OTTICA. Ottica geometrica. Riflessione e rifrazione

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1 Ottica geometrica OTTICA Sappiamo che la luce è un onda elettromagnetica. Essa perciò può non propagarsi in linea retta, analogamente alle altre onde (p. es. quelle sonore). Però, come avviene per tutte le onde, se le dimensioni di eventuali ostacoli sono molto maggiori delle lunghezze d onda in gioco, e se non si scende nei dettagli di quanto succede nei pressi degli ostacoli, la propagazione può essere considerata come rettilinea. L ottica geometrica studia questo tipo di propagazione. La propagazione avviene lungo i raggi, che altro non sono che le linee perpendicolari alla superficie d onda (che è, all incirca, la superficie i cui punti vibrano tutti allo stesso modo e in fase tra loro). Nell ottica geometrica si studia perciò il comportamento dei raggi, quasi che la luce sia formata da particelle in movimento lungo i raggi stessi. Riflessione e rifrazione Nei mezzi isotropi e omogenei, cioè quelli le cui proprietà non cambiano da punto a punto e sono indipendenti dalla direzione, si ha il seguente comportamento della luce che, provenendo da un mezzo incide sul piano di separazione con un altro mezzo 1) Raggio incidente, raggio riflesso, raggio rifratto e la normale (perpendicolare) al piano di separazione sono complanari 2) Angolo di incidenza 1 e angolo di riflessione 1 sono uguali.

2 3) Tra l angolo di incidenza e quello di rifrazione c è la relazione sin(1) = n21 dove n21 è l indice di rifrazione relativo del mezzo 2 sin(2) rispetto al mezzo 1. L indice di rifrazione assoluto n di un mezzo è il rapporto n = ---- ove c e v v sono le velocità della luce nel vuoto e rispettivamente nel mezzo. Quindi nvuoto= 1 e n21 = n2/ n1 da cui n1 sin(1)= n2 sin(2) nota come legge di Snell. c Molto spesso, (pressoché sempre) lunghezza d onda della luce n non è costante ma dipende dalla Il fenomeno della riflessione e della rifrazione può essere interpretato sia dalla teoria ondulatoria che da quella corpuscolare della luce. In particolare, la teoria corpuscolare prevede che la velocità cresca al crescere di n. Riflessione totale

3 Una sorgente puntiforme è immersa in un mezzo a indice di rifrazione n1 (ad es. acqua) affacciato ad un altro con indice di rifrazione n2 < n1. Non tutti i raggi che escono da essa attraversano la superficie di separazione tra i due mezzi. Infatti: n1 n1 sin(1) = n2 sin(2) da cui sin(2) = sin(1),ma sin(2) 1 e n2 n1 n2 quindi sin(1) 1 e sin(1) = sin(c). Quindi esiste un angolo n2 n1 c detto angolo limite oltre il quale non esiste raggio rifratto ma solo il raggio riflesso. In questo caso siamo in presenza della riflessione totale. Se, ad esempio, consideriamo il vetro (n1=1.5) e l aria (n2=1) abbiamo: sin(c) = 1/1.5 = da cui c = 41.8º. Nel prisma di figura si sfrutta questa situazione: il raggio di luce incide sul lato (l ipotenusa ) di un prisma a sezione triangolare (isoscele,rettangolo). In questo caso l angolo di incidenza (45 gradi) è più grande di quello limite (41.8º). Un altra applicazione, oggi di uso corrente, avviene nelle fibre ottiche, usate nelle telecomunicazioni. In questo caso la fibra è fatta da due vetri, incamiciati uno nell altro. Quello più interno ha indice di riflessione n2 più grande di quello interno n1. I raggi che entrano, subiscono una prima rifrazione e poi incidono sulla superficie di separazione tra i due vetri con angolo maggiore di quello critico

4 e vengono, ripetutamente, riflessi totalmente. La luce perciò riesce a percorrere nella fibra lunghissime distanze e con bassa attenuazione. Lenti sottili Una lente è costituita da un mezzo rifrangente (ad es. vetro, n>1) limitato da due superfici curve, generalmente di forma di calotte sferiche. I raggi r1 e r2 delle sfere cui appartengono le calotte sono generalmente diversi. La retta che li congiunge, e che costituisce un asse di simmetria di rotazione per la lente, è chiamato asse ottico principale della lente. I punti V e V in cui l asse della lente incontra le due calotte sono i vertici della lente. La lente è generalmente circondata da aria (n>1). Nel caso di una lente si ha che i raggi di luce che incidono su di essa attraversano una superficie curva. In questo caso gli angoli di incidenza 1, di riflessione 1 e di rifrazione 2 sono quelli tra il raggio incidente e la normale al piano tangente la calotta, nel punto di incidenza. Il raggio prosegue all interno della lente fino a incidere sulla seconda calotta affacciata verso l aria subendo una seconda rifrazione.

