Fisica Moderna: Corso di Laurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/06/2017

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1 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/6/17 Problema 1 Una particella di spin 1/ è soggetta ad un campo magnetico uniforme B = B ẑ diretto lungo l asse delle z. operatore hamiltoniano che descrive l interazione della particella con il campo magnetico è Ĥ = µ B s = µ Bŝ z dove s = ŝ x, ŝ y, ŝ z ) sono gli operatori di spin, e µ > è un parametro positivo. Si supponga che al tempo t = la particella si trovi in uno stato ψ con spin definito lungo la direzione n = cos θ, sin θ, ), caratterizzato da n s ψ = ψ a) Qual è la probabilità che la particella abbia spin s z = t =? Punti 7) b) Qual è la probabilità che la particella abbia spin s z = t >? Punti 7) c) Qual è la probabilità che la particella abbia spin s x = t >? Punti 7) al tempo al tempo al tempo Problema Una particella di massa m senza spin si muove liberamente sull asse delle x essendo confinata nell intervallo x. a funzione d onda della particella è ψx) = sin π x ) + sin π x ) a) Qual è il valore medio di ˆx in questo stato? Punti 5) b) Qual è l energia media della particella su questo stato? Punti 8) 1

2 Prova scritta Fisica Moderna: 16/6/17: Soluzione Problema 1 a) Scriviamo lo stato ψ = ψ) come combinazione lineare dei due autostati ± di ŝ z : ψ) = x + + y Nella base degli autostati di s z l operatore n s si scrive n s = cos θ σ x + sin θ σ y = ) cos θ i sin θ = cos θ + i sin θ ) e i θ = e i θ Quindi lo stato ψ è definito dall equazione agli autovalori ) ) ) e i θ x x e i θ = y y ovvero y = e i θ x e ψ) = e i θ ) a probabilità che la particella abbia s z = 1. b) Al tempo t lo stato è ψt) = 1 e iµ B t + + e i θ e iµ B t ) al tempo t = è pertanto a probabilità che la particella abbia s z = al tempo t è pertanto 1.

3 c) autostato di s x con autovalore è s x = = ) Pertanto, l ampiezza di transizione è s x = ψt) = 1 e la probabilità che al tempo t s x = è e iµ B t + e i θ e iµ B t ) 1) Problema s x = ψt) = cosµ B t θ)) = cos µ B t θ ) a) Dl grafico della funzione d onda è evidente che il valore medio di x è. a bis) Non dato) Calcoliamo la normalizzazione della funzione d onda ψ = = π dxsin π x ) + sin π x )) = π π π dξsinξ) + sin ξ) = dξ [ sin ξ + sin 4 ξ + sin 3 ξ ] = π 8 ) π Calcoliamo il valore medio di x. Abbiamo per cui e ψ, ˆx ψ ψ, ψ ψ, ˆx ψ = = 3 π 3 π dx x sin π x ) + sin π x )) = dξ ξ [ sin ξ + sin 4 ξ + sin 3 ξ ] = = 3 π π π 3 + 7π3 4 ) 4) = π + 34π + 54π 3 π π) x = π + 115π + 16π 3 π π) 3 3) 5) 6)

4 c) Abbiamo Quindi Ĥ ψ = m ψ = π m sin π x ) cosπ x )) 7) ψ, Ĥ ψ = π m = π m π = π m π π dx sin π x ) cosπ x )) sin π x ) + sin π x )) = dξ sinξ) cos ξ) ) sin ξ + sin ξ) = 8) π + 3 Quindi il valore medio dell energia è 8) ψ, Ĥ ψ ψ, ψ = π π m π 3 8 9) 4

5 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 14/7/17 Problema 1 Un sistema di due spin 1/, è descritto da una Hamiltoniana Ĥ = a s 1 s + b s z 1 + s z ) dove s 1 = s x 1, s y 1, s z 1) sono gli operatori di spin delle due particelle e a e b sono parametri reali. a) Determinare la matrice che rappresenta Ĥ nella base { ±, ± } degli autostati di {ŝ z 1, ŝ z }. Punti 5) b) Determinare gli autovettori e gli autovalori di Ĥ. Punti 6) c) Determinare quali fra i 3 seguenti operatori commutano con Ĥ Punti 5) : s 1 + s ) s x 1 + s x s z 1 + s z d) Si supponga che al tempo t = il sistema si trovi nello stato ψ = +. Qualè la probabilità che al tempo t > il sistema si trovi nello stato ψ 1 = +? Punti 6) Problema Una particella di massa m senza spin si muove liberamente sull asse delle x essendo confinata nell intervallo x. a funzione d onda della particella è ψx) = x sin π x ) a) Qual è il valore medio di ˆp in questo stato? Punti 7) b) Qual è l energia media della particella su questo stato? Punti 7 ) 5

