Elettronica I Risposta dei circuiti RC e RL nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 2

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1 Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, Crema liberali@i.unimi.it liberali 31 marzo 2008 Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 1 isposta libera di un circuito C (1/7) S C v(t) S è un interruttore ideale: si comporta come un circuito aperto quando è spento ( off ), e come un cortocircuito quando è acceso ( on ). L interruttore S è acceso per t<0, e viene spento all istante t=0. Calcolare l andamento nel tempo della tensione di uscita v(t). Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 2 1

2 isposta libera di un circuito C (2/7) S C v(t) interruttore acceso per t < 0: dalla KVL alla maglia esterna si ricava la tensione di uscita v(t)=. La corrente nel resistore è i =. La carica immagazzinata nel condensatore è q C = C. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 3 isposta libera di un circuito C (3/7) S C v(t) interruttore spento per t 0: il generatore di tensione viene scollegato; per risolvere il circuito occorre scrivere la KCL al nodo di uscita contrassegnato con il segno (). i (t)i C (t)=0 dove i (t) = corrente nel resistore e i C (t) = corrente nel condensatore C. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 4 2

3 isposta libera di un circuito C (4/7) Dalla KCL i (t)i C (t)=0, sostituendo i (t)= v(t) i C (t)= C dv(t), si ricava l equazione differenziale: v(t) C dv(t) = 0 La tensione ai capi del condensatore deve essere una funzione continua nel tempo (perché in caso contrario dovremmo avere una corrente infinita, che è fisicamente impossibile). Quindi abbiamo la condizione iniziale v(0)=v(0 )=, e il problema di Cauchy: dv(t) = 1 C v(t) v(0)= e Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 5 isposta libera di un circuito C (5/7) Il problema di Cauchy dv(t) = 1 C v(t) v(0)= si risolve facilmente separando le variabili v e t: dv(t) v(t) = C e integrando a partire dalla condizione iniziale: v(t) dv(t) t v(t) = 0 C Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 6 3

4 isposta libera di un circuito C (6/7) v(t) Poiché dv v = lnv, si ottiene: cioè dv(t) t v(t) = 0 C lnv v(t) = t C ln v(t) = t C Calcolando l esponenziale di entrambi i membri, si ha la soluzione: v(t)= e t/c t 0 Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 7 isposta libera di un circuito C (7/7) v(t)= e t/c tensione τ 2τ 3τ 4τ 5τ tempo Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 8 4

5 Costante di tempo (1/3) tensione τ 2τ 3τ 4τ 5τ tempo Nella soluzione del circuito C, il prodotto C prende il nome di costante di tempo e si indica conτ: τ=c Geometricamente, la costante di tempo è l intersezione della tangente alla curva v(t) per t=0 con l asse dei tempi t. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 9 Costante di tempo (2/3) tensione τ 2τ 3τ 4τ 5τ tempo Per t=τ, la tensione v si è ridotta alla frazione 1/e del valore iniziale: v(τ)= 1 e v(0) 0.368v(0) Si noti che la funzione esponenziale v(t)= e t/c tende al valore finale 0 senza mai raggiungerlo. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 10 5

6 Costante di tempo (3/3) tensione τ 2τ 3τ 4τ 5τ tempo Per t=3τ, la tensione v si è ridotta a circa il 5 % del valore iniziale, e per t=7τ all 1 per mille. Quindi, in pratica, il transitorio si può considerare esaurito dopo alcune costanti di tempo. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 11 isposta libera di un circuito L L i(t) I 0 S Circuito L (duale del circuito C) L interruttore S è spento per t < 0, e viene acceso all istante t=0. L andamento nel tempo della corrente i(t) è: conτ= LG= L. i(t)=i 0 e t/τ Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 12 6

7 Circuito derivatore (1/2) v in C _ v out Calcolare v out (t) in funzione di v in (t). Anzitutto, bisogna osservare che l amplificatore operazionale è retroazionato negativamente. Quindi si applica il principio della terra virtuale: v = v. Pochè v = 0, risulta anche v = 0. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 13 Circuito derivatore (2/2) v in C _ v out KCL applicata all ingresso ( ): i C (t)=i (t), da cui: C d (v in(t) 0) = 0 v out(t) e risolvendo rispetto a v out (t) si ottiene: v out (t)= C dv in(t) = τ dv in(t) L uscita è proporzionale alla derivata dell ingresso. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 14 7