5 Se la distanza tra V e V (spessore della lente) è piccola rispetto alla altre in gioco (raggi di curvatura delle calotte, diametro della lente ecc.) siamo in presenza di una lente sottile. Equazione dei punti coniugati Se abbiamo a che fare con una lente sottile i vertici V1 e V2 coincidono con il punto V detto il centro della lente. Per una lente sottile si definiscono come assi ottici tutte le rette che passano per il centro della lente. Se in O c è una sorgente di luce puntiforme e se consideriamo soltanto raggi che escono da O facendo un piccolo angolo con l asse della lente (raggi parassiali), avviene che tutti i raggi che escono da O convergono in un solo

6 punto I, (o, quantomeno vi convergono le rette cui i raggi appartengono). Posto OV = o e VI = i esiste la seguente relazione tra o e i = o i f chiamata equazione dei punti coniugati per la lente sottile. La quantità f, che piglia il nome di distanza focale della lente è una quantità caratteristica della lente che si sta considerando. Osserviamo che se il punto O è molto distante dalla lente, la posizione di I è data da lim i = ±f, cioè il punto coniugato del punto all infinito si o ± trova alla distanza focale. Questo punto si chiama fuoco. Da quanto detto possiamo perciò dire che una lente sottile ha due fuochi, posti dalle due parti opposte della lente e alla stessa distanza. Quindi il raggio 1 proviene dall e, attraversata la lente va a incrociare l asse ottico principale esattamente nel fuoco posteriore della lente, che è posto alla distanza f dal centro della lente. Simmetricamente si comporta il raggio 2 che incontra l asse ottico principale nel fuoco anteriore. Quindi: Raggi paralleli all asse ottico principale convergono nel fuoco. Da = si vede che lim i =, perché o i f o f i

7 1 e similmente lim o =, perché i f o cioè i raggi che escono dal fuoco, dopo aver attraversato una lente convergente, viaggiano parallelamente all asse ottico. Quanto detto mette in evidenza la simmetria tra fuochi e punti all infinito. Infatti se nell equazione dei punti coniugati scambiamo i con o l equazione rimane inalterata! Un importante conseguenza è il cosiddetto principio di invertibilità dei cammini ottici. Infatti avviene che per una lente, e quindi anche per un sistema di lenti poste una di seguito all altra, gli oggetti sono le immagini delle loro immagini. Cioè se l immagine di un oggetto diventa a sua volta oggetto per la stessa lente, l immagine di questo nuovo oggetto è l oggetto di partenza. Quindi per una successione di lenti il percorso dei raggi è reversibile. Nei casi precedentemente considerati, i fuochi erano immagini reali dei punti all infinito. I raggi 1 e 2 provengono entrambi dall infinito, parallelamente all asse ottico, e perciò convergono entrambi nel fuoco.

8 Questo risulta perciò l immagine reale del punto all infinito, punto che è comune a tutti i raggi paralleli all asse ottico. In questo caso la quantità f, positiva, è caratteristica delle lenti convergenti. Nel caso in figura i raggi provenienti dall infinito, all uscita dalla lente, divergono. Siamo in presenza di una lente divergente per la quale la distanza focale f è negativa. Il fuoco è perciò una immagine virtuale dei punti dell asse ottico posti all infinito; infatti, in questo caso, nei fuochi non si incontrano raggi, ma i prolungamenti di essi (a chi osserva la luce che esce dalla lente essa appare come proveniente da F1 o da F2). Per questi motivi la distanza focale f (positiva per le lenti convergenti e negativa per le divergenti) è la grandezza che caratterizza una lente sottile. La quantità D =1/f è chiamata potere diottrico o vergenza -1 della lente e la sua unità di misura è [D] = m = diottria Costruzione geometrica delle immagini prodotte da lenti sottili Per costruire le immagini di un oggetto esteso è bene ricordare alcune proposizioni importanti :

9 1) ogni raggio parallelo all asse ottico viene deviato dalla lente in modo da poter passare (o in modo che il suo prolungamento passi) per il fuoco; 2) un raggio che incide sulla lente uscendo (o se il suo prolungamento esce) dal fuoco, emerge dalla lente parallelo all asse ottico; 3) un raggio che passa per il centro della lente non subisce deviazioni. Quest ultima affermazione può essere dimostrata considerando, come nella figura seguente, che h è proporzionale a d e perciò, se la lente è sottile, il raggio non subisce deviazioni. Consideriamo ora un oggetto O O, perpendicolare all asse ottico principale.