6 Prova scritta Fisica Moderna: 14/7/17: Soluzione Problema 1 a) a matrice che rappresenta Ĥ è + + Ĥ Ĥ + + Ĥ Ĥ + Ĥ + + Ĥ Ĥ + Ĥ + + Ĥ Ĥ + Ĥ + + Ĥ + = + Ĥ Ĥ + Ĥ + + Ĥ + a + b 4 a = b 4 a a 1) 4 a a 4 b) Autovalori ed autovettori di Ĥ sono S = 1, S z = +1 = + + E 1,1 = a 4 + b S = 1, S z = 1 = E 1, 1 = a 4 b S = 1, S z = = ) S =, S z = = ) c) s 1 + s ) e s z 1 + s z commutando con Ĥ. d) E 1, = a 4 E, = 3 a 4 11) 6

7 ψ = 1 S = 1, S z = + S =, S z = ) ψ 1 = 1 S = 1, S z = S =, S z = ) ψt) = 1 e i a t 4 S = 1, Sz = + e i 3 a t 4 S =, Sz = ) + ψt) = 1 S = 1, S z = S =, S z =,, e i a t 4 S = 1, Sz = + e i 3 a t 4 S =, Sz = = = 1 ) e i a t 4 e i 3 a t 4 P t) = + ψt) 1 a t) = cos = sin a t 4 1) Problema a) Calcoliamo la normalizzazione della funzione d onda ψ = = 3 π 3 dx x sin π x ) = 1 Calcoliamo il valore medio di p. Abbiamo per cui ψ, ˆp ψ = i = i 1 dξ ξ sin ξ = 3 π 3 π π 3 1 ) 13) dxψx) ψ x) = dx d dx ψx) ) = = i 1 ψ) ψ) ) = 14) ψ, ˆp ψ ψ, ψ = 15) 7

8 b) Abbiamo Quindi Ĥ ψ = m ψ = π m cos π x π x sin π x ) 16) ψ, Ĥ ψ = π m = m π 1 dx π cos π x + x sin π x ) π x x sin ) = dξ ξ cos ξ sin ξ + ξ sin ξ ) = 17) Quindi il valore medio dell energia è ψ, Ĥ ψ ψ, ψ = π m 1 dξ ξ cos ξ sin ξ + ξ sin ξ ) 1 dξ ξ sin ξ 18) 8

9 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 13/9/17 Problema 1 Una particella di massa m si muove in un potenziale centrale V r) = A r α dove A > e 1 < α < sono due parametri reali. a) Calcolare i livelli energetici ed i raggi delle orbite circolari con la regola di quantizzazione di Bohr. Punti 7) b) Si prenda m = m elettrone, α = 3 e A = 1 ev Angströms3/. Si calcoli il raggio e l energia del livello di Bohr più basso. Punti 6) Problema Una particella di massa m senza spin si muove liberamente sull asse delle x rimanendo confinata nell intervallo x. a funzione d onda della particella al tempo t = è ψx) = sin π x + 3 sin 5 π x a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Punti 6) b) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi nello stato fondamentale? Punti 7) c) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi ancora nello stato ψx)? Punti 7) 9

10 Problema 1 a) Prova scritta Fisica Moderna: 9/13/17: Soluzione e orbite circolari classiche sono determinate dall equazione m v r = A α r α+1 v = A α m r α Il momento angolare di un orbita di raggio r è quindi A α m = m v r = r α 1 a condizione di quantizzazione di Bohr dà quindi per i raggi ovvero n = n = A α m r α 1 n e r n = A α m) α = n ) 1 α n A α m E n = 1 m v n A r α n = 1 A α) r α n = 1 A α α) α m) α α n ) α α b) r 1 = m A = m E 1 = 33 m 3 A = J = ev Problema 1

