= = 28,3333 C. x =

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1 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in Farmacia - anno acc 2012/2013 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unifeit Esercizi 9: Regressione Lineare Esercizio 1 Si vuole studiare la relazione che intercorre tra la temperatura e il tempo (in minuti) di sopravvivenza di certi micro-organismi Si sono rilevati i seguenti dati: Temperatura Tempo di sopravvivenza a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato b) Determinare l equazione della retta dei minimi quadrati c) Determinare la temperatura per cui un micro-organismo sopravvive per 15 minuti a) Calcoliamo le medie dei valori di X e Y: e x = = = 28,3333 C y = = = 17,6667min Per calcolare il coefficiente di correlazione e in seguito l equazione della retta dei minimi quadrati è utile compilare la seguente tabella x i x i x (x i x) 2 y i y i y (y i y) 2 x i y i 20-8,33 69, ,67 58, ,33 18, ,67 32, ,33 0, ,33 0, ,67 2, ,33 40, ,67 13, ,33 18, ,67 58, ,33 5, TOT 163,37 155,

2 2 Dunque r = = ( n x i y i ) nx y i=1 n (x i x) 2 i=1 = n (y i y) 2 i= , , ,37 155,34 0,8228 la retta è un buon modello, quindi ha senso calcolare l equazione della retta dei minimi quadrati b) Determiniamo ora l equazione della retta dei minimi quadrati y = mx +q, dove e m = = ( n x i y i ) nx y i=1 = n (x i x) 2 i= , , , 37 0,812 q = y mx = 17,6667 0,812 28,3333 5,34 dunque l equazione della retta dei minimi quadrati è y = 0,812x 5, Tempo di sopravvivenza Temperatura

3 c) Poniamo y = 15min, allora la temperatura per cui il micro-organismo sopravvive è data da: x = y +5,34 0,812 = 15+5,34 0, C Esercizio 2 Si vuole studiare la relazione che intercorre tra il numero di anni di studio di spagnolo e il punteggio ottenuto in un test di conoscenza della lingua Si valuta il risultato ottenuto da 10 persone scelte a caso tra i partecipanti al test Anni di studio Punteggio a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato b) Determinare l equazione della retta dei minimi quadrati c) Determinare che punteggio ci si aspetta di ottenere da una persona che studia spagnolo da 6 anni a) r = 0,911 b) y = 10,905x +31,533 c) y = 10, ,533 = 96, Esercizio 3 In un gruppo di 5 adulti la somministrazione di un farmaco in dosi diverse ha determinato le seguenti diminuzioni di pressione Dose in mg Diminuzione di pressione in mmhg a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato b) Determinare l equazione della retta dei minimi quadrati a) r = 0,976 b) y = 0,9973x +2,4441 Esercizio 4 Si vuole studiare la relazione che intercorre tra la velocità con cui cammina una persona e l ossigeno consumato da essa Si valuta il risultato ottenuto da 9 persone scelte a caso

4 4 Velocità in Km/h Ossigeno consumato in l/h ,5 3 21, , a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato b) Determinare l equazione della retta dei minimi quadrati c) Quanto ossigeno mi aspetto che consumi una persona che si muove alla velocità di 10 Km/h? a) r = 0,985 b) y = 0,62x+19,35 c) y = 0, ,35 = 25,55 l/h Esercizio 5 Si vuole studiare la relazione che intercorre tra il peso in Kg di una persona e la sua statura in cm Si valuta il risultato ottenuto da 10 persone scelte a caso Peso in Kg Statura in cm a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato b) Determinare l equazione della retta dei minimi quadrati c) Un individuo di 90Kg, alto 175cm è da considerarsi anomalo? a) r = 0,9504 b) y = 0,9448x +106,66

