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1 Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 1/13 1 giugno 13 - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni che si ritengono giuste. In ogni quiz almeno una affermazione è corretta A partire dalla risposta al gradino unitario mostrata in figura è possibile stimare la posizione dei poli dominanti del sistema? 1. 1 sì, p 1 6 ±j1 sì, p 1.5±j sì, p 6±j no y(t) t [s]. L evoluzione libera del sistema ẏ(t)+by(t) = partendo dalla condizione iniziale y() = 3 è: y(t) = 3(1 e b t ) y(t) = 3e b t y(t) = 3 e b t y(t) = 3e b t 3. Il diagramma di Bode delle ampiezze di un sistema G(s) di tipo e avente grado relativo 3 presenta: pendenza di 4dB/dec per ω e pendenza di 6dB/dec per ω pendenza di 6dB/dec per ω e pendenza di 4dB/dec per ω pendenza di db/dec per ω e pendenza di 3dB/dec per ω pendenza di +4dB/dec per ω e pendenza di +6dB/dec per ω 4. Il valore iniziale della risposta all impulso g(t) del sistema G(s) = 5s+1 s +3s+4 vale: 5 1/4

2 5. La funzione di trasferimento G(s) = Y(s) corrispondente all equazione differenziale X(s)... y +4ẏ +y = ẍ+5ẋ+3x è: G(s) = s +5s+3 s 3 +4s +s G(s) = s +5s+3 s 3 +4s+1 G(s) = s3 +4s+1 s +5s+3 6. Se al sistema y(t)+ẏ(t) = u(t) si applica l ingresso u(t) = sin(t), a regime l uscita sarà: y(t) = 1 sin(t+45 o ) y(t) = sin(t 45 o ) y(t) = sin(t+45 o ) y(t) = 1 sin(t 45 o ) 7. Se la funzione d anello L(s) di un sistema retroazionato presenta un polo nell origine: l errore a regime per ingresso a gradino è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è diverso da zero e costante l errore a regime per ingresso a parabola è infinito 8. Per l applicazione del criterio di Nyquist a un sistema in retroazione: occorre conoscere il numero dei poli a parte reale nulla e positiva occorre conoscere il numero degli zeri a parte reale nulla e positiva non occorre alcuna informazione sulla stabilità ad anello aperto occorre sapere se il sistema ad anello aperto è stabile o instabile 9. In un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri il picco di risonanza M R rimane costante al variare della posizione dei poli nel piano complesso: su due semirette uscenti dall origine su di una circonferenza con centro nell origine su di una circonferenza con centro in 1 su di una retta parallela all asse immaginario 1. Sia σ < il punto di intersezione del diagramma polare della funzione di risposta armonica G(jω) con il semiasse reale negativo. Il margine di ampiezza M A del sistema è: M A = 1 σ M A = 1 σ M A = σ M A = σ

3 Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 1/13 1 giugno 13 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [5 sin(4t)] e t, x (t) = 1+t 3 e 4t b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = 15 s +6s+34 +3, G (s) = 5 s(s+)(1+s) c) Dato il seguente schema a blocchi, utilizzando la formula di Mason, calcolare la funzione di trasferimento G(s) = Y 1(s) R 1 (s) (s+5) d) Sia data la funzione di trasferimento G(s) = (s +s+5)(s+.1)(1+.1s). Disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino in ingresso di ampiezza., x(t) =.. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata.

4 e) Facendo riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura 3 ampiezza db rad/sec 1 fase gradi rad/sec si ricavi l espressione analitica della funzione G(s). f) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) 1(s +.8s+16) s ( s) y(t) f.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. f.) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto, le eventuali intersezioni con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni. f.3) Posto K = 1, calcolare l errore a regime e( ) quando sul sistema retroazionato siano applicati contemporaneamente il segnale r(t) = 5t e il disturbo d(t) = sin(t). f.4) Posto K =, tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi del guadagno di anello KG(s). g) Non è richiesto lo svolgimento di questo esercizio agli iscritti ad Ingegneria Ambientale. Con riferimento al sistema descritto nell esercizio f), tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni ω con l asse immaginario e i corrispondenti valori K del guadagno.