11 a) o stato normalizzato si può scrivere come combinazione lineare di autostati dell energia dove ψ = 1 E1 + 3 E 5 ) E n = π n m sono i livelli e E n sono le autofunzioni normalizzate. energia media è quindi Ĥ = E E 5 4 = 19 π m b) Al tempo t lo stato è ψt) = 1 e i E 1 t E e i E 5 t E 5 ) a probabilità che la particella si trovi nello stato E 1 al tempo t > è quindi P E1 t) = E 1 ψt) = 1 4 c) a probabilità che al tempo t > la particella si trovi ancora nello stato ψx) è P ψ) t) = ψ) ψt) = 1 e i E 1 t 16 = 1 E 5 E 1 ) t) cos = 16 = cos 1 π t m ) + 3 e i E 5 t 11

12 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 31/1/18 Problema 1 o spazio degli stati di un sistema quantistico è generato da una base ortonormale { 1,, 3 }. Hamiltoniana in questa base è descritta dalla matrice ɛ δ 1 H = δ 1 ɛ δ δ ɛ dove ɛ, δ 1 e δ sono numeri reali. Al tempo t = il sistema si trova nello stato ψ = 1 a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Punti 5) b) Qual è l energia dello stato fondamentale? Punti 7) c) Qual è la probabilità che al tempo t = la particella si trovi nello stato fondamentale? Punti 15) Problema Una particella di massa m senza spin si muove liberamente sull asse delle x rimanendo confinata nell intervallo x. Al tempo t = la funzione d onda della particella è ψ x) = 1 sin π x + i 1 3 sin 3 π x a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Punti 4) b) Qual è il valor medio di x in questo stato? Punti 4) c) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi nello stato fondamentale? Punti 6) d) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi ancora nello stato ψx)? Punti 6) 1

13 Problema 1 Prova scritta Fisica Moderna: 31/1/18: Soluzione a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Il valor medio dell energia nello stato 1 è 1 H 1 = ɛ b) Qual è l energia dello stato fondamentale? Gli autovalori di H sono determinati da ɛ E δ 1 = det δ 1 ɛ E δ = δ ɛ E = ɛ E) [ [ ɛ E) δ] δ1 δ1 ɛ E) ] = = ɛ E) [ ] ɛ E) δ δ1 Pertanto gli autovalori dell energia sono E 1 = ɛ δ1 + δ E = ɛ E 3 = ɛ + o stato fondamentale ha energia E 1 = ɛ δ 1 + δ. δ 1 + δ c) Qual è la probabilità che al tempo t = la particella si trovi nello stato fondamentale? Gli autovettori sono determinati dall equazione ɛ E δ 1 x δ 1 ɛ E δ y = 19) δ ɛ E z ovvero Per E = ɛ = E ɛ E) x + δ 1 y = ɛ E) y + δ 1 x + δ z = ɛ E) z + δ y = y = z = δ 1 δ x 13

14 Quindi il corrispondente autovettore normalizzato è ψ = δ 1 δ 1 3 δ 1 + δ Per E 1,3 = ɛ δ 1 + δ δ 1 x = δ 1 y = ɛ E 1,3 δ 1 + δ y δ z = δ 1 + δ y Quindi i corrispondenti autovettori normalizzati sono ψ 1 = δ δ 1 + δ δ 3 δ 1 + δ ψ 3 = δ δ 1 + δ + δ 3 δ 1 + δ o stato 1 espresso in termini della base degli autostati è 1 = ψ 1 ψ ψ ψ 1 + ψ 3 ψ 3 1 = = δ 1 ψ 1 + δ ψ + δ 1 ψ 3 δ 1 + δ a probabilità che la particella si trovi nello stato fondamentale è quindi Problema P = δ 1 δ 1 + δ ) a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Poiché gli autostati dell energia sono ψ n x) = sin n π x lo stato ψ x) si scrive ψ x) = 1 ψ 1x) + i 3 ψ 3x) 14

15 Pertanto il valor medio dell energia è H = 1 E = E 3 = π m = E E π m = 3 E 1 + E 3 5 = b) Qual è il valor medio di x in questo stato? a distribuzione di probabilità ψ x) = 1 sin π x + i 1 3 sin 3 π x = = 1 π x sin π x 3 sin è simmetrica rispetto al punto x =. Pertanto il valor medio di x è ˆx = c) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi nello stato fondamentale? a probabilità che la particella si trovi nello stato fondamentale è P = = = 3 5 d) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi ancora nello stato ψx)? o stato al tempo t ha funzione d onda ψx, t) = e i E 1 t 1 ψ 1x) + e i E 3 t ampiezza di transizione nello stato ψ è ψ, ψt) = e i E 1 t 1 + i E 3 t e i 3 ψ 3x) 1) 3 15

