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Agata Caputo
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1 Esercizi di Statistica della 5 a settimana (Corso di Laurea in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova). Esercizio 1. L FBI ha dichiarato in un rapporto che il 44% delle vittime di un omicidio viene uccisa con pistole. Se 4 vittime di omicidio vengono scelte a caso, calcola: 1. la probabilità che siano tutte state uccise con pistole; 2. la probabilità che nessuna sia stata uccisa con pistole; 3. la probabilità che almeno due siano state uccise con pistole; 4. il valore atteso di quanti sono stati uccisi con pistole; 5. la deviazione standard della stessa quantità. Esercizio 2. Supponiamo che il numero giornaliero di persone ricoverate per attacchi violenti di asma in un dato ospedale sia una variabile aleatoria di Poisson di media Come sarà distribuito il numero di persone ricoverate per attacchi violenti di asma in due giorni? 2. Qual è la probabilità di osservare 5 o più casi in un periodo di 2 giorni? In un particolare periodo di 2 giorni, i livelli di inquinamento dell aria aumentano e la distribuzione di attacchi su 1 giorno diventa una legge di Poisson con media Rispondere al punto 2 in questa nuova situazione. 4. Se in ogni anno 10 giorni sono di alto inquinamento, qual è il numero atteso di ricoveri per asma in un dato anno? Qual è la varianza? Esercizio 3. Si dispone delle seguenti osservazioni circa i soldati dell antico esercito prussiano uccisi da un calcio di cavallo, in un anno, nei diversi battaglioni: n. di morti in un anno in un battaglione Totale n. di battaglioni in cui si è verificato questo Vogliamo vedere se è ragionevole ritenere che il numero di morti in un anno in un battaglione segua una legge di Poisson. 1. Sia X P o(λ), con λ = 0.65; calcolare P{X = 0}, P{X = 1}, P{X = 2}, P{X 3}. 2. Estraiamo ora un battaglione a caso dai precedenti, e sia Y la variabile aleatoria numero di morti per un calcio di cavallo. Calcolare P{Y = 0}, P{Y = 1}, P{Y = 2}, P{Y 3}, E[Y ] e Var [Y ]. 3. Possiamo ritenere che X e Y abbiano distribuzioni simili?

la probabilità che siano tutte state uccise con pistole; 2. la probabilità che nessuna sia stata uccisa con pistole; 3. la probabilità che almeno due siano state uccise con pistole; 4.

2 Esercizio 4. Il cosiddetto test del DNA non fa altro che misurare la lunghezza di K geni, senza controllare le basi azotate che li compongono. Per ognuno di tali geni, la probabilità che due dati individui presentino una lunghezza uguale viene assunta come pari a 1/10. Un altra ipotesi che viene comunemente fatta è che le lunghezze di geni diversi siano indipendenti l una dall altra. Supponiamo di misurare la lunghezza di K = 7 geni da un campione di DNA trovato su una scena del crimine. 1. Calcolare la probabilità che un dato individuo abbia la lunghezza dei suoi geni uguali a quella del campione. 2. Supponendo di avere un database di n = individui, calcolare la probabilità che almeno uno di questi individui abbia le lunghezze dei suoi geni uguali a quelle del campione incriminato. 3. Calcolare la probabilità che almeno due di questi individui abbiano le lunghezze dei loro geni uguali a quelle del campione incriminato. 4. Supponendo di aver trovato un individuo con le lunghezze dei geni uguali a quelle del campione incriminato, calcolare la probabilità che ce ne sia almeno un altro. Soluzioni su

Un altra ipotesi che viene comunemente fatta è che le lunghezze di geni diversi siano indipendenti l una dall altra.

3 Soluzioni Esercizio 1. Per ogni i = 1,..., 4 possiamo definire la variabile aleatoria { 1 se l i-esima vittima è stata uccisa con una pistola, X i := 0 se è femmina, Allora le (X i ) i sono i.i.d. di legge Be(p) con p = Possiamo poi definire S 4 := 4 i=1 X i, che è la variabile aleatoria che corrisponde al numero di vittime uccise con una pistola, che ha legge B(4, p). 1. Abbiamo 2. Abbiamo 3. Abbiamo P{S 4 = 4} = P{S 4 = 0} = P{S 4 2} = 1 P{S 4 = 0} P{S 4 = 1} = ( ) 4 p 4 (1 p) 0 = = ( ) 4 p 0 (1 p) 4 = = = = = Abbiamo E[S 4 ] = 4p = = Abbiamo Var[S 4 ] = 4p(1 p) = = e quindi la deviazione standard risulta Var[S 4 ] = = Esercizio Definiamo X i, i = 1, 2, il numero di persone ricoverate per asma nei giorni 1 e 2. Allora X 1 e X 2 sono indipendenti e con legge di Poisson di parametro 1.5. Allora X 1 + X 2 P o(3). 2. Abbiamo quindi P{X 1 + X 2 5} = 1 P{X 1 + X 2 = 0} = e 3 = P{X 1 + X 2 = 1} = P{X = 0} 3 1 = = P{X 1 + X 2 = 2} = P{X = 1} 3 2 = = P{X 1 + X 2 = 3} = P{X = 2} 3 3 = = P{X 1 + X 2 = 4} = P{X = 3} 3 4 = = P{X 1 + X 2 = k} = = =

Abbiamo P{S 4 = 4} = P{S 4 = 0} = P{S 4 2} = 1 P{S 4 = 0} P{S 4 = 1} = ( ) 4 p 4 (1 p) 0 = 0.44 4 = 0.03748 4 ( ) 4 p 0 (1 p) 4 = 0.56 4 = 0.09834 0 = 1 0.09834 4 0.44 0.56 3 = 1 0.09834 0.30908 = 0.

