3 giugno 2019, es.1) Programmazione lineare

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1 giugno 09, es.) Programmazione lineare Discutere il seguente problema di Programmazione lineare: trovare, se esiste, il massimo di p(x, x, x, x 4 ) = 5 x + x + x + 6 x 4 con i vincoli x k 0 ( k 4) e x + 4 x + 7 x + x 4 = 8 x + 5 x + 8 x + x 4 = 4 x + 6 x + 9 x + 5 x 4 = 0 Si assuma come base iniziale per applicare l algoritmo del simplesso, B = {A, A }, le prime due colonne della matrice dei coefficienti del sistema dei vincoli (si vedrà infatti che la dimensione di * (spazio delle colonne) è ). - La riduzione a scala per righe della matrice completa del sistema dà come risultato - ciò conferma la dimensione di *, spazio delle colonne della matrice A, e anche il fatto che B, colonna dei termini noti, appartiene ad *. La prima tabella del simplesso, relativa alla base B = {A, A }, è: x v = x c v = c = A A A A 4 B x v = x c v = c = (z - c ) (z - c ) (z - c ) (z 4 - c 4 ) (z) Siccome z - c < 0, bisogna passare ad una nuova base. Deve entrare A e deve uscire A v = A perché soltanto α, = è positivo. La trasformazione pivotale dà luogo alla seguente nuova tabella del simplesso: x v = x c v = c = 5 A A A A 4 B x v = x c v = c = (z - c ) (z - c ) (z - c ) (z 4 - c 4 ) (z) Siccome adesso i valori z i - c i sono tutti non negativi, l algoritmo è terminato. Il massimo è raggiunto in (x, x, x, x 4 ) = (4, 0,, 0) e vale p(4, 0,, 0) = z = 6. giugno 09, es.) Distribuzioni Sia, per ogni n N, f n (x) n sen (n x) se 0 x π n. 0 altrimenti a) Tracciare un grafico qualitativo di f e di f ; poi, dimostrare che la successione (f n ) converge puntualmente a 0 in R. b) Indicata con T n la distribuzione di tipo funzione associata a f n, mostrare che (T n ) converge in (R) a una distribuzione T, specificando chi è T. a) Grafici di f e f :

2 aro_ nb [_] = < < π [] [{[] [ ]} { - } ] Convergenza puntuale a 0: se x 0 allora f n (x) = 0 per ogni n, quindi non c è nulla da dimostrare. Se x > 0 allora f n (x) = 0 quando π n x, cioè quando n π x, perciò anche per x > 0 è lim n + f n (x) = 0. b) Calcoliamo: + - f (x) dx = π 0 sen x dx = π ( - cos( x)) dx = π 0. Notiamo che f n (x) = n f (n x). Per un risultato di teoria, la successione delle T n associate alle funzioni f n converge a π δ (avremmo avuto la convergenza a δ senza alcun fattore correttivo se fosse stato + - f (x) dx = ). giugno 09, es.) Una funzione crescente? a) Stabilire per quali valori del parametro reale α la funzione f definita da f (x) = x + cos(α x) è strettamente crescente in R. b) Mostrare che scegliendo opportunamente α, il numero di punti in cui f (x) = 0 può essere grande quanto si vuole. a) La derivata di f è f ' (x) = - α sen(α x). Il minimo e il massimo valore che f ' (x) assume sono rispettivamente - α e + α. Condizione necessaria e sufficiente affinché f sia strettamente crescente in R è che si abbia f ' (x) 0 per ogni x (e l insieme degli zeri di f ' non abbia punti interni, cosa certamente vera nel caso attuale). Perciò f è strettamente crescente in R se e solo se - α 0, cioè - α. b) Poiché x - f (x) x +, gli zeri di f possono trovarsi soltanto tra - e. Ragioneremo qui relativamente a 0 < x < e α > 0. È cos(α x) = quando α x = k π, k Z, ossia x = k π ; in questi punti f (x) = x + > 0. α ( k+) π È cos(α x) = - quando α x = ( k + ) π, k Z, ossia x = ; in questi punti f (x) = x -, il cui valore è negativo α se x < ( k+) π ; scegliendo α abbastanza grande, il numero di valori interi di k per i quali < può essere grande α quanto si vuole. Dunque, prendendo α opportunamente grande, si possono ottenere tra - e tanti punti quanti si vuole nei quali f assume alternativamente valore positivo e valore negativo; all interno di ciascun intervallo così inviduato ci sarà almeno un punto in cui f (x) = 0. Ciò prova quanto si voleva. Il disegno qui sotto illustra graficamente il ragionamento sopra descritto. [{ + [ ] - + } { - }]