16 mentre i moduli quadri sono ψ, ψ = ψt), ψt) = ) = 5 6 Pertanto la probabilità di transizione nello stato ψ al tempo t è P t) = e i E 1 t 1 + i E 3 t e 1 3 = 5 6 = cos E 3 E 1 ) t 5 3 e i E 1 t = cos 4 π t m 5 + e i E 3 t 5 = 16

17 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: //18 Problema 1 o spazio degli stati di un sistema quantistico è generato da una base ortonormale { 1,, 3, 4 }. Hamiltoniana in questa base è descritta dalla matrice δ H = δ δ δ δ δ dove δ > è un numeri reale positivo. Il sistema si trova nello stato ψ = 1 + a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Punti 5) b) Qual è l energia dello stato fondamentale? Punti 7) c) Qual è la probabilità la particella si trovi nello stato fondamentale? Punti 15) Problema Un elettrone m di cui trascuriamo lo spin) si muove liberamente sull asse delle x rimanendo confinato nell intervallo x, con = 1 1 m Al tempo t = la funzione d onda della particella è ψ x) = sin π x + 5 i sin 5 π x a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato in elettronvolts? Punti 4) b) Qual è il valor medio di x espresso in metri in questo stato? Punti 4) c) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi nello stato fondamentale? Punti 6) d) In quali istanti di tempo t la particella si troverà ancora nello stato ψ x) con probabilità 1? Punti 6) 17

18 Prova scritta Fisica Moderna: //18: Soluzione Problema 1 a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Abbiamo ψ H ψ = 1 H H + H 1 + H = = + δ + δ + = δ ψ ψ = ) Il valor medio dell energia nello stato ψ è quindi Ē = ψ H ψ = δ 1) b) Qual è l energia dello stato fondamentale? Gli autovalori di H sono determinati da E δ = det δ E δ δ E δ = δ E Pertanto = E) [ E) E) δ ) δ E) ] + δ E) δ ) = = E 4 3 δ E + δ 4 ) E = 3 δ ± 5 δ o stato fondamentale ha energia E 1 = δ = δ ) 18

19 Gli altri livelli sono E = δ E 3 = δ E 4 = δ = δ = δ = δ ) c) Qual è la probabilità che il sistema si trovi nello stato fondamentale? Gli autovettori sono determinati dall equazione E δ x 1 δ E δ x δ E δ x 3 = 5) δ E x 4 ovvero Quindi E x 1 + δ x = δ x 1 E x + δ x 3 = δ x E x 3 + δ x 4 = δ x 3 E x 4 = x 1 = δ E x x 4 = δ E x 3 δ E x = δ x 3 x = δ E E E δ x 3 δ x 1 = E δ x 3 6) Dunque l autovettore di energia E normalizzato è δ E = N E E δ 1 + δ E E δ δ 4 ) 7) E 19

20 dove N E è un fattore di normalizzazione Per cui E 1 = N ) E 4 = N ) E = N ) E 3 = N ) 8) I fattori di normalizzazione sono N = N + = ) a probabilità che il sistema si trovi nello stato fondamentale è Problema P 1 = E 1 ψ = 1 = 1 N ) = ) = 5 = ) = 1 5 1) a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato? Poiché gli autostati normalizzati dell energia sono ψ n x) = sin n π x lo stato ψ x) è equivalente alla funzione d onda ψ x) = ψ 1 x) + i 5 ψ 5 x) Pertanto il valor medio dell energia è H = E E = π m = = 1 π = ev = 785. ev m

21 b) Qual è il valor medio di x in questo stato? a distribuzione di probabilità ψ x) = sin π x + i 5 sin 5 π x = = sin π x + 5 sin 5 π x è simmetrica rispetto al punto x =. Pertanto il valor medio di x è ˆx = = m c) Qual è la probabilità che al tempo t > l elettrone si trovi nello stato fondamentale? a probabilità che l elettrone si trovi nello stato fondamentale è 1 P = = 1 6 d) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi ancora nello stato ψx)? o stato al tempo t ha funzione d onda ψx, t) = e i E 1 t ψ 1 x) + e i E 5 t ampiezza di transizione nello stato ψ è ψ, ψt) = e i E 1 t mentre i moduli quadri sono i 5 ψ 5 x) + e i E 5 t 5 ) ψ, ψ = ψt), ψt) = = 6 Pertanto la probabilità di transizione nello stato ψ al tempo t è e i E 1 t + e i E 5 t 5 P t) = = 6 = cos E 5 E 1 ) t 36 Questa probabilità è pari a 1 quando 1 π t m = π n t n = n 6 π m 1 = cos 1 π t m 18 = n sec 3)

