Meccanica dei fluidi (2) Dinamica dei fluidi Lezione 11, 12/11/2018, JW

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1 Meccanica dei fluidi (2) Dinamica dei fluidi Lezione 11, 12/11/2018, JW Flusso di un fluido e continuità Continuità: Il fluido non si accumula e non sparisce lungo il suo percorso. La quantità di fluido " # che passa dal punto 1 in un tempo $, è uguale alla quantità di fluido " % che passa dal punto 2: " # = ' # ( # = ' # ) # * # $ " % = ' % ( % = ' % ) % * % $ segue l'equazione di continuità: ' # ) # * # = ' % ) % * % 1

2 6. Flusso di un fluido e continuità l'equazione di continuità:! " # " $ " =! & # & $ & Per un fluido incomprimibile (e.g. liquidi)! " =! & segue: # " $ " = # & $ & Dove il tubo si restringe il flusso è più rapido Il prodotto #$ è ance chiamata la portata (unità SI: m 3 /s) 2

3 7. Equazione di Bernoulli Se la velocità aumenta, vuol dire che sul fluido è stato compiuto un lavoro. Lavoro compiuto da! " : $ " = & " ' " =! " ( " ' " =! " ) " Lavoro compiuto da! * : $ * =! * ) " Lavoro totale: $,-, = $ " + $ * =! " ) "! * ) * = (! "! * ) ) (per un fluido incomprimibile) 7. Equazione di Bernoulli Energia cinetica di un elemento di fluido! = # $ &'$ = # $ ( )'$ Imponendo l uguaglianza tra il lavoro svolto e l aumento di energia cinetica otteniamo * +,+ =! =! $! #. #. $ ) = # $ ( )' $ $ # $ ( )' # $. #. $ = # $ (' $ $ # $ (' # $. # + # $ (' # $ =. $ + # $ (' $ $ 3

4 7. Equazione di Bernoulli Se cambia anche l'altezza, contribuisce anche un termine!" $ nella differenza di pressione: % & + & (!) & ( +!"$ & = % ( + & (!) ( ( +!"$ ( L equazione di Bernoulli esprime la conservazione dell energia in un fluido. È valida finché si possono ignorare le perdite di energia causate dagli attriti e resistenze, che producono calore L equazione di Bernoulli Termini:! %&' + %() = costante! : pressione = lavoro per unità di volume :! = 2 3 = = ' %&' = densità di energia cinetica per unità di volume %() = densità di energia potenziale gravitazionale per unità di volume L'effetto Bernoulli: se aumenta la velocità di un fluido, diminuisce la pressione (e vice versa). Daniel Bernoulli

5 8. Dimostrazione dell effetto Bernoulli L effetto Bernoulli si dimostra facilmente: basta un foglio di carta. Tenetelo a un estremità (in modo tale che se fosse rigido rimarrebbe orizzontale), e soffiate parallelamente alla superficie superiore. La maggior velocità e quindi la minor pressione dell aria sopra il foglio dà origine a una forza risultante verso l alto che fa sollevare il foglio. 5

6 8. La legge di Torricelli Se si pratica un foro nella superficie laterale di un recipiente aperto, all esterno del foro e in cima al recipiente la pressione è la stessa (quella atmosferica). Evangelista Torricelli Applicando la legge di Bernoulli:! " + $ &' % " ( + &)* " =! ( + $ &' % ( ( + &)* (!, &)h =!,- + $ &' % ( ( + 0 &)h = $ &' % ( ( ' ( = 2)h 8. Applicazioni dell equazione di Bernoulli Se il liquido esce diretto verso l alto, invece, raggiungerà un altezza pari al livello della superficie libera del liquido nel recipiente. 6

7 !, #$% 9. Viscosità Finora abbiamo considerato fluidi ideali", senza perdite dovute all'attrito, e senza interazioni tra le molecole. Un fluido reale che scorre su una superficie risente una forza che si oppone al moto. La proprietà di un fluido che indica la resistenza allo scorrimento si chiama viscosità. La velocità di un fluido viscoso che scorre in un tubo è nulla vicino alle pareti e massima al centro. fluido ideale fluido con viscosità 7

8 9. Viscosità Per mantenere in movimento un fluido viscoso è necessaria una forza Il coefficiente di viscosità η è definito in modo tale che la differenza di pressione nel fluido possa essere espressa come! "! $ = 8'( )* + per un tubo di lunghezza *, sezione +, e velocità media ) 8

9 9. Viscosità La portata (volume di fluido che attraverso una sezione! nell unità di tempo) è # $ = &! = ' ( ' *! * 8,-. Nel caso di un tubo di sezione circolare # $ = &! = ' ( ' *,/ Chiamata l'equazione di Poiseuille Si noti la dipendenza dalla quarta potenza del raggio del tubo. Jean Léonard Marie Poiseuille Esperimento della goccia di pece Università del Queensland Stima della viscosità: Poiseuille: " # = % &'% ( )* +,-. 0 = %&'% ( )* +,. " # Δ3 = 45h 10 : kgm ': > 10ms '@ > 0,1m = 10 : Pa D 0,5 cm, G 5 cm H/ J 10cm : /10 anni =10 > 10 'K m : /(10 > 3 > 10 7 s) = 3,3 > 10 'PQ m : s 'P 0 = PRS TU>)> V>PR WS X +,>R,RVX>:,:>PR W&+ X S Y W& = 1,5 > 10, Pa s 18 9

10 Equazione di continuità:! " # " $ " =! & # & $ & ( $ & = $ ) + - " = $ ) & * ( " * + - * & = $ * - ) * " -* = 1,28m/s * = 1,28m/s 5 4 = 5,12m/s * 978 * portata #$ = 15m 5 8m 5 2,5m/s = 300m > /s Equazione di continuità:! " # " $ " =! & # & $ & ( $ & = $ ) + - " = $ ) & * ( " * + - * & = $ * - ) * " -* = 1,5m/s * * &67 = 1,5m/s 4 8 * 9 = 3,38m/s Equazione di Bernoulli: < " + )!$ * " & +!>? " = < & + )!$ * & +!>? & < & = < " + )!$ * " & )!$ * & = < " + )! $ * " & $ & = 100kPa + ) kgmF5 1,5m/s & 3,38m/s & * = 100kPa 4,6kPa = 95,4kPa < " < & = 8JK $L # K = < " < & # 8J$L = 967Pa 4 J F5 m & 8J 4 1,5m/s 4 0,1m = 3,2 4 10F5 Pas 10