5 Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 1/13 1 giugno 13 - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni che si ritengono giuste. In ogni quiz almeno una affermazione è corretta A partire dalla risposta al gradino unitario mostrata in figura è possibile stimare la posizione dei poli dominanti del sistema? 1. 1 sì, p 1 6 ±j1 sì, p 1.5±j sì, p 6±j no y(t) t [s]. L evoluzione libera del sistema ẏ(t)+by(t) = partendo dalla condizione iniziale y() = 3 è: y(t) = 3(1 e b t ) y(t) = 3e b t y(t) = 3 e b t y(t) = 3e b t 3. Il diagramma di Bode delle ampiezze di un sistema G(s) di tipo e avente grado relativo 3 presenta: pendenza di 4dB/dec per ω e pendenza di 6dB/dec per ω pendenza di 6dB/dec per ω e pendenza di 4dB/dec per ω pendenza di db/dec per ω e pendenza di 3dB/dec per ω pendenza di +4dB/dec per ω e pendenza di +6dB/dec per ω 4. Il valore iniziale della risposta all impulso g(t) del sistema G(s) = 5s+1 s +3s+4 vale: 5 1/4

6 5. La funzione di trasferimento G(s) = Y(s) corrispondente all equazione differenziale X(s)... y +4ẏ +y = ẍ+5ẋ+3x è: G(s) = s +5s+3 s 3 +4s +s G(s) = s +5s+3 s 3 +4s+1 G(s) = s3 +4s+1 s +5s+3 6. Se al sistema y(t)+ẏ(t) = u(t) si applica l ingresso u(t) = sin(t), a regime l uscita sarà: y(t) = 1 sin(t+45 o ) y(t) = sin(t 45 o ) y(t) = sin(t+45 o ) y(t) = 1 sin(t 45 o ) 7. Se la funzione d anello L(s) di un sistema retroazionato presenta un polo nell origine: l errore a regime per ingresso a gradino è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è nullo l errore a regime per ingresso a rampa è diverso da zero e costante l errore a regime per ingresso a parabola è infinito 8. Per l applicazione del criterio di Nyquist a un sistema in retroazione: occorre conoscere il numero dei poli a parte reale nulla e positiva occorre conoscere il numero degli zeri a parte reale nulla e positiva non occorre alcuna informazione sulla stabilità ad anello aperto occorre sapere se il sistema ad anello aperto è stabile o instabile 9. In un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri il picco di risonanza M R rimane costante al variare della posizione dei poli nel piano complesso: su due semirette uscenti dall origine su di una circonferenza con centro nell origine su di una circonferenza con centro in 1 su di una retta parallela all asse immaginario 1. Sia σ < il punto di intersezione del diagramma polare della funzione di risposta armonica G(jω) con il semiasse reale negativo. Il margine di ampiezza M A del sistema è: MA = 1 σ M A = 1 σ M A = σ M A = σ

7 Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 1/13 1 giugno 13 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): Soluzione: x 1 (t) = [5 sin(4t)] e t, X 1 (s) = 5 (s+) 8 (s+) +16, x (t) = 1+t 3 e 4t X (s) = 1 s + 6e (s+4) 4, b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = 15 s +6s+34 +3, G (s) = Soluzione: La funzione G 1 (s) può essere riscritta come G 1 (s) = pertanto la sua risposta impulsiva risulta La funzione G (s) può essere riscritta come 15 (s+3) g 1 (t) = 3e 3t sin(5t)+3δ(t). di conseguenza la sua risposta impulsiva risulta G (s) = 5 s + 5 6(s+) 1 3(s+ 1 ) g (t) = e t 1 3 e t 5 s(s+)(1+s) c) Dato il seguente schema a blocchi, utilizzando la formula di Mason, calcolare la funzione di trasferimento G(s) = Y 1(s) R 1 (s)

8 G(s) = Y 1(s) R 1 (s) = ABC +DC(1+BE) 1+BE +CF +ABC +BECF (s+5) d) Sia data la funzione di trasferimento G(s) = (s +s+5)(s+.1)(1+.1s). Disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino in ingresso di ampiezza., x(t) =.. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata. Soluzione: Il sistema ha un polo dominante reale p =.1 pertanto la risposta al gradino sarà di tipo aperiodico. In figura è riportata la risposta del sistema. y y(t) T a t [s] Il valore a regime dell uscita per un gradino in ingresso di ampiezza A =. risulta y = AG() =. 1 =. Il sistema ha unpolodominante realeconparterealeσ =.1 per cui iltempo di assestamento T a è T a = 3 = 3 s, σ mentre il periodo dell oscillazione T ω non esiste, non essendoci alcuna oscillazione.