8 isposta nel tempo del derivatore (1/3) v in C _ v out v out (t)= C dv in(t) Se v in (t)=v A sin2π f 0 t, allora: = τ dv in(t) v out (t)= 2π f CV A cos2π f 0 t=2π f CV A sin ( 2π f 0 t 3π 2 L ampiezza della tensione è moltiplicata per 2π f 0 C= 2π f 0 τ. ) Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 15 isposta nel tempo del derivatore (2/3) =1 kω, C= 1 nf, V A = 1 V, f 0 = 1 MHz 8.0V 4.0V 0V -4.0V -8.0V 0s 0.5us 1.0us 1.5us 2.0us V(V1:) V(E1:3) Time Costante di tempo:τ = 1µs; ampiezza della tensione di uscita: 2π f 0 τv A = 6.28 V. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 16 8

9 isposta nel tempo del derivatore (3/3) =1 kω, C= 1 nf, V A = 1 V, f= 1 khz 10mV SEL>> -10mV 1.0V V(E1:3) τ = 1µs; -1.0V 0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms V(V1:) V(E1:3) Time V A 2π f 0 τ = mv (i grafici hanno scale diverse). Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 17 Circuito integratore v in _ C v out Dalla KCL al nodo di terra virtuale si ha v in(t) risolvendo rispetto a v out (t) si ottiene: = C dv out(t), e v out (t)= 1 C t 0 v in (t) v(0) L uscita è proporzionale all integrale dell ingresso. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 18 9

10 isposta nel tempo dell integratore (1/3) v in _ C v out v out (t)= 1 C Se v in (t)=v A sin2π f 0 t, allora: v out (t)= t V A 2π f 0 C cos2π f 0tv(0)= 0 v in (t) v(0) V A (2π 2π f 0 C sin f 0 t π ) v(0) 2 L ampiezza della tensione è divisa per 2π f 0 C= 2π f 0 τ. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 19 isposta nel tempo dell integratore (2/3) =1 kω, C= 1 nf, V A = 1 V, f 0 = 1 MHz 1.5V 1.0V 0V -1.0V -1.5V 0s 0.5us 1.0us 1.5us 2.0us V(E1:3) V(1:1) Time Costante di tempo:τ = 1µs; ampiezza della tensione di uscita: V A 2π f 0 τ = V. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

11 isposta nel tempo dell integratore (3/3) =1 kω, C= 1 nf, = 1 V, f= 10 khz 10V 0V -20V τ = 1µs; -40V 0s 20us 40us 60us 80us 100us V(E1:3) V(1:1) Time V A 2π f 0 τ = 15.9 V. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 21 Circuiti con più capacità e induttanze La relazione tensione-corrente per le capacità e le induttanze è espressa mediante una derivata (o un integrale) nel tempo: i=c dv per la capacità e v= L di per l induttanza. Quindi, in generale, per risolvere un circuito contenente n elementi circuitali C o L bisogna risolvere una equazione differenziale di ordine n rispetto al tempo t. Per evitare le complessità di calcolo, invece di ricavare la risposta nel dominio del tempo, si ricava la risposta nel dominio della frequenza. L operatore matematico che permette di passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza (e viceversa) è la trasformata di Fourier. La definizione matematica della trasformata di Fourier e il suo uso nell analisi dei circuiti fanno parte del programma di Elettronica II. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

12 Guadagno di tensione In un circuito lineare tempo-invariante (cioè un circuito lineare in cui i valori dei parametri non cambiano nel tempo) se il segnale di ingresso è una sinusoide ad una determinata frequenza f anche il segnale di uscita è una sinusoide alla stessa frequenza f, con un ampiezza diversa e una fase diversa. Il guadagno del circuito è il rapporto tra l ampiezza della sinusoide di uscita e l ampiezza della sinusoide di ingresso. A V = 2π f C per il derivatore A V = 1 2π f C per l integratore Il guadagno dipende dalla frequenza. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 23 isposta in frequenza (1/4) La risposta in frequenza di un circuito è il grafico del guadagno in funzione della frequenza. isposta in frequenza del derivatore (scala lineare): 8.0V 6.0V 4.0V 2.0V 0V 0Hz 0.2MHz 0.4MHz 0.6MHz 0.8MHz 1.0MHz V(V1:) V(E1:3) Frequency Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