22 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 18/6/18 Problema 1 o spazio degli stati di un sistema quantistico è generato da una base ortonormale { 1,, 3 }. energia in questa base è descritta dalla matrice a a H = a a a a dove a < è un numero reale negativo. Sia X un osservabile che nella stessa base è descritto dalla matrice 1 X = δ δ > 3 a) Quali sono i valori medi dell energia H e di X nello stato ψ = 1 + i 3? Punti 6) b) Calcolare gli autovettori e gli autovalori di H Suggerimento: e radici di n 3 3 n = sono n = 1 e n =.). Punti 1) c) Qual è il valore medio di X nello stato fondamentale? Punti 8) d) Al tempo t = il sistema si trova nello stato ψ. Qual è il valore medio di X al tempo t >? Punti 1)

23 Problema 1 Prova scritta Fisica Moderna: 18/6/18: Soluzione a) Quali sono i valori medi dell energia H e di X nello stato ψ = 1 + i 3? a norma di ψ è Il valore medio dell energia ψ, ψ = = 4 H = 1 4 ψ, H ψ = 1 H11 + i 3 H 1 i ) 3 H H = 4 Il valore medio di X X = 1 4 ψ, X ψ = 1 X11 + i 3 X 1 i ) 3 X X = 4 = δ ) = 7 4 δ b) Calcolare gli autovettori e gli autovalori di H. Sia ψ E = x 1 + y + z 3 un autovettore dell energia di autovalore E. Abbiamo da cui a y + a z = E x a x + a z = E y a x + a y = E z z = E a x y x a + E) = y a + E) x a E ) + y a + E) = a 3

24 a seconda equazione implica o x = y o E = a. Se E = a anche la terza equazione è automaticamente soddisfatta. Pertanto E = a è un autovalore, e i corrispondenti autovettori sono definiti dalla prima equazione z = x y 31) Questo è uno spazio di dimensione. Pertanto l autovalore E = a è doppiamente degenere. Come base ortonormale di questo spazio possiamo prendere, ψ a;1 = ) 3) corrispondente alla soluzione x = 1, y =, z = 1, ed il vettore ortogonale a questo ψ a; = ) 33) Se E a abbiamo invece x = y, e quindi dalla terza delle equazioni sopra x a E a ) + a + E)) = E a E a = 34) perché x. e soluzioni dell equazione per E sono { E = 1 ± 3 a a = a 35) Il valore E = a è stato già considerato. Il terzo autovalore per l energia è pertanto E = a e il corrispondente autovettore, che è lo stato fondamentale per a <, è ψ a; = ) corrispondente alla soluzione x = y = z. 36) 4

25 c) Qual è il valore medio di X nello stato fondamentale? Il valore medio di X sullo stato fondamentale è X = ) X ) = ) δ = δ 37) 3 d) Al tempo t = il sistema si trova nello stato ψ. Qual è la probabilità che al tempo t > il sistema si trovi ancora nello stato ψ? Scriviamo ψ come combinazione lineare della base degli autovettori dell energia ψ = ψ a; ψ a;, ψ + ψ a;1 ψ a;1, ψ + ψ a;1 ψ a;, ψ 38) Poiché ψ a;, ψ = i 3) ψ a;1, ψ = 1 ψ a;, ψ = i) 39) Quindi ψ = ψ a; i 3) + ψ a;1 1 + ψ a; i) Al tempo t il sistema si troverà quindi nello stato ψt) = e i a t ψ a; i 3) + ampiezza nello stato ψ è quindi +e i a t ψ a;1 1 + e i a t ψ a; i) ψ, ψt) = e i a t i 3 + e i a t 1 + ei a t i = = e i a t ei a t ) = = e i a t ei a t 8 3 5

