tra loro i coefficienti dei termini di pari grado nel polinomio caratteristico desiderato e nel polinomio caratteristico del sistema chiuso in retroazione si ottengono i 3 vincoli per determinare i 3 coefficienti incogniti di H: la cui soluzione finale è: H = [ ] ESERCIZIO 4. Si determini la trasformata di Laplace del seguente segnale nel dominio del tempo f(t):

5 La soluzione NOTA: nell istante t = 1 la pendenza del segnale non cambia, pertanto in quell istante viene applicato solamente un gradino di ampiezza -2. Negli istanti t = 0, t = 3 e t = 4 sono applicate delle rampe con pendenza rispettivamente +1, -2 e +1: F(s) = 1/s 2 e -s ( 2/s ) e -3s ( 2/s 2 ) + e -4s ( 1/s 2 ) ESERCIZIO 5. Si determini la funzione di trasferimento del seguente schema a blocchi: u A + - B y D C

6 Y / U = ( A B ) / ( 1 + A B + B C + A D) Per ridurre lo schema è necessario separare gli anelli di retroazione passanti per D e C, intrecciati nello schema originario. Lo schema è infatti equivalente (spostando la diramazione che precede B a valle di B stesso) a: u A + - B y C D/B e quindi a: u + - A + - B y C 1 + D/B NOTA: il risultato si può ottenere anche spostando il nodo sommatore della retroazione passante per C a monte di A. ESERCIZIO 6. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi:

7 si calcoli il valore di K tale per cui risulti: qualora sia ad u che a d siano applicati dei gradini unitari: Per calcolare l uscita a regime nella condizione descritta dal testo occorre considerare la linearità del sistema e, pertanto, la sovrapposizione degli effetti di u e d: nella quale G 1 (s) è la funzione di trasferimento dell anello avente come ramo di retroazione il blocco (s+6)/(s+4), mentre G 2 (s) è la funzione di trasferimento dell anello avente come ramo diretto K/(s+3) e gli altri due blocchi come retroazione. Sostituendo all espressione ottenuta per y(s) le funzioni di Laplace dei segnali di ingresso u(s) e d(s), applicando il teorema del valore finale: ed imponendo il vincolo di progetto si ottiene: K = 1/9 ESERCIZIO 7.

8 Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si disegni il corrispondente luogo delle radici valido per K > 0 (luogo diretto). NOTA: la funzione di trasferimento di anello ha uno zero (n z = 1) in -4 e tre poli (n p = 3) rispettivamente in 0, -1 e -2, pertanto il luogo ha due asintoti (numero asintoti = n p - n z = 2), disposti con angolo di π/2 e 3/2 π rispetto all asse reale. Il centro degli asintoti è il punto sull asse reale con coordinata: = 1/2 Im 1 O X /2 1 2 X X Re 1 2

9 ESERCIZIO 8. Dato il sistema dal diagramma a blocchi dell Esercizio 7, si determini il valore di K > 0 per cui il sistema risulti semplicemente stabile. Per tale valore di K si calcolino poi i valori numerici dei corrispondenti poli sull asse immaginario del piano complesso. Il luogo delle radici disegnato in risposta all Esercizio 7 dimostra in effetti che superando un determinato valore di K il sistema in retroazione diventa instabile, con una coppia di poli complessi e coniugati. Tale valore limite di K corrisponde appunto alla condizione in cui il sistema è semplicemente stabile (o marginalmente stabile). Applicando il criterio di Routh al polinomio a denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso: si verifica che i due estremi dell intervallo di valori di K per cui il sistema in retroazione risulta stabile sono 0 e 6. Quest ultimo valore, essendo il primo escluso dal vincolo del testo, determina la prima parte della risposta, cioè: K = 6 Sostituendo tale valore, si può facilmente verificare che: dal cui primo termine si ottengono i poli complessi richiesti: ESERCIZIO 9. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: Si calcolino i valori di K 1 e K 2 tali per cui il sistema ad anello chiuso risulti avere tempo di assestamento T a = 0,5 secondi e coefficiente di smorzamento δ = 0,6.

