2. Ci sono due soggetti, 1 e 2. Ciascun soggetto i (i = 1; 2) ha la funzione

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1 CONDIVISIONE DEI RISCHI 1. Ci sono due soggetti, 1 e 2. Ciascun soggetto i (i = 1; 2) ha la funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern (VNM) 500Wi 5W U(W i ) = i 2 per W i per W i 50 : (1) La ricchezza di ogni soggetto i ha la seguente distribuzione di probabilità W i p(w i ) 15 2=5 35 3=5 e W 1 e W 2 sono tra loro statisticamente indipendenti. (a) Si descrivano accuratamente le preferenze di ciascuno di questi individui. Entro quale soglia di ricchezza l utilità marginale della ricchezza risulta positiva? Entro quale soglia di ricchezza il soggetto è avverso al rischio? Si rappresenti gra camente la funzione di utilità. (b) Si dimostri che, con la funzione di utilità assegnata, l utilità attesa è esprimibile in termini di media e varianza della ricchezza. (c) Si determini l utilità attesa nonché l equivalente certo di ciascun individuo. (d) Supponiamo ora che i due soggetti condividano i rischi in maniera uniforme. Si determini l utilità attesa di ciascun individuo con la condivisione dei rischi e si determini anche l equivalente certo di ciascun soggetto. (e) Si rappresenti la distribuzione di probabilità della ricchezza di ciascun soggetto con la condivisione dei rischi. Si chiarisca a cosa è dovuto il miglioramento paretiano conseguito per e etto della condivisione dei rischi. (f) Siano ora 200 i soggetti che condividono i rischi. A quanto ammonterebbe la varianza della ricchezza di ciascun soggetto? Si dimostri il risultato. Quale sarebbe l utilità attesa e l equivalente certo di ogni individuo? 2. Ci sono due soggetti, 1 e 2. Ciascun soggetto i (i = 1; 2) ha la funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern (VNM) 1000Wi 10W U(W i ) = i 2 per W i 50 : (2) per W i 50 La ricchezza di ciascun soggetto i ha la seguente distribuzione di probabilità W i p(w i ) 20 3=5 40 2=5 e W 1 e W 2 sono tra loro statisticamente indipendenti. (a) Si descrivano accuratamente le preferenze di ciascun soggetto. Entro quale soglia di ricchezza l utilità marginale della ricchezza risulta positiva? Entro quale soglia di ricchezza il soggetto è avverso al rischio? Si rappresenti gra - camente la funzione di utilità. 1

2 (b) Si dimostri che, con la funzione di utilità assegnata, l utilità attesa è esprimibile in termini di media e varianza della ricchezza. (c) Si determini l utilità attesa nonché l equivalente certo di ciascun soggetto. (d) Supponiamo ora che i due soggetti condividano i rischi in maniera uniforme. Si determini l utilità attesa di ciascun soggetto con la condivisione dei rischi e si determini anche l equivalente certo di ciascun soggetto. (e) Si rappresenti la distribuzione di probabilità della ricchezza di ciascun soggetto con la condivisione dei rischi. Si chiarisca a cosa è dovuto il miglioramento paretiano conseguito per e etto della condivisione dei rischi. (f) Siano ora 50 i soggetti che condividono i rischi. A quanto ammonterebbe la varianza della ricchezza di ciascun soggetto? Si dimostri il risultato. Quale sarebbe l utilità attesa di ciascun soggetto e quale sarebbe il suo equivalente certo? 