5 c) Un individuo che pesa 90Kg dovrebbe essere alto y = 0, ,66 = 191,69cm quindi è da considerarsi anomalo Un individuo alto 175 cm dovrebbe pesare x = y 106,66 = ,66 = 72,33Kg 0, , 9448 Esercizio 6 In tabella sono riportati i punteggi (in centesimi) ottenuti da 10 studenti in due esami di Matematica Matematica I Matematica II a) Calcolare il coefficiente di correlazione r e commentare il risultato b) Determinare l equazione della retta dei minimi quadrati c) Che punteggio dovrebbe ottenere in Matematica I uno studente che ha preso 72 in Matematica II? a) r = 0,9547 b) y = 0,7548x +23,386 c) Uno studente che ha preso 72 in Matematica II dovrebbe prendere in Matematica I x = y 23,386 0, 7548 = 72 23,386 0, ,41 5

6 4 Esercizi sulla Statistica Descrittiva Esercizio 10 Si sono pesate 25 confezioni di pasta di semola di grano duroda 500g per verificare i pesi effettivi Si sono ottenuti i seguenti dati: 499, 498, 503, 502, 496, 499, 500, 503, 500, 498, 499, 500, 496, 499, 498, 503, 496, 499, 499, 496, 499, 498, 498, 496, 498 a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l istogramma delle osservazioni b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso inferiore a 500 grammi a) Tabella della distribuzione delle frequenze: x = Peso Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Percentuale ,2 20% ,24 24% ,28 28% ,12 12% ,04 4% ,12 12% %

7 5 f b) La media è x x = = 498,88 25 La moda è il peso con la maggior frequenza, quindi 499 Per determinare la mediana dobbiamo disporre prima di tutto i dati in ordine crescente Poiché tali dati sono 25 (numero dispari), dobbiamo prendere il valore che sta nella posizione centrale, ossia nella 13 esima Abbiamo così x = 499 La varianza è s 2 = 1 24 [ 5 ( ,88) 2 +6 ( ,88) 2 +7 ( ,88) ( ,88) 2 +1 ( ,88) 2 +3 ( ,88) 2] = 4,61 Lo scarto quadratico medio è s = s 2 2,15 c) Le confezioni con peso inferiore a 500g sono 18, quindi in percentuale sono 18 = 0,72 = 72% 25 Esercizio 11 È stato fatto un test di verifica sul peso in grammi di 20 confezioni di una determinata pomata I dati ottenuti sono: a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l istogramma delle osservazioni

8 6 b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso dei prodotti c) Determinare la percentuale dei prodotti con peso inferiore a 35 grammi b) x = 34,5; moda = 35; x = = 35 (i dati sono 20, numero pari, 2 quindi, una volta sistemati i dati in ordine crescente, la mediana è la media aritmetica tra i dati in decima e undicesima posizione); s 2 = 3, ; s 1, c) 45% Esercizio 12 Si sono pesate 25 confezioni di crema solare da 80g per verificare i pesi effettivi Si sono ottenuti i seguenti dati: 79, 77, 81, 81, 76, 79, 79, 83, 80, 77, 77, 80, 76, 79, 77, 77, 76, 79, 77, 76, 79, 77, 81, 77, 81 a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l istogramma delle osservazioni b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso maggiore o uguale a 80 grammi b) x = 78,44; moda = 77; x = 79; s 2 = 3,923333; s 1, c) 28% Esercizio 13 Si sono esaminate 30 confezioni di una crema per le mani il cui peso varia da 60g a 65g per verificare i pesi effettivi Si sono ottenuti i seguenti dati: 61, 63, 64, 60, 61, 63, 63, 65, 65, 64 61, 63, 65, 60, 62, 62, 62, 64, 63, 62, 62, 61, 62, 63, 62, 63, 62, 65, 62, 62 a) Sistemare i dati in una tabella (che rappresenta la distribuzione di frequenza) e disegnare l istogramma delle osservazioni b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio del peso delle confezioni c) Determinare la percentuale delle confezioni con peso maggiore a 62 grammi