4 3. Definiamo Y i, i = 1, 2, il numero di persone ricoverate per asma nei due giorni con alto inquinamento. Allora Y 1 e Y 2 sono indipendenti e con legge di Poisson di parametro 3, e Y 1 + Y 2 P o(6). Abbiamo poi P{Y 1 + Y 2 = 0} = e 6 = P{Y 1 + Y 2 = 1} = P{X = 0} 6 1 = = P{Y 1 + Y 2 = 2} = P{X = 1} 6 2 = = P{Y 1 + Y 2 = 3} = P{X = 2} 6 3 = = P{Y 1 + Y 2 = 4} = P{X = 3} 6 4 = = quindi P{Y 1 + Y 2 5} = 1 4 P{Y 1 + Y 2 = k} = = = In un dato anno abbiamo 355 giorni ad inquinamento normale, a cui corrispondono le variabili aleatorie X 1,..., X 355 i.i.d. di legge P o(1.5), e 10 giorni ad alto inquinamento, a cui corrispondono le Y 1,..., Y 10 i.i.d. di legge P o(3). Abbiamo quindi che il numero di ricoveri in un dato anno è Z := 355 i=1 X i + 10 i=1 Y i, e quindi E[Z] = E[X i ] + E[Y i ] = = i=1 i=1 Siccome poi Z è somma di variabili aleatorie di Poisson indipendenti, è a sua volta una variabile aleatoria di Poisson di parametro E[Z] = 562.5, che corrisponde anche alla sua varianza. Esercizio Abbiamo: P{X = 0} = e 0.65 = P{X = 1} = P{X = 0} λ 0.65 = = P{X = 2} = P{X = 1} λ 0.65 = = P{X 3} = 1 P{X = k} = = 0.029

04461 6 3 = 0.08923 P{Y 1 + Y 2 = 4} = P{X = 3} 6 4 = 0.08923 6 4 = 0.13385 quindi P{Y 1 + Y 2 5} = 1 4 P{Y 1 + Y 2 = k} = = 1 0.00247 0.01487 0.04461 0.08923 0.13385 = 0.71494 4.

5 2. In questo caso possiamo mettere una distribuzione uniforme nei battaglioni, e Y assumerà i valori 0, 1, 2, 3 o 4 a seconda di quale dei battaglioni viene estratto. Dai dati che abbiamo, risulta P{Y = 0} = 109 = 0.545, P{Y = 1} = 65 P{Y = 3} = 3 = 0.325, P{Y = 2} = 22 = 0.110, = 0.015, P{Y = 4} = 1 = Le due distribuzioni sembrano abbastanza simili, anche se ci manca uno strumento più quantitativo per stabilirlo. Esercizio Definiamo gli eventi A j := { la lunghezza del j-esimo gene dell individuo è uguale a quella del campione}, j = 1, B := { le lunghezze di tutti i geni dell individuo sono uguali a quelle del campione} Allora l evento B ha probabilità pari a ( K ) P(B) = P A j = j=1 K j=1 P(A j ) = 1 10 K = 10 7 dove abbiamo usato l indipendenza delle lunghezze dei geni, e quindi degli eventi (A j ) j. 2. Definiamo, per ogni individuo i = 1,..., n, l evento B i := { le lunghezze di tutti i geni dell i-esimo individuo sono uguali a quelle del campione }. Allora P(B i ) = 10 7 dal punto 1. Definiamo poi le variabili aleatorie di Bernoulli X i := 1 Bi, che si possono supporre indipendenti tra di loro, e la variabile aleatoria S n l indipendenza delle X i ha legge B(n, p), con p := Poichè nel nostro caso n = > 100 e p = 10 7 < 0.01, possiamo utilizzare l approssimazione di Poisson, e quindi S n P o(λ), con λ = np = Allora bisogna calcolare 3. Bisogna calcolare := n i=1 X i, che per P{S n 1} = 1 P{S n < 1} = 1 P{S n = 0} 1 e λ P{S n 2} = 1 P{S n = 0} P{S n = 1} 1 e λ λe λ = Bisogna calcolare P{S n 2 S n 1} = P({S n 2} {S n 1}) P{S n 1} = P{S n 2} P{S n 1}

Le due distribuzioni sembrano abbastanza simili, anche se ci manca uno strumento più quantitativo per stabilirlo. Esercizio 4. 1.

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