9 e) Facendo riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura 3 ampiezza db rad/sec 1 fase gradi rad/sec si ricavi l espressione analitica della funzione G(s). Soluzione G(s) = f) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K 9(s+) (s 1)(s +3s+9) G(s) 1(s +.8s+16) s ( s) y(t) f.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Soluzione: l equazione caratteristica del sistema retroazionato è 1+ 1K(s +.8s+16) s ( s) La corrispondente tabella di Routh è la seguente = s 3 (+1K)s 8Ks 16K = 3 1 8K (+1K) 16K K <. 1 (+1K)8K +16K K <.4 K > 16K K < Quindi il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: K <.4 = K

10 La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = 8K = 3 = f.) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto, le eventuali intersezioni con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni. Soluzione: Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) è riportato in figura. Nyquist Diagram 1 5 Imaginary Axis Real Axis La funzione approssimante per ω è G (s) = 16 pertanto il diagramma parte all infinito con fase iniziale ϕ = π.la funzione approssimante per ω è G (s) = 1 s s e quindi il diagramma giunge nell origine con fase finale ϕ = 3 π. Il parametro τ vale τ = =.1 > pertanto il diagramma parte in anticipo rispetto alla fase iniziale ϕ. Il sistema è di tipo pertanto non esiste alcun asintoto. Il parametro p vale 16 p =.8 =.8 < pertanto noil diagramma arriva in ritardo rispetto alla fase finale ϕ. Lo sfasamento complessivo è ϕ = 3 π. Esiste un unica intersezione con l asse reale, che in virtù dell analisi svolta con Routh al primo punto risulta pari a La corrispondente pulsazione è ω = σ = 1/K =.5. f.3) Posto K = 1, calcolare l errore a regime e( ) quando sul sistema retroazionato siano applicati contemporaneamente il segnale r(t) = 5t e il disturbo d(t) = sin(t). Dato che il sistema è lineare e soggetto quindi alla sovrapposizione degli effetti, l errore E(s), espresso mediante la trasformata di Laplace, risulterà: E(s) = E r (s)+e d (s) dove E r (s) è l errore dovuto al riferimento mentre E d (s) è l errore dovuto al disturbo. Senza farealcuncalcolosipuòdirechearegimee r ( )sarànullo, inquantosiconsiderauningresso

11 a rampa in un sistema di tipo (cioè con due poli nell origine). Di conseguenza il calcolo dell errore a regime si riduce a quello dovuto al disturbo d(t): E(s) = F d (s)d(s) dove D(s) è la trasformata di Laplace di d(t) e F d (s) è la funzione di trasferimento tra D(s) e E(s) che vale F d (s) = G(s) 1+KG(s) = 1s +8s+16 s 3 +8s +8s+16. Essendo d(t) un segnale sinusoidale, per trovarne la risposta a regime si sfrutta il concetto di risposta armonica, per cui e d (t) = F d (j1) sin(t+arg{f d (j1)}) con F d (j1) =.9869 e arg{f d (j1)}.8 o. In conclusione e( ) = e d ( ) 1.974sin(t+.8 o ) f.4) Posto K =, tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi del guadagno di anello KG(s). Soluzione: In figura sono riportati i diagrammi di Bode del sistema. Sul diagramma asintotico delle ampiezze il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω = 4 è β = 16K = 1 = 4 db. Il coefficiente di smorzamento della coppia di zeri complessi coniugati è δ =.1. 5 ampiezza 4 db rad/sec 1 fase 5 gradi rad/sec g) Non è richiesto lo svolgimento di questo esercizio agli iscritti ad Ingegneria Ambientale. Con riferimento al sistema descritto nell esercizio f), tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni ω con l asse immaginario e i corrispondenti valori K del guadagno.

12 Soluzione: Esiste un solo asintoto, essendo 1 il grado relativo, che appartiene al semiasse reale negativo. Il centro degli asintoti si trova sull asse reale nel punto di ascissa σ = 1 (+.8) =.8 1 Il luogo delle radici finale è riportato nella seguente figura. Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Dall analisi svolta mediante il criterio di Routh, risulta che il luogo delle radici attraversa l asse immaginario, passando dal semipiano destro a quello sinistro, in corrispondenza di s = jω = j5.657, per K = K =.4.

13 Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 1/13 1 giugno 13 - Diagrammi di Bode Nome: Nr. Mat. Firma: Bode Plot argg(jω) G(jω)