9 7 b) x = 62,57; moda = 62; x = 62; s 2 = 1,98; s 1,4 c) 46,7% Esercizio 14 Di seguito sono riportati i numeri di lavoratori assenti da un azienda in 50 giorni lavorativi: a) Costruire la tabella della distribuzione delle frequenze assolute suddividendo i dati in 6 classi b) Rappresentare le frequenze assolute tramite un istogramma c) Costruire quindi la tabella della distribuzione delle frequenze percentuali d) Rappresentare le frequenze percentuali in un grafico a torta Esercizio 15 Si sono rilevate per 80 volte, in una data unità di misura, le emissioni giornaliere di un gas inquinante da un impianto industriale, ottenendo i seguenti dati: a) Suddividerei dati in 7 classi di ampiezza 4, partendodal valore 50, ecostruire la tabella della distribuzione delle frequenze b) Tracciare l istogramma relativo alle frequenze assolute c) Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio a) Tabella della distribuzione delle frequenze: Classi x = Val centrale Freq Assoluta Freq Relativa Freq Percentuale 50 < x % c) x = 188; x = 19; s ; s

10 8 Esercizio 16 Si sono misurati in cm i diametri di 80 sbarre di acciaio, ottenendo i seguenti dati: a) Suddividere i dati in 7 classi di ampiezza 01, partendo dal valore 430, e costruire la tabella della distribuzione delle frequenze b) Tracciare l istogramma relativo alle frequenze assolute c) Calcolare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico medio a) Tabella della distribuzione delle frequenze: Classi x = Val centrale Freq Assoluta Freq Relativa Freq Percentuale 430 < x % c) x = 46475; x = 465; s ; s Esercizio 17 Si sono rilevati i pesi in hg di 100 neonati nati nel mese di dicembre 2011 all ospedale di Ferrara, ottenendo i seguenti dati: x = Peso in hg Numero di neonati 27 < x < x < x < x < x 42 8 a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l istogramma delle osservazioni b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico del peso dei neonati a) Tabella della distribuzione delle frequenze e istogramma:

11 x = Valore centrale Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Percentuale 28,5 6 0,06 6% 31,5 28 0,28 28% 34,5 42 0,42 42% 37,5 16 0,16 16% 40,5 8 0,08 8% % 9 f 42/3 28/3 16/3 8/3 6/3 28,5 31,5 34,5 37,5 40,5 x b) La media è x = 6 28, , , ,5+8 40,5 = 34, La moda è il peso con la maggior frequenza, quindi 34,5 Per determinare la mediana dobbiamo disporre prima di tutto i dati in ordine crescente Poiché tali dati sono 100 (numero pari), dobbiamo fare la media aritmetica tra i valori che stanno nella 50 esima e 51 esima posizione (essi valgono entrambi 34,5) Abbiamo così x = 34,5 La varianza è s 2 = 1 99 [ 6 (28,5 34,26) (31,5 34,26) (34,5 34,26) (37,5 34,26) 2 +8 (40,5 34,26) 2] 9,03273 Lo scarto quadratico medio è s = s 2 3,00545

12 10 Esercizio 18 Si sono rilevati i pesi in Kg di un gruppo di 200 persone, ottenendo i seguenti dati: x = Peso in Kg Numero di persone 59 < x < x < x < x < x < x < x 80 2 a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l istogramma delle osservazioni b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico del peso delle persone c) Determinare la percentuale delle persone che pesano meno di 64 Kg b) x = 68,645; moda = 69,5; x = 69,5; s 2 17,49; s 4,18 c) 20,5% Esercizio 19 Si sono rilevate le età dei 100 dipendenti di un azienda, ottenendo i seguenti dati: x = Età Numero di dipendenti 29 < x < x < x < x < x < x < x 50 1 a) Sistemare i dati nella tabella di distribuzione delle frequenze, specificando il valore centrale con cui si identifica ogni classe e disegnare l istogramma delle osservazioni b) Determinare media, moda, mediana, varianza e scarto quadratico dell età dei dipendenti c) Determinare la percentuale dei dipendenti che hanno più di 45 anni b) x = 37,79; moda = 39,5; x = 36,5; s 2 14,23; s 3,77 c) 4%