3. Ci sono due soggetti, 1 e 2. Ciascun soggetto i (i = 1; 2) ha la funzione di utilità VNM U(W i ) = W 1=2 i. La ricchezza di ciascun soggetto i ha la seguente distribuzione di probabilità W i p(w i ) 12 3=5 32 2=5 e W 1 e W 2 sono tra loro statisticamente indipendenti. (a) Si veri chi che ogni soggetto è avverso al rischio. (b) Si determini l utilità attesa nonché l equivalente certo di ciascun soggetto. (b) Supponiamo ora che i due soggetti condividano i rischi in maniera uniforme. Si rappresenti la distribuzione di probabilità della ricchezza di ciascun soggetto con la condivisione dei rischi. (c) Si determini l utilità attesa di ciascun soggetto con la condivisione dei rischi e si determini l equivalente certo di ciascun soggetto. (d) Si chiarisca a cosa è dovuto il miglioramento paretiano conseguito per e etto della condivisione dei rischi. (e) Si supponga che i soggetti che condividono i rischi siano in numero di 80. A quanto ammonterebbe, con la condivisione dei rischi, la varianza della ricchezza di ciascun soggetto? 4. In un sistema economico ci sono due individui, Rossi e Bianchi. La funzione di utilità VNM di Rossi è U R (W R ) = W R mentre la funzione di utilità VNM di Bianchi è U B = W 1=2 B ha una ricchezza W R Entrambi i soggetti detengono ricchezze incerte: le distribuzioni di probabilità di tali ricchezze sono le seguenti W R p(w R ) W B p(w B ) 30 1=4 16 3=4 50 3=4 36 1=4 (a) Si determinino le utilità attese e gli equivalenti certi di Bianchi e Rossi. 2

3 (b) L iniziale allocazione della ricchezza è Pareto e ciente? Motivate la vostra risposta. (c) Si determinino allocazioni delle ricchezze che siano (i) Pareto e cienti e, al tempo stesso, (ii) tali che entrambi i soggetti stiano meglio che con le esistenti dotazioni di ricchezza. CONSUMO INTERTEMPORALE 1. Un soggetto ha un orizzonte temporale di due periodi e la sua funzione di utilità è U = ln C o + 0; 6 ln C 1, dove C o e C 1 rappresentano la spesa monetaria in beni di consumo, rispettivamente nel periodo 0 e nel periodo 1. All inizio del periodo 0 il soggetto dispone di un reddito monetario pari a 100 e all inizio del periodo 2 dispone di un reddito monetario pari a 104. Il soggetto può prendere e dare prestito qualunque somma di denaro a un tasso di interesse di 0; 04. (a) Si scriva l equazione del vincolo di bilancio e la rappresenti gra camente indicando i valori delle intercette sugli assi nonché le dotazioni di reddito del consumatore. (b) Si determinino le scelte di consumo del soggetto, C o e C 1. (c) Quanto denaro prende o dà a prestito il nostro soggetto nel periodo 0? (d) Si consideri ora il tasso di interesse come una variabile indipendente. Si determini il tasso di interesse per il quale il risparmio nel periodo 0 è nullo. 2. Francesca ha un orizzonte temporale di due periodi e la sua funzione di utilità è U = Co 0;55 C 0;45 1, dove C o e C 1 rappresentano la spesa monetaria in beni di consumo, rispettivamente nel periodo 0 e nel periodo 1, spesa che per ipotesi viene e ettuata all inizio di ciascun periodo. All inizio del periodo 0 Francesca dispone di un reddito monetario pari a 100 e all inizio del periodo 1 dispone di un reddito monetario pari a 104. Francesca può prendere e dare prestito qualunque somma di denaro ad un tasso di interesse pari a 0,04. (a) Si scriva l equazione del vincolo di bilancio e la rappresenti gra camente indicando i valori delle intercette sugli assi nonché le dotazioni di reddito di Francesca. (b) Si determinino le scelte di consumo di Francesca, C o e C 1. (c) Quanto denaro prende a prestito o dà a prestito Francesca nel periodo 0? ASSICURAZIONE: AZZARDO MORALE, INCENTIVI E SELEZIONE AVVERSA 1. Ci sono n individui, di cui n H individui di tipo H ed n L individui di tipo L, con n H =n = 0; 04. La ricchezza di ognuno è W = 174; 24. Per ogni individuo, le preferenze sono date dalla funzione di utilità VNM U(W ) = W 0;5. Per ogni individuo L vi è una probabilità di 2=10 di subire una perdita, pari a 35, mentre per ogni individuo H vi è una probabilità di 3=10 di subire una perdita, pari a 113; 4. Vi è una compagnia di assicurazione, interessata a massimizzare il pro tto atteso. La compagnia conosce le proporzioni delle due tipologie di individui ma non sa riconoscere la tipologia di ogni speci co individuo. 3