13 isposta in frequenza (2/4) isposta in frequenza dell integratore (scala lineare): 20V 15V 10V 5V 0V 0Hz 0.2MHz 0.4MHz 0.6MHz 0.8MHz 1.0MHz V(E1:3) V(1:1) Frequency Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 25 isposta in frequenza (3/4) Solitamente il grafico della risposta in frequenza viene fatto in scala logaritmica. isposta in frequenza del derivatore (scala logaritmica): 100V 1.0V 10mV 100uV 1.0uV 1.0Hz 100Hz 10KHz 1.0MHz V(V1:) V(E1:3) Frequency Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

14 isposta in frequenza (4/4) isposta in frequenza dell integratore (scala logaritmica): 10MV 100KV 1.0KV 10V 100mV 1.0Hz 100Hz 10KHz 1.0MHz V(E1:3) V(1:1) Frequency Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 27 Sfasamento (o fase) Lo sfasamento è dato dalla differenza dei tempi in cui le due sinusoidi raggiungono il picco positivo (o negativo), divisa per il periodo e moltiplicata per 2π: ϕ=2π t p,in t p,out T = 2π f (t p,in t p,out ) dove t p,in e t p,out sono i tempi in cui le funzioni raggiungono i rispettivi valori di picco. ϕ= 3π 2 per il derivatore, ϕ= π 2 per l integratore Siccome i segnali sono periodici, lo sfasamento non è univoco, ma è definito a meno di 2π (di solito si usa il valore compreso tra π eπ). Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

15 Guadagno in potenza (1/4) Il guadagno in potenza di un amplificatore A si determina nel modo seguente: Si considera un generatore di segnale collegato ad una resistenza di carico, senza amplificatore, e si calcola la potenza trasferita al carico: P 1 = V2 1 V 1 - Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 29 Guadagno in potenza (2/4) Si inserisce l amplificatore A tra il generatore di segnale e la resistenza di carico, e si calcola la potenza trasferita al carico: P 2 = V2 2 = E2 V1 2 A: amplificatore di tensione con guadagno E V V 2 = E V 1 Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

16 Guadagno in potenza (3/4) Il guadagno in potenza è il rapporto tra le potenze: G=P 2 /P 1 Il guadagno viene espresso in scala logaritmica; la sua unità di misura è il decibel: ( ) P2 G db = 10log 10 P 1 Il decibel è la decima parte del bel (da Alexander G. Bell). Il bel non si usa in pratica mai; siccome il guadagno di solito viene specificato con una precisione fino al decimo di bel, si usa il decibel per esprimerlo con numeri interi. Nota: anche la nostra percezione sensoriale è legata al logaritmo delle grandezze fisiche percepite. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 31 Guadagno in potenza (4/4) ( ) P2 G db = 10log 10 P 1 Poiché P 2 = V2 2 e P 1 = V2 1, risulta: G= V2 2 V 2 1 = ( ) 2 V2 V 1 ( ) 2 V2 G db = 10log 10 = 20log V 10 1 ( V2 V 1 ) = 20log 10 E Attenzione: passando dal rapporto tra due potenze al rapporto tra due tensioni (o due correnti) il guadagno in decibel si ottiene moltiplicando per 20 (e non per 10). Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

17 isposta in frequenza in decibel isposta in frequenza del derivatore (scala in decibel): Hz 100Hz 10KHz 1.0MHz DB(V(V1:)) DB(V(E1:3)) Frequency Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 33 isposta in frequenza in decibel isposta in frequenza dell integratore (scala in decibel): Hz 100Hz 10KHz 1.0MHz DB(V(V1:)) DB(V(E1:3)) Frequency Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p

18 Collegamento in cascata di circuiti Due circuiti sono collegati in cascata quando l uscita del primo è collegata all ingresso del secondo: v i - - v 1 = E 1 V i - - v o = E 2 V 1 G= v2 o v 2 i = (E 1 E 2 ) 2 G db = 10log 10 (E 1 E 2 ) 2 = 20log 10 (E 1 E 2 )=20log 10 E 1 20log 10 E 2 Esprimendo i guadagni in decibel, il gaudagno totale si ottiene facendo la somma dei guadagni dei singoli stadi. Elettronica I isposta dei circuiti C e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p