Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI

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1 Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI 5 novembre 009 Leggere i Capitoli 1-18, 0-4 del libro di testo. Tralasciare il Capitolo 19 (Sottospazi affini). 1 Geometria del piano e prodotto scalare 1.1 Richiami Il prodotto scalare di due vettori del piano v, w applicati in uno stesso punto è il numero reale definito nel modo seguente: v w = v w cos θ, dove θ [0, π] è l angolo convesso tra v e w (se uno dei due vettori è nullo, si pone v w = 0). Nota: il prodotto scalare viene spesso indicato con il simbolo v w. Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero. Inoltre v = v v. Il prodotto scalare si calcola facilmente conoscendo le coordinate dei vettori. Se v ha coordinate (x, y) e w ha coordinate (x, y ) allora In particolare, v = x + y. v w = xx + yy. Dati due punti del piano A = (x 1, y 1 ) e B = (x, y ), la distanza di A da B uguaglia il modulo del vettore AB. Dunque: d(a, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) Le rette r : ax+by+c = 0 e r : a x+b y+c = 0 sono perpendicolari se e solo se aa +bb = 0. 1

2 In particolare, la retta generica perpendicolare a ax + by + c = 0 (con a, b, c dati) si puo scrivere bx ay + k = 0 dove k è un parametro reale. Dati due punti A = (x 1, y 1 ) e B = (x, y ) il punto medio M del segmento AB ha coordinate M = ( x 1 + x, y 1 + y ). Dati due punti A, B l asse del segmento AB è l insieme dei punti del piano equidistanti da A e B. L asse di AB coincide con la retta perpendicolare al segmento AB e passante per il suo punto medio. Dati due vettori non nulli v, w, l area A del parallelogramma definito dai due vettori è data dalla formula: ( ) v v v w A = det. v w w w 1. Esercizi Esercizio 1 Sono dati i punti del piano A = (1, 0), B = (3, ), C = (, 1). Determinare: a) L equazione cartesiana della retta r passante per A e perpendicolare alla retta per i punti B e C. b) L equazione cartesiana della retta r passante per C e parallela alla retta per i punti A e B. c) L eventuale intersezione delle rette r e r. Esercizio Dato il punto A = (1, 1) e la retta r : x y 5 = 0, determinare: a) La proiezione ortogonale di P 0 sulla retta r. b) La distanza di P 0 da r. c) Il punto A, simmetrico di A rispetto alla retta r. Esercizio 3 Sono dati i punti del piano A = (1, 0), B = (3, ), C = (, 1). Determinare: a) L insieme dei punti del piano equidistanti dai punti A e B. b) L insieme dei punti del piano equidistanti dai punti A, B e C. Esercizio 4 Si consideri il triangolo T di vertici A = (1, 0), B = (3, ), C = (, 1). a) Calcolare il perimetro di T. b) Calcolare l area di T. c) Calcolare il coseno di ciascuno degli angoli di T. Esercizio 5 Sono dati la retta r : x y = 0 e i punti O = (0, 0) e A = (4, 1).

3 a) Determinare gli eventuali punti P sulla retta r tali che il triangolo di vertici P, O, A sia rettangolo in P. b) Determinare gli eventuali punti P sulla retta r equidistanti da O e A. Esercizio 6 a) Data la retta r : x y = 0, disegnare l insieme dei punti del piano P = (x, y) che soddisfano la disequazione x y 0. b) Disegnare l insieme dei punti del piano che verificano tutte le disequazioni: x y < 0 x > 0 x + y 4 < 0. Esercizio 7 Siano A = (1, ), B = (, 1) due punti del piano e sia r la retta di equazioni x = t parametriche r :. Determinare i punti P su r tali che: y = t 3 a) I punti A, B, P sono allineati. b) Il triangolo di vertici A, B, P ha area. Geometria dello spazio Esercizio 8 Nello spazio sono dati i punti A = (1,, 3), B = (, 4, 5), C = (1, 1, 4). a) Scrivere equazioni parametriche della retta r 1 passante per A e B. b) Scrivere equazioni parametriche della retta r passante per C e parallela alla retta r 1. c) Scrivere l equazione cartesiana del piano passante per A, B, C. d) Scrivere l equazione del piano passante per A e parallelo al piano x y + z + 4 = 0. Esercizio 9 a) Scrivere le equazioni parametriche della retta r parallela all asse z e passante per P 0 = (1,, 0). x y = 0 b) Scrivere equazioni parametriche della retta s :. z = c) È vero che r è parallela a s? d) È vero che r e s sono incidenti? Esercizio 10 a) Determinare l equazione cartesiana del piano π contenente l origine e la retta 3

4 x = 1 t r : y = t. z = 3 t b) Determinare le coordinate di un punto A tale che il vettore OA sia non nullo e parallelo alla retta r. È vero che A deve appartenere al piano π? x y + z = 0 Esercizio 11 Calcolare i parametri direttori della retta r : e scrivere l equazione x z + 3 = 0 del piano passante per l origine e contenente r. Esercizio 1 Determinare l equazione del piano passante per A = (1, 1, 4) e parallelo a entrambe le rette: x 3 = 0 x + y 1 = 0 r : y z = 0, s : x + z + = 0. Esercizio 13 Si considerino i punti P 1 = (1, 0, 0), P = (0, 1, 0), P 3 = (1, 3, 1), P 4 = (1, 3, 1), la retta r passante per P 1 e P, e la retta s passante per P 3 e P 4. a) Stabilire se le rette r ed s sono complanari o sghembe; se complanari, determinare l equazione del piano che le contiene. b) Esiste un piano passante per P 1, P e parallelo al piano π : x + y z = 0? x z = 0 x + y 3z + 4 = 0 Esercizio 14 Dimostrare che le rette r : y z = 0, s : y z + 1 = 0 (dunque complanari) e determinare l equazione del piano che le contiene. sono parallele Esercizio 15 a) Stabilire se le rette r 1 : sghembe. y z = 0 x 1 = 0 e r : x = 0 z 1 = 0 b) Esiste una retta passante per (, 0, ) e che incontra sia r 1 che r? sono complanari o Esercizio 16 Sia π : x + y + z + 1 = 0 e P 0 = ( 4, 1, 1). Trovare le equazioni cartesiane della retta contenuta nel piano π, passante per P 0 e incidente l asse z. Esercizio 17 Si considerino i punti A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = ( 1, 1, 1). a) Stabilire se i punti A, B, C, D sono complanari oppure no. b) Scrivere l equazione del piano π passante per D e parallelo al piano per A, B, C. c) Scrivere l equazione del piano π contenente D e la retta per A e B. 4

5 d) Trovare le equazioni cartesiane della retta per l origine che incontra sia la retta per A e D che la retta per B e C. Esercizio 18 Consideriamo il piano di equazione π : ax + by + cz + d = 0 e la retta di equazioni a x + b y + c z + d = 0 cartesiane r : a x + b y + c z + d. Dimostrare che r è parallela a π se e solo se: = 0 a b c a b c a b d = 0. Esercizio 19 Trovare l equazione del piano passante per la retta r : x = 1 + t alla retta s di equazioni parametriche y = 3t. z = 1 + t x y = 0 x + z 3 = 0 e parallelo Esercizio 0 Per quali valori di k i quattro punti (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, ), (1, k, 3) sono complanari? 5