Elementi di Algebra Lineare Il determinante

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1 Elementi di Algebra Lineare Cristina Turrini UNIMI /2016 Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 17

2 index 1 2 Sottomatrici e minori Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 2 / 17

3 Definizione di determinante D ora in poi supporremo sempre che sia K = Q, R, oppure C. Sia σ : J n J n una permutazione su J n = {1, 2, 3,..., n}. ( ) n σ : σ(1) σ(2) σ(3) σ(n). Si dice che σ è di classe pari (rispett. dispari) se è prodotto di un numero pari (rispett. dispari) di scambi. ( ) ( ) ESEMPI è di classe pari, è di classe dispari. Si dimostra che la definizione di classe pari e dispari è ben posta, ovvero non dipende dal modo con cui σ si ottiene come composizione di scambi. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 3 / 17

4 Data σ S n (gruppo simmetrico su n elementi), definiamo { +1 se σ è pari, ε(σ) = 1 se σ è dispari. Sia A Mat n,n (K), A = (α ij ) i=1,...,n. Si definisce determinante di A: j=1,...,n ( ) det A = σ S n ε(σ)α 1σ(1) α 2σ(2) α nσ(n). Esso è composto da n! addendi. Ciascun addendo contiene uno ed un solo fattore preso da ciascuna riga e ciascuna colonna (σ è biunivoca). Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 4 / 17

5 Caso n = 2. ( ) α11 α A = 12 α 21 α 22 S 2 = {σ 1 = id, σ 2 = ( ) } ε(σ 1 ) = 1 ε det A = +α 1σ1 (1) α 2σ1 (2) α 1σ2 (1) α 2σ2 (2) = α 11 α 22 α 12 α 21. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 5 / 17

6 Caso n = 3. ( α11 α 12 α 13 ) A = α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 σ 4 = σ 1 = id σ 2 = ( 1 2 ) #S 3 = 3! = 6 ( 1 2 ) σ 5 = ε(σ 1 ) = ε(σ 2 ) = ε(σ 3 ) = +1 ( 1 2 ) σ 3 = ( 1 2 ) σ 6 = ( 1 2 ) ε(σ 4 ) = ε(σ 5 ) = ε(σ 6 ) = 1 det(a) = α 11 α 22 α 33 + α 12 α 23 α 31 + α 13 α 21 α 32 α 12 α 21 α 33 α 13 α 22 α 31 α 11 α 23 α 32. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 6 / 17

7 Data la matrice A Mat n,n (K), indichiamo con A (1),..., A (n) le colonne di A e con A (1),..., A (n) le righe di A : A (1) A = ( A (1),..., A (n)) =.. A (n) Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 7 / 17

8 Proprietà del determinante Siano A, B Mat n,n (K). 1) det(a T ) = det A; 2) scambiando tra loro due colonne, il determinante cambia (solo) il segno (idem per le righe) (il determinante è alternante) det( (..., A (i),..., A (j)... ) ) = det( (... A (j),..., A (i),..., ) ); 3) il determinante è lineare in ogni colonna, fissate le altre n 1 colonne (idem per le righe) (il determinante è multilineare); det((..., λb + µc...)) = λ det((..., B,...,)) + µ det((..., C,...,)); Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 8 / 17

9 4) sia I = I n la matrice identica, det I = 1; 5) (teorema di Binet) det(a B) = det A det B; 6) le colonne di A sono l.d. se e solo se det A = 0 (idem per le righe); 7) det(λa) = λ n det A (λ K); 8) A ammette inversa A 1 se e solo se det(a) 0, e inoltre, se det(a) 0, si ha det(a 1 ) = 1 det(a). Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 9 / 17

10 index Sottomatrici e minori 1 2 Sottomatrici e minori Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 10 / 17

