La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi.

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1 Corso di Laurea in Matematica Compito di Fisica (Prof. E. Santovetti) 5 gennaio 019 Nome: La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi. Problema 1 Due sfere conduttrici di raggio 1 = 5.0 cm e = 8.0 cm, poste a distanza d = 1.8 m tra i centri, si trovano rispettivamente al potenziale V 1 = 100 e V = 180 V. Esse vengono messe in contatto tramite un filo conduttore che viene poi rimosso. Determinare (a) il potenziale al quale le sfere si portano, (b) la carica che è passata sul filo e (c) la forza tra di esse. Si assuma d 1, V [V] = 149. Q [C] = F [N] = Problema Nel circuito 1) della Figura 1 un generatore di f.e.m. V g = 50.0 V e resistenza interna g = 50 Ω alimenta un carico L = 50 Ω. Fra i punti a e b del circuito si vuole inserire un attenuatore (circuito in basso nella Figura) costituito da due resistenze in modo da dimezzare la tensione ai capi del carico ma senza che la potenza erogata dal generatore cambi. Calcolare (a) che valori occorre dare a 1 e. (b) Qual è la potenza dissipata nell attenuatore? 1 [Ω] = 5 [Ω] = 50 P [W] = 9.37 Problema 3 Il piano di un anello conduttore, di raggio a = 1.8 cm e resistenza = 3.5 Ω, è perpendicolare a un campo magnetico B uniforme, come mostra la Figura (a). L intensità del campo ha l andamento temporale graficato nella Figura (b). Calcolare (a) la corrente che scorre nell anello all istante t = 5 ms, specificandone il verso. (b) In quale intervallo di tempo la corrente indotta ha intensità massima? (c) Calcolare l energia dissipata sull anello nell intervallo (0 40) ms. Non considerando gli istanti t = 10k ms (k = 1,,3...), di separazione tra i diversi intervalli, c è qualche intervallo di tempo finito nel quale la f.e.m. è evidentemente non costante? Indicare un tempo in cui ciò avviene. Si costruisca un grafico approssimativo della f.e.m. in funzione del tempo. i [A] = [ms] = E [J] = t [ms] = 55 Problema 4 Una nave riceve un segnale radio da un antenna situata su una montagna sulla costa ad un altezza H = 860 m. L antenna che riceve il segnale sulla nave si trova ad un altezza h = 1.4 m sul livello del mare e la lunghezza d onda della trasmissione vale λ = 3.6 m (vedi Figura ). Supponendo la superficie del mare perfettamente riflettente, calcolare l angolo minimo al quale si ha un interruzione totale della comunicazione. Da questa posizione la nave si avvicina all antenna e l angolo aumenta. A quale angolo il segnale ha un primo massimo? Se, per tale massimo, il campo elettrico dell onda ricevuta vale E 0 = V/m, calcolare la potenza dell antenna trasmittente. Si assuma H h e dunque che le due onde che interferiscano siano parallele prima della riflessione. min [ o ] = 8.11 o max [ o ] = 1.68 o P [W] = 0.344

2 1) a b g g Vg V L ) g g Vg a 1 b V/ L Att. Figura 1 Problema Figura Problema 3 h Figura 3 Problema 4 Dati utili: ε 0 = F/m, µ 0 = 4π 10 7 H/m.

3 Soluzione Problema 1 Calcoliamo le cariche inizialmente presenti sulle due sfere Q 1 = 4πε 0 1 V 1 = C Q = 4πε 0 V = C (1) Quando mettiamo in conduzione le due sfere con un filo conduttore, la somma di tale cariche diventa la carica totale dell unico conduttore costituito dalle due sfere (il filo ha capacità trascurabile). Inoltre la capacità delle due sfere in contatto è la somma delle capacità delle due sfere C tot = C 1 +C = 4πε 0 ( 1 + ) agionando sull unico conduttore, troviamo facilmente il suo potenziale dalla carica totale e dalla capacità totale V f = Q 1 + Q = 4πε 0( 1 V 1 + V ) = 1V 1 + V = 149. V C 1 +C 4πε 0 ( 1 + ) 1 + Sapendo il potenziale finale, comune, delle due sfere, possiamo calcolare la carica finale su ciascuna sfera Q 1 = 4πε 0 1 V f = C Q = 4πε 0 1 V f = C La carica passata attraverso il filo si trova facendo la differenza tra quella che c era prima della messa in contatto attraverso il filo e dopo Q = Q 1 Q 1 = Q Q = C La forza tra le due sferette è data dalla legge di Coulomb F = Q 1 Q 4πε 0 d = N. Problema Analizziamo il primo circuito, senza attenuatore. Di questo sappiamo tutto i g = V g g + L = 0.5 A V L = i g L = 5 V P = V g i g = 5 W. Consideriamo ora il nuovo circuito in basso, in cui ho due resistenze incognite, e imponiamo che la potenza rimanga la stessa di prima e che la caduta ai capi di L si dimezzi. La prima considerazione che possiamo fare è che se la potenza rimanere la stessa, essendo la potenza erogata dal generatore il prodotto della f.e.m. del generatore V g per la corrente erogata, anche la corrente del generatore rimane invariata. Conosciamo dunque la corrente passa nel ramo di 1 e dunque possiamo facilmente calcolare la differenza di potenziale che abbiamo ai capi di L, che è poi la differenza di potenziale ai capi del parallelo L in cui passa la corrente i. Imponiamo che questa sia la metà di V L. V = V V L = i g ( L ) = i g L + L i g L = i g L + L = L = 50 Ω Il valore di 1 si trova imponendo che la caduta di potenziale ai suoi capi deve compensare la diminuzione della caduta su L (il punto a mantiene inalterato il suo potenziale). In particolare, essendosi dimezzato V L, la caduta su 1 è anch essa pari a V L / e dunque V 1 = i g 1 = V = i g L 1 = L = 5 Ω La potenza che si dissipa sull attenuatore è la somma delle potenze che si dissipano su 1 e e cioè P = i g 1 + (i g /) = i g( 1 + /4) = W 3