4 (a) Supponiamo che la compagnia contempli solo polizze che prevedano l integrale risarcimento. Quale premio verrebbe ssato dalla compagnia e quale sarebbe il pro tto atteso? (b) Potreste rappresentare gra camente l esito che si determina nel mercato, in un gra co in cui rappresentate il premio e il costo atteso unitario della compagnia? (c) L esito che si determina nel mercato, quale determinato nella risposta al punto (a), è Pareto e ciente oppure no? Motivate la vostra risposta. (d) Supponiamo ora che la compagnia contempli l eventualità di o rire un menù di contratti. Il contratto, che stabilisce un premio P = 3; 2 e un massimale pari a R = 15 e la polizza, che stabilisce un premio P = 37 e non prevede alcun massimale. Si determini il pro tto totale atteso con il menù di contratti. (e) E più conveniente il menù di contratti o la politica tari aria determinata al punto (a)? 2. Ci sono n individui, di cui n H individui di tipo H ed n L individui di tipo L, con n H =n = 0; 01. La ricchezza di ognuno è W = 169. Per ogni individuo, le preferenze sono date dalla funzione di utilità VNM U(W ) = W 0;5. Per ogni individuo L vi è una probabilità di 0; 25 di subire una perdita, pari a 25, mentre per ogni individuo H vi è una probabilità di 0; 35 di subire una perdita, pari a 133. Vi è una compagnia di assicurazione, interessata a massimizzare il pro tto atteso. La compagnia conosce le proporzioni delle due tipologie di individui ma non sa riconoscere la tipologia di ogni speci co individuo. (a) Supponiamo che la compagnia contempli solo polizze che prevedono l integrale risarcimento. Quale premio verrebbe ssato dalla compagnia e quale sarebbe il pro tto atteso? (b) Potreste rappresentare gra camente l esito che si determina nel mercato, in un gra co in cui rappresentate il premio e il costo atteso unitario della compagnia? (c) L esito che si determina nel mercato, quale determinato nella risposta al punto (a), è Pareto e ciente oppure no? Motivate la vostra risposta. (d) Supponiamo ora che la compagnia contempli l eventualità di o rire il seguente menù di contratti: il contratto, che stabilisce un premio P = 4; 6 e un massimale pari a R = 18 e la polizza, che stabilisce un premio P = 50 e non prevede alcun massimale. Si determini il pro tto totale atteso con il menù di contratti. (e) Per la compagnia è più conveniente il menù di contratti o la politica tari aria determinata al punto (a)? 3. Roberto ha la funzione di utilità VNM U = W 1=2, dove W è la ricchezza, e detiene una ricchezza il cui valore è oggi W = 64 ma può subire una diminuzione di entità pari a 48. La probabilità di tale perdita è 1/4 se Roberto non adotta "precauzioni" ed è invece 1/10 se Roberto adotta delle precauzioni il cui costo è pari a 2. 4

5 (a) Se Roberto non può stipulare un contratto di assicurazione, prenderà o no le precauzioni? (b) Supponete ora Roberto abbia l opportunità di stipulare un contratto di assicurazione con una compagnia neutrale al rischio. Gli unici costi della compagnia consistono nell eventuale risarcimento e la compagnia o re solo contratti che prevedono l integrale risarcimento della perdita. Se il comportamento di Roberto non è osservabile dalla compagnia, esisterà un contratto che risulti vantaggioso sia per Roberto sia per la compagnia? (c) Supponiamo ora invece che la polizza o erta dalla compagnia preveda un premio pari a 4 e una franchigia pari a 16. Accetterà Roberto questa polizza e quale sarà il suo comportamento una volta stipulata