11 Sottomatrici e minori Sia M Mat m,n una matrice con m righe e n colonne. Si dice sottomatrice di M una qualsiasi matrice che si ottiene cancellando da M alcune righe (eventualmente nessuna) e alcune colonne (eventualmente nessuna). Si dice minore di M il determinante di una sua qualsiasi sottomatrice quadrata. Se A = (a ij ) Mat n,n è una matrice quadrata, si dice minore complementare dell elemento a hk il determinante della sottomatrice M ij di A che si ottiene cancellando la righa h esima e la colonna k esima. Si dice complemento algebrico (o cofattore) dell elemento a hk il numero A ij = ( 1) i+j det M ij K. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 11 / 17

12 Sottomatrici e minori TEOREMA (I teorema di Laplace - Data A Mat n,n (K), è (per la i-esima riga): (per la j-esima colonna): det A = α i1 A i1 + α i2 A i2 + + α in A in ; det A = α 1j A 1j + α 2j A 2j + + α nj A nj. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 12 / 17

13 Sottomatrici e minori Il I teorema di Laplace fornisce una metodo (di tipo ricorsivo) per il calcolo del determinante. Ad esempio, nel caso n = 3, per la prima riga si ha: ( ) a11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a ( 33 ) ( ) ( ) a22 a a 11 det 23 a21 a a 32 a a 12 det 23 a21 a 33 a 31 a + a 13 det a 31 a. 32 (il calcolo di determinanati k k viene ridotto a quello di determinanti (k 1) (k 1)). Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 13 / 17

14 Sottomatrici e minori Spazio delle righe e spazio delle colonne Data una matrice M Mat m,n, si dice rango per righe di M la dimensione del sottospazio R(M) =< M(1) T,..., M (m) T > Kn generato dalle righe di M (più precisamente si tratta del sottospazio di K n generato dai vettori colonna che si ottengono trasponendo le righe di M). Analogamente si dice rango per colonne di A la dimensione del sottospazio C(M) =< M (1),..., M (n) > K m generato dalle colonne di M. Il rango per colonne dim(c(m)) e il rango per righe dim(r(m)) di una matrice M sono uguali tra loro e coincidono con la caratteristica (o rango) r(m) di A (numero di righe non nulle di una riduzione a scalini di M) dim(r(m) = dim(c(m)) = r(m). Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 14 / 17

15 Sottomatrici e minori L uguaglianza "rango per righe = rango per colonne" è conseguenza di un ulteriore significato della nozione di rango: il rango r di una matrice M è il massimo ordine µ(m) di minori non nulli estratti dalla matrice M, ossia M ha rango r se e solo se esiste un minore non nullo r r di M e tutti i minori s s di M, con s > r, sono nulli. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 15 / 17

16 Sottomatrici e minori Reinterpretazione del teorema di nullità + rango in termini di sistemi lineari. Il teorema di Rouché Capelli, per un sistema omogeneo (che ha sempre soluzioni) dice che: la dimensione dello spazio S delle soluzioni del sistema A x = 0 di m equazioni in n incognite con rango di A uguale a r verifica dim(s) = n r. Il teorema di nullità + rango dice che la dimensione ker(l A ) del nucleo dell applicazione L A verifica dim(ker(l A )) = n r. D altra parte sappiamo che è ker(l A ) = S. Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 16 / 17

17 Sottomatrici e minori Metodo di Kronecker (o dei minori orlati) per il calcolo della caratteristica. Si cerca un minore non nullo, diciamo h h, di M. Si considerano tutti i minori (h + 1) (h + 1) che "orlano" il minore h h di cui sopra. Se tutti questi minori sono nulli, il rango di A è h, altrimenti il rango è almeno h + 1 ed esiste un minore (h + 1) (h + 1) non nullo. Si considerano tutti i minori (h + 2) (h + 2) che "orlano" il minore (h + 1) (h + 1) di cui sopra,... Cristina Turrini (UNIMI /2016) Elementi di Algebra Lineare 17 / 17