10 Una volta ridotti entrambi gli anelli di retroazione il denominatore del sistema ad anello chiuso risulta: Confrontandolo con il tipico denominatore di un sistema del secondo ordine, si può notare che il coefficiente del termine di grado 1 permette di calcolare K 2 considerando che: T a = 3 / ( δ ω n ) = 0,5 δ ω n = K 2 = 12 K 2 = 9 Imponendo inoltre il vincolo sul coefficiente di smorzamento si ottiene che la pulsazione naturale: ω n = 10 ω n 2 = 100 = 2 + K 2 + K 2 K 2 K 1 = 89 / 9 ESERCIZIO 10. Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze:

11 10 4 G(jω) G c (jω)*g(jω) si determinino le due funzioni di trasferimento G(s) e G c (s), supposte a fase minima. NOTA: il grafico tratteggiato è il diagramma di G c (s)*g(s), pertanto per ottenere la funzione di trasferimento di G c (s) è necessario determinare la funzione di trasferimento di G(s) dal grafico non tratteggiato, la funzione di trasferimento corrispondente al diagramma tratteggiato e poi moltiplicare quest ultima per l inversa di G(s), effettuando le opportune semplificazioni per ottenere G c (s) = [G c (s)*g(s)]*g c -1 (s):

12 TEST A RISPOSTA MULTIPLA DOMANDA 1. L ingresso u(t) e l uscita y(t) di un sistema sono legati dalla relazione Tale sistema è: Ο puramente algebrico X puramente dinamico Ο dinamico, non puramente Ο non fisicamente realizzabile NOTA: Il modello del sistema in questione equivale ad un modello nello spazio degli stati con:. Riconducendo questo modello a quello di un generico modello nello spazio degli stati, si può notare come le matrici (di dimensione 1x1) del sistema siano A=0, B=1,C=1 e D=0. Pertanto, il sistema è puramente dinamico ed è fisicamente realizzabile. DOMANDA 2. La retroazione stato-ingresso in un sistema dinamico lineare e stazionario, NON completamente controllabile, NON può modificare gli autovalori della parte: Ο controllabile del sistema Ο osservabile del sistema X non controllabile del sistema Ο non osservabile del sistema DOMANDA 3. La risposta impulsiva di un sistema dinamico lineare e stazionario, completamente osservabile e completamente controllabile, con un solo ingresso e una sola uscita, tende al valore -1 quando il tempo tende all infinito. Tale sistema X è in forma minima Ο è instabile Ο è asintoticamente stabile X è semplicemente stabile DOMANDA 4. Un sistema con funzione di trasferimento G(s) pari a: risulta essere: X semplicemente stabile Ο asintoticamente stabile Ο a fase minima Ο puramente dinamico DOMANDA 5. Un sistema dinamico lineare e stazionario caratterizzato dalla seguente matrice di transizione:

13 X è semplicemente stabile Ο è asintoticamente stabile Ο è instabile Ο è completamente controllabile NOTA: Il termine unitario nella prima riga e prima colonna corrisponde all esponenziale e 0t, cioè ad un autovalore nullo, mentre negli altri termini compare l esponenziale corrispondente ad un autovalore = -2. Non essendo possibile che ci siano altri modi (matrice A e corrispondente e At di dimensione 2x2) si può affermare con certezza che il sistema è semplicemente stabile. Dalla sola informazione sull esponenziale di matrice non si può affermare nulla in merito alla controllabilità e/o osservabilità del sistema. DOMANDA 6. Il tempo di assestamento T a (al +/- 5%) della risposta al gradino per un sistema dinamico tempo-continuo avente funzione di trasferimento pari a: è: Ο T a = 1 Ο T a = 2 X T a = 3 Ο T a = 1/3 DOMANDA 7. Una rete correttrice ad ritardo e anticipo caratterizzata dalla pulsazione centrale X Ο X Ο Attenua l ampiezza per Amplifica l ampiezza per Attenua e introduce un ritardo di fase per Amplifica e introduce un anticipo di fase per DOMANDA 8. Il sistema avente la seguente funzione di trasferimento:

14 può essere reso asintoticamente stabile con uno schema ad anello chiuso, con retroazione unitaria negativa, che includa: Ο un regolatore PI X una rete anticipatrice X un regolatore PD Ο una rete ritardatrice NOTA: La G(s) in questione ha due poli nell origine, perciò la sua risposta armonica (diagramma di Bode) ha fase = -180 per ogni pulsazione. Ciò significa che per qualsiasi valore di K il Margine di Fase sarà nullo ed il sistema chiuso in retroazione marginalmente (i.e. semplicemente) stabile. Per ottenere un Margine di Fase positivo e quindi la stabilità asintotica è necessario un regolatore che introduca un anticipo di fase, cioè una rete anticipatrice o equivalentemente un regolatore PD.