la polizza? Qual è il pro tto atteso della compagnia? (d) Alla luce dell analisi svolta, come è da interpretare la franchigia in un contratto di assicurazione? (e) L esito che si determina con il contratto di cui al punto (c) è Pareto e ciente oppure no? Motivate la vostra risposta in termini generali. (f) Per rispondere in maniera "costruttiva" al quesito (e), immaginate una situazione ipotetica in cui il comportamento di Roberto sia osservabile (o veri cabile a posteriori) senza costi dalla compagnia di assicurazione (e sia anche veri cabile da una terza parte, ove fosse necessario ricorrervi nel caso di controversie tra i contraenti). In tali circostanze, quale tipologia di contratto verrebbe proposta dalla compagnia? Mostrate che le condizioni stabilite in questo contratto potrebbero essere tali che entrambi i contraenti stiano meglio rispetto alla situazione di cui al punto (c). 5

6 SELEZIONE AVVERSA NEL MERCATO DEL CREDITO 1. Sul mercato dei prestiti opera una sola banca. Ci sono n mutuatari, di due diverse tipologie: n A mutuatari di tipo A e n B mutuatari di tipo B; si ha n A =n = 0; 80. Ciascuna tipologia di mutuatari ha a disposizione una speci ca opportunità di investimento, che intende nanziare con il ricorso al prestito. Il costo di ciascun progetto è 120. Le distribuzioni di probabilità del reddito di impresa derivante dai progetti A e B sono rappresentate dalle due tabelle sottostanti. R A A R B B 60 1=2 24 3=4 I redditi R A e R B sono percepiti 240 1= =4 a distanza di un anno dalla data di concessione del prestito. A garanzia del mutuo la banca ponga un ipoteca su alcune attività del mutuatario, il cui valore è pari a 54: La banca ha una quantità di fondi prestabili data e pari a 0; 9 120n: La banca sa che ci sono due tipologie di mutuatari con le prospettive di reddito sopra rappresentate e ne conosce la numerosità (conosce cioè n B =n); la banca non è però in grado di distinguere tra le diverse tipologie di mutuatari. (a) Si determini il tasso di interesse di riserva per ciascuna categoria di mutuatari. (b) Si determini il tasso di interesse che verrà scelto dalla banca. (c) Si rappresenti gra camente la situazione che si determina sul mercato dei prestiti. (d) Si discuta il problema della selezione avversa e del razionamento del credito in questo mercato. 2. Si supponga che una sola banca operari dal lato dell o erta dei prestiti. Ci sono n mutuatari: n A di tipo A e n B di tipo B, con n A =n = 0; 70. Ciascuna tipologia di mutuatari ha a disposizione una speci ca opportunità di investimento, per e ettuare il quale ricorre a un mutuo. Entrambi i progetti hanno uno stesso costo, pari a 100; le prospettive reddituali dei due progetti sono rappresentate dalle due tabelle sottostanti. R A A 80 1= =2 R B B 75 4= =5 Il reddito R A e il reddito R B sono percepiti a distanza di un anno dalla data di concessione del mutuo. A garanzia del mutuo la banca pone un ipoteca su alcune attività del mutuatario, il cui valore (laddove dovessero essere liquidate per sua insolvenza) è pari a 20. La banca sa che ci sono le due tipologie di mutuatari con le prospettive di reddito sopra rappresentate e sa anche che n A =n = 0; 70; non è però in grado di distinguere tra le diverse tipologie di mutuatari. Entrambe le tipologie di mutuatari così come la banca sono neutrali nei 6

