UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2016/2017 Appello A - 27 Gennaio 2017

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2016/2017 Appello A - 27 Gennaio Tot. Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e accompagnando le risposte con spiegazioni complete, chiare ed essenziali. Scrivere il proprio nome su ogni foglio nello spazio predisposto. Non è consentito l utilizzo di libri o appunti; non è consentito l uso di calcolatrici. Tempo: 2h30. COGNOME: NOME: MATRICOLA:

2 Esercizio 1. Sia X 1,..., X n un campione casuale estratto da una popolazione con densità esponenziale doppia: f(x; α, β) := 1 2β e x α β, con α, x R, β R (3pt) Determinare la funzione generatrice dei momenti di una variabile X con densità f(x; α, β). Calcolare la media di X e la media di X (2pt) Determinare stimatori di α e β con il metodo dei momenti (basandosi sul campione X 1,..., X n ). 3. (3pt) Determinare stimatori di α e β con il metodo della massima verosimiglianza (basandosi sul campione X 1,..., X n ).

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4 Esercizio 2. Sia f(x; θ) densità di probabilità con θ Θ R (spazio dei parametri) e x χ R (spazio campionario). Sia X un campione di ampiezza 1 estratto da f(x; θ). 1. (3pt) Fornire un esempio esplicito di Θ, χ e f(x; θ) in modo che lo stimatore di massima verosimiglianza (basato su X) sia univocamente determinato ma non sia una statistica sufficiente. (Sugg.: utilizzare una densità discreta e Θ e χ insiemi finiti).

5 Esercizio 3. Sia X 1, X 2, X 3 un campione casuale estratto da una popolazione normale standard. Sia Y una variabile casuale esponenziale di parametro 1/2, indipendente da X 1, X 2, X (3pt) Definire la media campionaria X e la varianza campionaria S 2 del campione X 1, X 2, X 3 e dimostrare che X e S 2 sono indipendenti. 2. (2pt) Determinare la distribuzione di 4S 2 + 6X 2. 3Y

6 Esercizio 4. Sia X 1,..., X n un campione casuale estratto da una popolazione con densità f(x; θ) := θ x 2 I (θ,+ )(x), con θ > 0 (come al solito I (a,b) è la funzione indicatrice dell intervallo (a, b)). 1. (2pt )Enunciare il teorema di Cramér Rao sul limite inferiore della varianza di stimatori. 2. (2pt) Dire se il teorema di Cramér Rao è applicabile al nostro campione X 1,..., X n e - in caso affermativo - calcolare il limite inferiore di Cramér Rao per stimatori non distorti di 2θ. 3. (2pt) Sia X (1) := min{x 1,..., X n }. Determinare una quantità pivotale basata su X (1) e utilizzarla per trovare un intervallo di confidenza per θ con estremo inferiore pari a 0 e livello di confidenza pari al 100γ percento (0 < γ < 1).

7 Esercizio 5. Sia X 1, X 2 un campione casuale estratto da una popolazione con densità con θ > 0. f(x; θ) := (1 + θ)x θ I (0,1) (x), 1. (3pt) Sia Y = X 1 X 2 e Z = 1/X 2. Determinare la densità congiunta di Y e Z e la densità marginale di Y. 2. (3pt) Calcolare E(Z Y ) in funzione di Y, calcolare E(Y Z) in funzione di Z. 3. (2pt) Dimostrare che Y è una statistica sufficiente e minimale per θ, mentre Z non è una statistica sufficiente. 4. (2pt) Si consideri l ipotesi H 0 : θ 1 in alternativa all ipotesi H 1 : θ > 1. Si verifichi che il test T : si rifiuti H 0 se Y > k è un test UMP. Determinare l ampiezza del test in funzione di k con 0 < k < (2pt) Verificare che il test T del punto precedente per l ipotesi H 0 : θ = 1 in alternativa all ipotesi H 1 : θ = 2 è equivalente (a meno della scelta di k) al test del rapporto di verosimiglianza semplice.

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