10 Tutti i raggi che escono da O devono convergere in un solo punto I. Quindi basta considerarne soltanto due, fra quelli di cui è noto il comportamento: i raggi che incidono parallelamente all asse ottico (e che vanno nel fuoco), quelli che incidono sulla lente passando per il fuoco (e che escono paralleli all asse) e quelli che incidendo sulla lente passano per il suo centro (e che non subiscono deviazioni). Il punto in cui convergeranno i due raggi che escono dalla lente sarà l immagine I del punto O. L immagine I del punto O si ottiene proiettando I perpendicolarmente sull asse ottico. Dal momento che in I si incontrano dei raggi (non i loro prolungamenti) abbiamo ottenuto un immagine reale (capovolta e rimpicciolita). Nel caso successivo l'immagine è reale (capovolta e ingrandita). In quest altro, invece l'immagine è virtuale (diritta e ingrandita).

11 Ingrandimento lineare E` il rapporto tra la dimensione lineare dell immagine (I I ) e quella dell oggetto (O O ). I I G = O O Se G > 1 l immagine è ingrandita. Se G < 1 l immagine è rimpicciolita. Se G > 0 l immagine è diritta. Se G < 0 l immagine è capovolta. Nel caso seguente: I I è immagine virtuale di OO e 0 < G <1. In quello successivo I I è immagine virtuale di O O e G >1.

12 STRUMENTI OTTICI Ingrandimento angolare Il nostro occhio è un sistema ottico che, dell oggetto da esaminare, forma un immagine reale sulla retina. Nell occhio esiste un organo, il cristallino, che, approssimativamente, possiamo descrivere come una lente con distanza focale variabile. In questo modo l occhio è in grado di mettere a fuoco sia oggetti molto distanti (o = ) che oggetti posti a una distanza minima di ~25 cm (per un occhio sano o metrope ), chiamata distanza della visione distinta o punto prossimo, essendo il punto remoto la distanza alla quale l occhio vede distintamente oggetti lontani, senza dover accomodare il cristallino (cioè deformarlo, per avere un immagine a fuoco sulla retina); tale distanza è = per l occhio metrope ed è finita per l occhio miope. Se un oggetto è posto nel punto prossimo esso viene visto sotto il massimo angolo possibile : un ulteriore avvicinamento è inutile, ne risulterebbe un immagine non nitida. Perciò tg()= OO /d. Per poter vedere l oggetto più distintamente è necessario usare un sistema ottico (ad es. una lente) affinché l angolo C, sotto il quale l occhio vede l immagine dell oggetto, sia più grande di. Tale sistema ottico perciò produrrà un ingrandimento angolare m = /. Una tale definizione dell ingrandimento angolare non è adeguata per angoli grandi (vicini a 90º) e quindi la definizione generale di ingrandimento angolare è tg( ) m = che per angoli piccoli coincide con la precedente. tg()

13 Lente d ingrandimento Si pone l oggetto da ingrandire, sul piano focale della lente (quel piano perpendicolare all asse ottico principale che contiene il fuoco). Il raggio che esce da O e passa per il centro della lente non subisce deviazioni; il raggio che da O viaggia parallelo all asse ottico, superata la lente, passa per il fuoco F1. Questi due raggi risultano pertanto paralleli tra loro e l ímmagine di O viene vista dall osservatore come se provenisse dall infinito consentendogli pertanto di vedere l ímmagine, senza dover accomodare il cristallino, sotto l angolo. OO Avremo tg() = , ove è l angolo sotto cui l oggetto sarebbe visto se d OO d posto nel punto prossimo, e tg( ) = da cui m = Perciò la f f lente è utile solo se f < d. Per un occhio metrope d = 0.25m, per cui se 1/f <1/d e D = 1/f la lente è utile solo se D = 1/f > 4 diottrie.