7 confronti del rischio. La banca ha una disponibilità di fondi da dare in prestito pari a 0; n. (a) Qual è il tasso di interesse di riserva di ciascuna categoria di mutuatari? (b) Si determini il tasso di interesse che verrà ssato dalla banca e quale sarà corrispondentemente il suo pro tto atteso. (c) Sul mercato del credito si determina un particolare tipo di squilibrio. Lo si chiarisca e si provi a rappresentarlo gra camente. (d) Si chiarisca il problema della selezione avversa evidenziato da questo esercizio. INVESTIMENTI, STRUTTURA PATRIMONIALE E TEOREMA MODIGLIANI- MILLER 1. Un gruppo di individui deve decidere se costituire un impresa e, contestualmente, su quale progetto investire laddove l impresa venga costituita. Ci sono due progetti alternativi, A e B. Ciascun progetto richiede un investimento iniziale (in t = 0) pari a 200. Con il progetto A: in t = 1 (cioè, esattamente tra un anno), l impresa dovrà sostenere spese correnti (per salari, materie prime, ecc.), pari a 140 e otterrà proventi dalle vendite pari a 260. In t = 2, l impresa dovrà sostenere spese correnti pari a 160 e otterrà proventi dalle vendite pari a 280. Immediatamente dopo, in t = 2, l impresa cessa la propria attività. Si suppone che i beni capitali sui quali l impresa ha investito in t = 0 non abbiano alcun valore di realizzo in t = 2. Con il progetto B: in t = 1, l impresa dovrà sostenere spese correnti (salari, materie prime, ecc.) pari a 200 e otterrà proventi dalle vendite pari a 250. In t = 2, l impresa dovrà sostenere spese correnti pari a 100 e otterrà proventi dalle vendite pari a 320. Immediatamente dopo, in t = 2, l impresa cesserà la propria attività. Si suppone che i beni capitali sui quali l impresa ha investito in t = 0 non abbiano alcun valore di realizzo in t = 2. Si suppone in ne che gli individui e la costituenda impresa possano dare in prestito o prendere a prestito al tasso di interesse di mercato r = 0; 05. (a) Supponete che gli individui costituiscano l impresa conferendo un capitale esattamente uguale a 200, somma che impiegano per l e ettuazione della spesa per investimenti. Determinate i ussi di cassa dell impresa con i due progetti. Quale progetto verrà scelto dall impresa? (b) Supponete ora che gli individui costituiscano l impresa con un capitale proprio pari a 80. La spesa per investimenti verrà nanziata attingendo al capitale proprio e contraendo un prestito per la di erenza. Determinate i ussi di cassa dell impresa con i due progetti e chiarite la di erenza nel pro lo dei ussi di cassa rispetto al caso precedente. Quale progetto verrà scelto dall impresa in questo caso? (c) Commentate il risultato ottenuto in risposta alle domande (a) e (b). (d) Perché il risultato ottenuto non dipende dal fatto che i proprietari dell impresa possano essere più o meno impazienti? (Tenete conto che il progetto B dà i suoi maggiori frutti più avanti nel tempo rispetto al progetto A). 7

8 2. Consideriamo due imprese, U ed L: l impresa U si nanzia interamente con capitale proprio mentre l impresa L ha un debito obbligazionario irredimibile sul quale vengono corrisposte cedole, alla ne di ciascun anno, per un totale di 200. Il tasso di interesse di mercato è r = 0; 05. Il reddito annuo generato da ciascuna impresa (al lordo degli oneri sull eventuale debito) è una variabile casuale, come rappresentato dalle seguenti tabelle X U U = =2 X L L = =2 (a) Supponiamo che il valore di mercato del totale delle azioni dell impresa L sia S L = 6000 mentre il valore di mercato del totale delle azioni dell impresa L è S U = Si descriva il tipo di operazioni di arbitraggio che risulta conveniente in tali circostanze e quali conseguenze determina sui valori delle due imprese. (b) Supponiamo ora che il valore di mercato del totale delle azioni dell impresa L sia S L = 10000, mentre tutto il resto è come sopra. Si descriva il tipo di operazioni di arbitraggio che risulta conveniente in tali circostanze e quali conseguenze determina sui valori delle due imprese. 8