Trasporto di massa nei sistemi biologici (seconda parte)

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1 Trasporto di massa nei sistemi biologici (seconda parte) tratto da S. Mantero, A. Remuzzi, M.T. Raimondi, A. Ahluwalia Fondamenti di ingegneria dei tessuti per la medicina rigenerativa Patron Editore

2 Calcolo dei processi convettivi 2

3 Si è osservato che il terreno di coltura ha una bassa capacità di saturarsi di ossigeno: la portata di perfusione necessaria in vitro per trasportare alle cellule una quantità di ossigeno almeno pari al consumo fisiologico (~ 10 mmol/min) è quindi più elevata rispetto alle portate in gioco nella circolazione sanguigna. Questa è la ragione per cui le cellule nei sistemi perfusi sono soggette a sforzi di taglio idrodinamico dovuti ai gradienti di velocità del terreno in moto: si deve evitare di provocare il distacco delle cellule o di comprometterne la funzionalità, mantenendo gli sforzi di taglio al di sotto di valori critici (~ 1 Pa pari a 10 dyn/cm 2 ). 3

4 Il regime di moto di un fluido può essere turbolento (dominato dalla forze di inerzia) o laminare (dominato dalle forze viscose); il bilancio è quantificato dal numero di Reynolds (adimensionale): dove ρ è la densità del fluido, v la velocità media, Di il diametro idraulico, μ la viscosità del fluido. Nei sistemi perfusi in vitro il regime è solitamente laminare; per esempio, in costrutti tessutali di 12 mm soggetti a perfusione interstiziale con una portata di terreno di 0.5 ml/min, Re ~

5 In un fluido viscoso in moto laminare a regime si generano dei filetti fluidi che scorrono gli uni rispetto agli altri. Si producono degli sforzi di taglio idrodinamico che tendono ad annullare il gradiente di velocità nel fluido. 5

6 Gli sforzi di taglio si calcolano con la legge di Newton: dove vx è la velocità nella direzione x, μ la viscosità del fluido. Il comportamento del fluido si dice newtoniano se la viscosità μ è indipendente dal gradiente di velocità. 6

7 Gli sforzi di taglio si possono determinare noto che sia il gradiente di velocità; la legge per calcolare il campo di velocità in un fluido in regime non stazionario (derivata dal principio di conservazione della quantità di moto nel flusso incomprimibile di un fluido newtoniano) è data dall equazione di Navier-Stokes: con ρ viscosità del fluido, v campo vettoriale di velocità, p campo scalare di pressione, μ viscosità del fluido, f campo vettoriale di forze di massa. L accelerazione del fluido è data da un termine transitorio e da un termine convettivo presente anche a regime. 7

8 Le forze che determinano l accelerazione del generico elemento fluido sono tre: le forze di superficie normali (legate alla pressione) le forze di superficie tangenziali (legate al gradiente di velocità) le forze di massa (legate alla gravità o alla forza centrifuga) Si consideri il caso in figura per applicare l equazione di Navier- Stokes. 8

9 Per il flusso di terreno a regime, in condizioni di moto completamente sviluppato e quindi in assenza di accelerazione convettiva, e nell ipotesi di forze di massa trascurabili si ottiene: Proiettando sulla direzione x si ha: che si semplifica considerando che la velocità vx varia solo lungo z: 9

10 Le condizioni al contorno sono: 1 velocità nulla sul fondo della camera 2 simmetria del gradiente di velocità rispetto alla mezzeria Riordinando i termini ed integrando in dz si ottiene: 10

11 La costante di integrazione k1 si calcola imponendo la c.c.2: e quindi si ricava: dove la costante k2 = 0 imponendo la c.c.1. La portata di fluido si determina integrando il profilo di velocità sulla sezione: 11

12 Dalla precedente equazione si ricava l espressione del gradiente di pressione in funzione della portata: che sostituita nella precedente equazione permette di ricavare il profilo di velocità: Si può ora calcolare lo sforzo di taglio applicando la legge di Newton: 12

13 Lo sforzo di taglio che agisce sulla coltura cellulare posta sul fondo della camera risulta: Nei costrutti ingegnerizzati 3D il terreno di coltura è fatto circolare utilizzando circuiti di perfusione interstiziale; in questo caso il calcolo dello sforzo di taglio è assai più complesso rispetto al monostrato cellulare: o si semplifica di molto il sistema per dare soluzione analitica all equazione di Navier-Stokes o si applicano metodi computazionali sulla scala del singolo poro. 13

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15 Si consideri ora un cilindro di materiale poroso di geometria nota che viene attraversato da un flusso fluido di portata Q generando il salto di pressione p2 p1 dovuto alla resistenza al flusso: La capacità di un materiale poroso di consentire il passaggio del fluido è una proprietà fisica legata alla geometria dei pori. 15

16 Si può calcolare il coefficiente di permeabilità (Kp) grazie alla legge di Darcy: con μ viscosità del fluido, Q la portata, A la sezione di passaggio, Δp il salto di pressione, h lo spessore attraversato. 16

17 La permeabilità può essere calcolata sperimentalmente sia nei tessuti naturali che all interno di scaffold porosi sintetici. 17

18 Nei costrutti tessutali le cellule vengono inizialmente seminate e fatte aderire alla parte interna dello scaffold. Nel costrutto in maturazione, le cellule proliferano e iniziano a sintetizzare matrice extra-cellulare, che progressivamente riempie il volume dei pori. 18

19 Contestualmente il materiale di cui lo scaffold è costituito degrada fino a scomparire. Appare evidente che la geometria del sistema cambia nel tempo e con essa cambiano il campo di velocità del fluido e gli sforzi di taglio che agiscono sulle cellule. È però utile poter valutate gli sforzi almeno nelle fasi iniziali per avere una adeguata garanzia che le cellule non siano danneggiate. Lo sforzo di taglio medio può essere calcolata con alcune leggi analitiche: ad esempio il modello di Wang e Tarbell si esprime come segue: 19

20 L applicazione di questo modello ai costrutti ingegnerizzati è possibile con alcune limitazioni: ipotesi di flusso laminare (basse velocità del fluido) e bassi valori di permeabilità (Kp ); se invece l applicazione del modello non fosse possibile, si applica l equazione di Navier-Stokes e la si risolve con metodi computazionali ottenendo andamenti del tipo illustrato i figura. 20