Corso di FGD F A C O L T A D I I N G E G N E R I A. Fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva Ing. Franco Anselmi I-II LEZIONE

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1 Le proiezioni ortogonali Concetto fondamentale: Proiezione Se Il centro della proiezione è un punto reale la proiezioni si dicono coniche (i raggi che partono da C formano una superficie conica) Se C è all infinito allora la proiezione si dice parallela A seconda dell angolo di incidenza del raggio di proiezione sul piano (giacitura)le proiezioni parallele possono essere ortogonali (l angolo è retto) o oblique. Immaginiamo di suddividere lo spazio con due piani ortogonali fra loro: i piani si indicano generalmente con la lettera greca, i nostri si chiamano (quello orizzontale) e (quello verticale). La loro intersezione, una retta, si chiama linea di terra. Lo spazio è separato da questi due piani in quattro parti, che chiamiamo quadranti. 3 O Possiamo anche pensare ad un terzo piano, che chiameremo p3, ortogonale ai precedenti: in questo caso si individua una terna di assi (x,y,z) ed un origine, punto intersezione delle linee di terra dei vari piani.

2 Punto La rappresentazione nelle p.o. dell elemento geometrico più semplice, il punto, è la prima applicazione di quanto esposto precedentemente. Immaginiamo infatti porre due centri di proiezione all infinito, con raggi di proiezione paralleli ai piani e, e di proiettare due punti P e Z, posti supponiamo nel I quadrante e nel III quadrante: Considerando i raggi di proiezioni ortogonali a (quelli verticali!), P avrà come prima proiezione P 1 e così Z avrà Z 1. Considerando invece i raggi di proiezione ortogonali a avremo le seconde proiezioni P 2 e Z 2. P 2 Z 1 P Z P 1 Z 2 P 2 Ruotiamo ora il piano attorno alla linea di terra fino a farlo coincidere con. Avremo riportato su un unico piano, che possiamo considerare il nostro foglio, le due proiezioni dei punti P e Z. In quale quadrante sono i punti? A 2 Z 1 C 2 C 1 D 1 Quota Aggetto Z 2 B 2 B 1 D 2 P 1

3 Segmento e retta Uniamo i punti A e B, posti nel primo quadrante con un segmento: questa operazione si visualizza, nelle proiezioni ortogonali, con il disegno delle due proiezioni del segmento AB B 2 A 2 B 2 A 2 A Segmento AB B B 1 Prolunghiamo il segmento AB, fino ad incontrare i piani e e proseguiamo: abbiamo rappresentato una retta (è di lunghezza infinita!), che chiamiamo r. I punti in cui la retta r seziona i piani e si chiamano rispettivamente prima traccia di r,, (in questo caso nel II quadrante) e seconda traccia di r,. Possiamo osservare che: un punto appartiene ad una retta quando le sue proiezioni appartengono alle proiezioni della retta. Rette parallele hanno proiezioni parallele A B 1 B

4 Vediamo la rappresentazione della retta nelle proiezioni ortogonali. Il punto di traccia è un B 2 punto reale sul piano : si dice unito, la proiezione A coincide con il punto. Nella 2 prima proiezione di la proiezione r 1 incontra la linea di terra. Così il punto in cui la seconda proiezione r 2 incontra la linea di terra è seconda proiezione di, prima traccia della retta, punto unito su. B 1 A 2 Alcune rette caratteristiche: Fig.1: retta di livello, è parallela al piano, ha una traccia reale in, con all infinito, tutti i punti della retta hanno la stessa quota Fig.2: retta perpendicolare a Fig.3: retta perpendicolare a Fig.4: retta parallela a Fig.5: retta parallela alla linea di terra, con entrambe le tracce all infinito

5 Piano Consideriamo un piano generico ricordando che l'intersezione fra due piani è una retta notiamo che interseca i piani e in due rette che chiamiamo tracce indicate con t a l intersezione con e con t a quella con. Traccia Traccia Rappresentiamo ora il piano nelle proiezioni ortogonali: Traccia Traccia

6 Alcuni piani caratteristici: Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5 Fig.1: piano primo proiettante, perpendicolare a e quindi con verticale Fig.2: piano secondo proiettante, perpendicolare Fig.3: piano parallelo a Fig.4: piano parallelo a 3, ovvero perpendicolare a e a Fig.5: piano parallelo alla linea di terra Intersezione fra piani r 2 r 2 r 1 r 1 Proiezione ortogonale Vista assonometrica La retta intersezione di due piani è quella che ha come tracce i punti di intersezione delle tracce dei piani Una retta appartiene ad un piano quando le sue tracce appartengono alle tracce del piano. Un punto appartiene al piano quando la retta che lo contiene appartiene al piano Rette perpendicolari ad un piano hanno proiezioni perpendicolari alle tracce del piano

7 Intersezione fra un piano generico ed un piano primo proiettante Il piano è generico Il piano è primo proiettante con la particolarità di avere la prima traccia perpendicolare alla prima traccia di La retta intersezione r è la retta di massima pendenza del piano in seconda proiezione è visibile, in prima proiezione coincide con la traccia del piano. r 2 Ribaltamento su * r* r 2 Per conoscere l angolo con cui il piano e la sua retta di massima pendenza formano con il piano, operiamo un ribaltamento su del piano assumendo come asse di rotazione la traccia Ribaltiamo così su la seconda traccia di r, *, e congiungendo con la abbiamo il ribaltamento della retta r. L angolo che si forma tra r ribaltata (r*) e è l angolo di incidenza reale.

8 Ribaltamento del piano su P 2 =A 2 P 1 P* Dato il piano disegniamo un piano primo proiettante ribaltiamo la seconda intersezione delle tracce attorno al punto A fino ad incontrare uniamo a con il punto trovato con una retta che sarà il ribaltamento di Dato il punto P appartenente al piano, attraverso l uso delle linee di livello posso rappresentare il ribaltamento P*.