4 Problema 3 Dal grafico dell intensità del campo magnetico si vede che questo varia nel tempo ed, in particolare, ha un andamento diverso nei diversi intervalli di 10 ms. All istante t = 5 ms si vede che il campo cresce in modo lineare ad un ritmo costante B/ = 10 T/s. La f.e.m. indotta nell anello è data dalla legge di Fraraday Neumann e da questa possiamo ricavare la corrente. f.e.m. = dφ(b) = πa B i(5 ms) = f.e.m. = πa B dt = A Il verso della corrente è dato dalla legge di Lenz. Abbiamo un campo entrante nel foglio che crescie nel tempo. La corrente indotta dovrà allora creare un campo uscente dal foglio e dunque deve girare in senso antiorario. L intensità massima della corrente si ha nell intervallo = (30 40) ms perché è in questo intervallo che c è la derivata più grande (in valore assoluto). Per calcolare l energia che si dissipa, dobbiamo calcolare la f.e.m. indotta nei quattro tratti in cui il campo ha un andamento lineare. Dalla figura si evince facilmente che le f.e.m. nei quattro tratti valgono ε 1 = πa B = V 1 ε = πa B = 0 ε 3 = πa B = 1.09 V 3 ε 4 = πa B = V 4 Da queste posso calcolare le potenze nei singoli tratti P = ε / e quindi l enrgia sarà la somma delle energie dissipate nei singoli tratti E J = P i = ε 1 + ε 3 + ε 4 = mw i Dal grafico si vede poi che l unico intervallo dove l andamento non è lineare è = (50 60) ms in cui il campo cresce in modo più veloce. Il grafico approssimativo della f.e.m. indotta è rappresentato nella figura t (ms) Problema 4 Si tratta di un problema di interferenza. La nave riceve due segnali, uno diretto e l altro riflesso dal mare. Questi due segnali sono coerenti perché provenienti dalla stessa sorgente e dunque interferiscono. Inoltre va osservato che, come accade per lo specchio di Lloyd, il raggio riflesso subisce al momento della riflessione uno sfasamento di π. La differenza di cammino tra i due raggi vale r = hsin e lo sfasamento complessivo tra i due segnali sarà allora φ = π λ hsin + π D altra parte l intensità del segnale dipende dallo sfasamento come 4

5 ) I = I max cos ( φ Cerchiamo i minimi dell intensità φ = (m + 1)π 4πh λ sin = mπ sin m = λ h m Il più piccolo angolo si ha per m = 1 e vale sin min 1 = λ h ( ) λ 1 min = sin 1 = 8.11 o h Se ora ci avviciniamo, l angolo cresce e capitiamo sul massimo di interferenza adiacente. I massimi si hanno per φ = mπ 4πh λ sin = (m 1)π sin m = λ (m 1/) h Il massimo adiacente al minimo 1 si trova allora per m = (deve essere più grande) sin max = 3λ 4h max = sin 1 ( 3λ 4h ) = 1.58 o La potenza dell antenna la calcoliamo passando per l intensità della radiazione. Va tuttavia osservato che siamo su un massimo di interferenza per cui il campo misurato è il doppio del campo che produrrebbe la sorgente senza che ci fosse la riflessione. Inoltre ci serve la distanza della nave dalla sorgente che vale Possiamo allora scrivere = H/sin max = 4Hh 3λ = 3950 m I = E 1 µ 0 c = E 0 8µ 0 c = P = I 4π = πe 0 µ 0 c = W 5