26 a probabilità richiesta è quindi P t) = 1 e i a t a ei t 8 = 3 = cos 3 a t ) = = 1 3 a t) cos 9 e) Al tempo t = il sistema si trova nello stato ψ. Qual è il valore medio di X al tempo t >? o stato ψt) nella base originale degli autostati di X si scrive ψt) = e i a t i 3) + +e i a t 1 + ei a t i) ) e i a t i 3) e i a t i) ) + + e i a t i 3) + e i a t 1 + ei a t i) ) 3 = = e i a t 1 + i 3) + e i a t 3 i) ) 1 + e i a t 1 + i 3) e i a t 1 3 i) ) i 3) e i a t e i a t) 3 6

27 Il valore medio di X sullo stato ψt) è Xt) = 1 δ [ e i ψt), X ψt) = a t 1 + i 3) + e i a t 3 i) e i a t 1 + i 3) e i a t 1 3 i) i 3) e i a t e i a t) ] = = δ 36 [ 11 cos 3 a t cos 3 a t cos 3 a t ] ) = δ 1 [ 3 cos 3 a t sin 3a t ) sin 3 a t ) + = 3 sin 3a t ] Si noti che questa formula dà X) = 7 δ 4 quanto ottenuto al punto a). per t =, in accordo con 7

28 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/7/18 Problema 1 o spazio degli stati di un sistema quantistico è generato da una base ortonormale { 1,, 3 }. energia in questa base è descritta dalla matrice a b H = a b dove a e b sono numero reali. Sia X un osservabile che nella stessa base è descritto dalla matrice 1 X = δ δ > 3 a) Quali sono i valori medi dell energia H e di X nello stato Ψ = ? Punti 6) b) Determinare una base ortonormali di autostati di H Punti 8) c) Al tempo t = il sistema si trova nello stato 1. Qual è il valore medio di X al tempo t >? Punti 1) Problema Un elettrone di massa m = kg di cui trascuriamo lo spin) si muove liberamente sull asse delle x rimanendo confinato nell intervallo x, con = 1 1 metri. Al tempo t = la funzione d onda della particella è ψ x) = sin π x + 3 i sin 3 π x a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato in elettronvolts? Punti 4) b) Qual è la probabilità che al tempo t = sec la particella si trovi nello stato ψ x)? Punti 6) 8

29 Problema 1 Prova scritta Fisica Moderna: 16/7/18: Soluzione a) a norma di ψ è ψ, ψ = = 4 Il valore medio dell energia H = 1 4 ψ, H ψ = 1 4 1, a b 1, 1) a = b 1 = 1 4 1, a + b, 1) a = 1 a + b) b Il valore medio di X X = 1 4 ψ, X ψ = δ ) = b) Sia ψ E = x 1 + y + z 3 un autovettore dell energia di autovalore E. Abbiamo a y + b z = E x a x = E y b x = E z Supponiamo E : in questo caso y = a E x z = b E x E = a + b ovvero, in corrispondenza dei due autovalori E ± = ± a + b 9

30 abbiamo i due autovettori normalizzati ψ ± = 1 1 ± a a + b ± b a + b 3 ) autovettore normalizzato corrispondente all autovalore è invece E = x = y = b a z ovvero ψ = 1 ) b + a 3 a + b c) o stato 1 nella base degli autostati di H si scrive o stato al tempo t sarà 1 = ψ ψ 1 + ψ + ψ ψ ψ 1 = = 1 ψ + + ψ ) ψt) = 1 e i E + t ψ + + e i E t ψ ) = = 1 [ e i E + t 1 + +e i E t 1 a a + b + b a + b 3 ) + a a + b b a + b 3 )] = = cos t a + b 1 + i a a + b sin t a + b i b a + b sin t a + b 3 Il valore medio di X sullo stato ψt) è Xt) = δ [ cos t a + b + + a + 3 b sin t a + b ] a + b 3

31 Problema a) Qual è il valore medio dell energia in questo stato in elettronvolts? Punti 4) Il valore medio dell energia è H = E E 3 5 = π + 7 m 5 = 18.3 ev b) Qual è la probabilità che al tempo t > la particella si trovi nello stato ψ x)? Punti 6) o stato al tempo t è per cui ψ t) = e i E 1 t ψ i e i E 3 t ψ 3 ψ, ψ t) = e i E 1 t + 3 e i E 3 t e la probabilità richiesta P t) = e i E 1 t P sec) = e i E 3 t 5 = cos 8 π t m 5 31

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