La variabilità. Monia Ranalli. Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 1 / 14

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1 La variabilità Monia Ranalli Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 1 / 14

2 Sommario Variabilità Definizione Misure di Variabilità Per tutti i caratteri: Entropia Per i carattere quantitativi: Varianza, Scostamento quadratico medio, Range, Differenza interquartile Trasformazione delle variabili e valori standardizzati Box-plot Teorema di Chebyshev Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 2 / 14

3 Variabilità Attitudine del carattere ad assumere modalità diverse su unità diverse Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 3 / 14

4 Omogeneità Un collettivo è omogeneo rispetto ad un carattere, od anche che le sue unità sono tutte omogenee tra di loro, se tutte le unità presentano la stessa modalità del carattere. L omogeneità più bassa si ha quando le frequenze relative sono uguali tra di loro eterogeneità. Gli indici di omogeneità devono assumere il massimo nel caso di omogeneità ed il minimo nel caso di eterogeneità (vale il vicecersa per gli indici di eterogeneità). Tra gli indici di eterogeneità troviamo l entropia: E = K k=1 f k log f k. Varia tra 0 (min entropia) e log K (max entropia). L entropia relativa è pari a E rel = E e varia tra 0 e 1. log K Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 4 / 14

5 Entropia Esempio Classe impiegati n k f k f k log f k Totale E = (max entropia: log 4 = ); E rel = / = Come tutti gli indici di omogeneità/eterogeneità non utilizza tutte le informazioni fornite dalle distribuzioni secondo un carattere quantitativo; tiene conto soltanto del fatto che si verifichi o meno una diversità tra le modalità Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 5 / 14

6 Variabilità per caratteri quantitativi Gli indici di variabilità danno una misura della dispersione dei termini della distribuzione rispetto ad una media o di quanto differiscono tra loro le modalità presenti nelle unità, basandosi su misure delle diversità tra due modalità Esempio Popolazione A Spesa (mila) Scarti Popolazione B Spesa (mila) Scarti La somma degli scarti è sempre pari a 0 Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 6 / 14

7 Osservazioni le due distribuzioni pur presentando la stessa media pari a 8 risultano essere molto diverse; nel secondo collettivo gli scarti sono generalmente minori la media risulta essere maggiormente rappresentativa; per tenere conto di questo aspetto possiamo semplicemente calcolare una media degli scarti elevandoli al quadrato per prescindere dal segno: popolazione A: media scarti al quadrato = 58/6 = 9.67; popolazione B: media scarti al quadrato = 4/6 = in entrambe le popolazioni, la spesa media è di 8 mila ma nella prima è molto più variabile che nella seconda; estraendo la radice quadrata, recuperiamo l unità di misura, ottenendo: popolazione A: radice della media degli scarti al quadrato = 3.11; popolazione B: radice della media degli scarti al quadrato = Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 7 / 14

8 Conclusione Popolazione A Spesa (mila) (x i µ) Totale 58 σ = 58/6 = 3.11 Popolazione B Spesa (mila) (x i µ) Totale 4 σ = 4/6 = 0.82 Si può affermare che: nella popolazione A la spesa differisce mediamente, in più o in meno, di 3.11 mila euro dalla spesa media; nella popolazione B la spesa differisce mediamente, in più o in meno, di 0.82 mila euro dalla spesa media. Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 8 / 14

9 Varianza & Scostamento quadratico medio Distribuzione unitaria Formule Varianza: σ 2 = 1 n n i=1 (x i µ) 2 Scostamento quadratico medio: σ = Distribuzione di frequenza 1 n i=1 n (x i µ) 2 Varianza: σ 2 = 1 n K i=1 (x i µ) 2 n i = K i=1 (x i µ) 2 f i Scostamento quadratico medio: 1 σ = K i=1 n (x K i µ) 2 n i = i=1 (x i µ) 2 f i Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 9 / 14

10 Proprietà gli scarti al quadrato sono sempre non negativi; il loro valore cresce all aumentare della variabilità; si annullano nel caso di assenza di variabilità; se σ 2 x è la varianza di x 1, x 2,..., x n, e σ 2 y è la varianza di y 1, y 2,..., y n, dove y i = a + bx i, allora σ 2 = b 2 σ 2 x e σ y = b σ x. Esempio y i = 3 2x i con µ x = 0 e σ 2 x = 2 σ 2 y = ( 2) 2 2 = 8 e σ y = 2 2 y i = 3 + 1x i con µ x = 0 e σ 2 x = 2 σ 2 y = (1) 2 2 = 2 e σ y = 2 Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 10 / 14

11 Trasformazione delle variabili e valori standardizzati Nelle applicazioni pratiche spesso è utile trasformare i dati in modo da ottenere una media pari a 0 ed una varianza pari a 1 aggiungendo o moltiplicando costanti (trasformazione lineare). data la distribuzione x 1, x 2,..., x n con media µ e varianza σ 2, allora la distribuzione z 1, z 2,..., z n, dove z i = x i µ avrà σ media 0 e varianza 1 z 1, z 2,..., z n sono detti valori standardizzati Infatti: µ z = µ σ + 1 σ µ = 0 e σ z = 1 σ 2 σ2 = 1. Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 11 / 14

12 Altre misure di variabilità Campo di variazione (Range). Data la distribuzione ordinata y 1, y 2,..., y n, definiamo campo di variazione la quantità c = y n y 1 = max min Vantaggi: calcolo rapido Svantaggi: fortemente influenzato dai valori estremi Differenza interquartile. q = q 3 q 1 Vantaggi: calcolo rapido; non influenzato dai valori estremi. Svantaggi: può essere nullo anche in presenza di variabilità. Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 12 / 14

13 Box-plot (Diagramma a scatola) Il box-plot è un modo per rappresentare graficamente i cinque valori di sintesi di una distribuzione: x min, q 1, Me, q 3, x max (minimo, primo quartile, mediana, terzo quartile, massimo). Esempio Data la distribuzione 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, i 5 valori di sintesi sono: 1,2,3,4,6 ed il relativo box-plot è Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 13 / 14

14 Teorema di Chebyshev Per una qualsiasi distribuzione di cui si conoscano solamente la media aritmetica, µ, e lo scarto quadratico medio, σ, la frequenza relativa dei termini della distribuzione, non interni ad un intorno della media di raggio fissato, non può superare un certo limite. Teorema. Data una distribuzione di valori x i dei quali si conosce la media aritmetica, µ, e lo scarto quadratico medio, σ, comunque si fissi un numero reale non negativo ɛ, si ha che i termini non interni all intorno di raggio ɛ della media aritmetica hanno frequenza relativa che non supera f { x i µ ɛ} σ2 ɛ 2. Ranalli M. Variabilità Settimana # 2 14 / 14