14 Microscopio Il microscopio è formato da due lenti (o, meglio, due gruppi di lenti) chiamate oculare e obiettivo. L oggetto OO è posto un po più avanti del piano focale dell obiettivo, in modo che la sua immagine (reale) si formi esattamente sul piano focale dell oculare. Quest immagine, trovandosi sul piano focale dell oculare, diventa un oggetto per la lente dell oculare e subisce da parte di questa un ingrandimento angolare pari M = d /foc. La distanza s tra il fuoco posteriore dell obiettivo e quello anteriore dell oculare è la più grande possibile, prende il nome di lunghezza del microscopio e determina l ingrandimento lineare dell obiettivo Mob = -s/ fob (che deriva dalla similitudine tra i due triangoli rettangoli con vertice nel fuoco posteriore dell obiettivo). Perciò l ingrandimento angolare M dell intero microscopio vale s d M = Mob M = dove d è la distanza della visione distinta. fob foc

15 Ottica fisica Principio di Huygens Christiaan Huygens ancora nel XVII secolo propose per i fenomeni luminosi un interpretazione ondulatoria. Il cosidetto Principio di Huygens serve per descrivere con una tecnica geometrica la cinematica delle onde che si propagano in un ambiente in cui esistono ostacoli, quindi dove la loro propagazione non è libera. Questa tecnica permette di costruire tutti i successivi fronti d onda una volta noto il fronte d onda in un certo istante. Tutti i punti di un fronte d onda possono essere considerati come sorgenti di onde semi-sferiche, in avanti, secondarie. Dopo un intervallo di tempo t la nuova posizione del fronte d onda è la superficie inviluppo di queste onde secondarie. La giustificazione dell enunciato di Huygens è evidente nella prossima figura, dove si vede cosa succede quando un onda piana incontra un ostacolo dove è praticato un piccolo foro (piccolo rispetto alla lunghezza d onda, praticamente un punto). Nel foro nasce un onda circolare (non sferica perché il sistema è 2-dimensionale).

16 La natura ondulatoria della luce fu accettata, dopo lunghe discussioni, grazie a un esperimento condotto dall Accademico delle Scienze di Francia François Jean Dominique Arago, in seguito alla presentazione alla stessa Accademia della teoria di Augustin-Jean Fresnel. Nell esperimento si vede, dietro ad uno schermo (molto piccolo) circolare e investito dalla luce, esattamente al centro, un punto luminoso previsto da Siméon-Denis Poisson (sostenitore della teoria corpuscolare) sulla base della teoria ondulatoria che Fresnel aveva sviluppato.

17 Interferenza: esperimento di Young Il foro singolo, per il principio di Huygens, è una sorgente puntiforme. Anche i fori S1 e S2 sono sorgenti puntiformi e, trovandosi alla stessa distanza dal foro singolo, il campo elettromagnetico in S1 e S2 vibra con la stessa fase. Sullo schermo si ha perciò un'alternanza di righe chiare e scure che dipendono dalla lunghezza d'onda e dalla distanza tra le due fenditure. I fronti d onda rappresentati distano tra loro una lunghezza d onda. Quando quelli nati in S1 si incontrano con quelli nati in S2 (linea chiara) danno luogo a interferenza costruttiva e quindi all annerimento della lastra fotografica, posta parallelamente al piano dei fori corrispondente alla formazione di frange chiare (e scure) come in figura. Diffrazione Cosa succede se facciamo passare un onda attraverso fori di diametro d d >> d >> d >

18 vieppiù decrescente? Quando d raggiunge dimensioni paragonabili con la lunghezza d onda si comincia a intravedere luce all interno della zona d ombra. d ~ d = d < Il fenomeno diventa più appariscente quando il diametro è molto vicino a. Quando uguaglia, o addirittura supera d, tutto lo spazio oltre l ostacolo è interessato dalla presenza dell onda. Dal momento che la lunghezza d onda della luce vale 0.4 m < < 0.7 m avviene che fenomeni di diffrazione cominciano a essere visibili le dimensioni degli ostacoli sono inferiori a frazioni di millimetro o se ci si avvicina molto ai bordi di un ostacolo. Se due distinte sorgenti luminose sono molto vicine tra loro, o se sono viste sotto un angolo molto piccolo ( < 5 m rad cioè 100 m alla distanza di 20 cm) esse non appaiono distinte all occhio umano nemmeno se proiettate, con un qualche dispositivo ottico di diametro analogo a quello della pupilla, su di uno schermo. Questo fenomeno rende impossibile osservare, con il microscopio, oggetti molto piccoli, illuminati con la luce, anche se ingranditi a piacere. In questo consiste il limitato potere risolvente di qualunque strumento ottico, dal microscopio al telescopio.