3 aro_ nb giugno 09, es.4) Verifica di un limite. e Verificare in base alla definizione di limite che lim x +e x x + = 0. e x -5 e x Si tratta di far vedere che ε > 0 S > 0, x x > S ex +e x e x -5 e x < ε. Supponiamo dunque assegnato ε > 0. Osserviamo innanzitutto che se x > ln 5 allora numeratore e denominatore di f (x) sono positivi, cosicché è sufficiente esaminare la disuguaglianza ex +e Supponiamo per esempio x > 0. Allora: x - x < 0, quindi e x -x < e + e x - < ; e x +e x = ex + e -x x e x -5 e x e x (-5 e -x ) e -x < e -0 e - 5 e -x > - 5 e -0 >. Allora, per x > 0 abbiamo + e x -x -5 e -x < = e -x + e x e x -5 e x x -x -5 e -x + =, e e -x x e-x < e -x. -5 e -x < ε. Scriviamo così: Da e -x < ε si ricava -x < ln ε cioè x > ln. Quindi, posto S = max 0, ln, se x > S allora ε ε Ciò prova quanto si voleva. e x +e x e x -5 e x < e -x < ε. giugno 09, es.5) Una scelta difficile Il finanziere Scrooge ha guadagnato $, e li può investire in una obbligazione che gli restituirà 5000 $ fra tre anni e 6000 $ fra sei anni, oppure in un'altra obbligazione che gli restituirà 000 $ in unica soluzione tra sei anni. a) Stabilire quale tra i due investimenti è più conveniente, vale a dire quale dà il più alto tasso interno di rendimento. (Si suggerisce di indicare gli importi in migliaia di $, e di usare come incognita w = (+i), con i tasso annuale di rendimento) b) Stabilire quale prezzo C rende tra loro equivalenti le due obbligazioni sopra descritte (in (a) il prezzo è $, ovvero 0 se indicato in migliaia di $). a) Il t.i.r. della prima obbligazione è i tale che l'importo investito sia il valore attuale al tasso annuo i delle due rate che verrano corrisposte; cioè, detto w = (+i), w deve soddisfare la seguente relazione: [%] {{ -} { }} Naturalmente la soluzione che ci interessa è quella positiva. Adesso ricaviamo i : +

4 4 aro_ nb Il t.i.r. per la prima obbligazione è quindi.087 %. Lo stesso procedimento permette di calcolare il t.i.r. della seconda obbligazione: indicato ancora w = (+i), deve essere - [%] {{ -} { }} da cui ricaviamo i : + cioè.085 %. Conviene quest'ultimo prodotto finanziario. Osserviamo che non sarebbe stato necessario calcolare i tassi i relativi a ciascuna obbligazione. La funzione w(i) = (+i) è funzione decrescente di i, per valori positivi della variabile; bastava quindi confrontare i valori ottenuti per w. Avendo ottenuto nel primo caso un valore di w maggiore di quello del secondo, potevamo già concludere che il tasso i nel primo caso era minore di quello relativo alla seconda opzione. b) Se il prezzo di acquisto di ciascuna delle due obbligazioni offerte è C, il rispettivo t.i.r. si calcola come sopra; indicato ancora w = (+i), per la prima obbligazione dovrà essere C = 5 w + 6 w, per la seconda C = w. C si ricava risolvendo il sistema + == { } { } [%] {{ } { }} Naturalmente interessa la soluzione con i valori positivi. Le due obbligazioni sono equivalenti se il prezzo di acquisto è 8. $ ; in tal caso il tasso interno di rendimento è, per entrambe, i tale che + pari a 6.7%. Osservazione: Il prezzo che rende indifferenti le due scelte è minore di 0000; con quest'ultimo prezzo è preferibile la seconda obbligazione, che rinvia al sesto anno il pagamento in unica soluzione. Era prevedibile che l'equivalenza si avesse con un prezzo inferiore, quindi un rendimento superiore: tassi alti rendono più attraente un prodotto che restituisce prima una parte di capitale, mentre tassi bassi privilegiano prodotti che pagano complessivamente importi maggiori (000 contro 000), anche se in tempi più lunghi.

5 aro_ nb 5 giugno 09, es.6) Tasso fisso o variabile? Mirko chiede un finanziamento alla sua Banca per acquistare una nuova auto, che costa ; il prestito verrà estinto in unica soluzione tra quattro anni. La Banca offre due alternative: "tasso fisso" 8.% annuo, oppure "tasso variabile"; in questo caso il tasso applicato sarà quello in vigore tra quattro anni, e in base al suo valore sarà calcolato l'importo che Mirko dovrà pagare in quel momento. Si stima il tasso di mercato tra quattro anni come un valore aleatorio uniformemente distribuito tra 0.0 e 0.. a) Stabilire quale scelta è conveniente per Mirko, in base al criterio del massimo guadagno atteso ("guadagno" che in questo caso è comunque negativo, trattandosi di un pagamento). b) Stessa questione, riferendosi però alla utilità attesa, con funzione utilità u(x) = x - x e importi espresi in migliaia di. Si faccia attenzione al fatto che in questo caso è essenziale indicare i "guadagni" col segno 5 negativo! a) Se Mirko sceglie il prestito a tasso fisso, tra quattro anni dovrà pagare * () Se invece sceglie il tasso variabile, l'importo da pagare per rimborsare il debito sarà ( + i) 4, con i valore aleatorio. La densità di probabilità di i è la funzione che vale costantemente 0 tra 0.0 e 0., e vale 0 altrove; perciò il valore atteso di quanto Mirko dovrà pagare è * + d Conviene quindi il tasso variabile. b) Adottando la funzione utilità [_] = - abbiamo, scegliendo il tasso fisso, una utilità attesa in questo caso certa, uguale a - * () - mentre l'utilità corrispondente a un generico valore di i è - * e allora l'utilità attesa in caso di scelta del tasso variabile è - * + d - Secondo questo criterio di scelta, conviene quindi il tasso fisso. Il criterio della utilità attesa conduce a questa scelta più prudente, evitando il rischio di una spesa maggiore dovuta all eventuale aumento del tasso.