Introduzione alle relazioni multivariate. Introduzione alle relazioni multivariate

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1 Introduzione alle relazioni multivariate

2 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

3 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

4 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

5 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

6 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

7 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

8 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

9 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

10 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

11 Associazione e causalità Associazione e causalità Nell analisi dei dati notevole importanza è rivestita dalle relazioni causali tra variabili Date due variabili X e Y, spesso esiste una relazione del tipo: X influenza Y, di solito rappresentata nel seguente modo X Y In questo caso X è una variabile esplicativa che ha un influenza causale su Y Se si ha il sospetto dell esistenza di una relazione causale X Y, verifichiamo l esistenza di tre criteri: 1. Associazione tra le variabili 2. Un appropriato ordine cronologico 3. L assenza di spiegazioni alternative

12 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

13 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

14 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

15 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

16 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

17 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

18 Associazione e causalità Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa Associazione - Ordine cronologico - Esclusione di una spiegazione alternativa La prima cosa da fare è verificare l esistenza di un associazione tra X e Y. Si deve verificare che se X Y, al variare di X variano i valori di Y L applicazione di test statistici (ad es., il χ 2 ) consente di fare proprio questa operazione Tuttavia l associazione non implica la causazione Altro elemento importante è l ordine cronologico Spesso il fatto che X influenzi Y sta nella natura delle cose, è scontato. Tuttavia non sempre è così. È importante, comunque, individuare correttamente quale variabile influenza l altra variabile, anche per poter interpretare adeguatamente i risultati In ultimo bisogna essere certi che la relazione X Y non sia spiegata in altro modo. Vi possono essere, infatti, spiegazioni alternative o relazioni spurie

19 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

20 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

21 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

22 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

23 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

24 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

25 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

26 Controllo per altre variabili Controllo statistico nella ricerca sociale Controllo statistico nella ricerca sociale Quando si effettua un analisi multivariata dei dati, si decide di studiare l influenza di più variabili esplicative sulla variabile risposta e la ricerca di una spiegazione di come X influenzi Y non è semplice Una tecnica molto utilizzata è quella del controllo. Si dice che una variabile è controllata quando la sua influenza viene rimossa Nel caso della ricerca sociale, di tipo osservazionale piuttosto che sperimentale, il controllo si esercita raggruppando osservazioni uguali o simili per le variabili di controllo In pratica il controllo è effettuato rendendo costanti i valori della variabile da controllare Solitamente si divide il campione in gruppi per i quali il valore della variabile da controllare è costante (stessa età, sesso, religione, ecc..) Quindi si studia l influenza di un altra variabile per ciascun gruppo. In pratica voglio studiare come X Y controllando Z Suddivido il campione per il numero di modalità di Z, e per ciascuno di essi studio come X Y

27 Controllo per altre variabili Tipi di associazione per il controllo statistico Tipi di associazione per il controllo statistico Studiamo la relazione tra essere boy-scout ed essere delinquente, considerando una terza variabile, la frequenza della chiesa. Le due tabelle mostrano come si effettua il controllo Delinquente Boy Scout Sì No Totale Sì 36 (9%) 364 (91%) 400 No 60 (15%) 340 (85%) 400 Frequenza Chiesa Bassa Media Alta Delinquente Sì No Sì No Sì No Scout Sì 10 (20%) 40 (80%) 18 (12%) 132 (88%) 8 (4%) 192 (96%) No 40 (20%) 160 (80%) 18 (12%) 132 (88%) 2 (4%) 48 (96%)

28 Controllo per altre variabili Tipi di associazione per il controllo statistico Tipi di associazione per il controllo statistico Studiamo la relazione tra essere boy-scout ed essere delinquente, considerando una terza variabile, la frequenza della chiesa. Le due tabelle mostrano come si effettua il controllo Delinquente Boy Scout Sì No Totale Sì 36 (9%) 364 (91%) 400 No 60 (15%) 340 (85%) 400 Frequenza Chiesa Bassa Media Alta Delinquente Sì No Sì No Sì No Scout Sì 10 (20%) 40 (80%) 18 (12%) 132 (88%) 8 (4%) 192 (96%) No 40 (20%) 160 (80%) 18 (12%) 132 (88%) 2 (4%) 48 (96%)

29 Controllo per altre variabili Attenzione alle variabili in agguato Attenzione alle variabili in agguato Non sempre è facile effettuare il controllo delle variabili. Talvolta nella ricerca sociale, si corre il rischio di non considerare per nulla variabili esplicative anche molto importanti Le conoscenze pregresse sono molto utili a ridurre questo rischio. Una variabile la cui influenza è provata ma non misurata, viene definita variabile in agguato o variabile confondente. In pratica si tratta di una variabile che esercita un effetto Se studio l influenza di X Y, ma so che Z ha molta influenza su Y, ma che ha anche una qualche associazione con X, appare evidente che l influenza di X su Y può essere in parte (o anche del tutto) spiegata da Z Questa è una situazione molto frequente nella ricerca medica. Se ipotizzo che una malattia Y sia dovuta al fattore X, non tenere conto dell età Z (primo fattore di rischio per quasi tutte le malattie) non è corretto. Inoltre l esposizione al fattore X sarà più prolungata in base all età Z. Quindi vi sarà associazione tra X e Z.

30 Controllo per altre variabili Attenzione alle variabili in agguato Attenzione alle variabili in agguato Non sempre è facile effettuare il controllo delle variabili. Talvolta nella ricerca sociale, si corre il rischio di non considerare per nulla variabili esplicative anche molto importanti Le conoscenze pregresse sono molto utili a ridurre questo rischio. Una variabile la cui influenza è provata ma non misurata, viene definita variabile in agguato o variabile confondente. In pratica si tratta di una variabile che esercita un effetto Se studio l influenza di X Y, ma so che Z ha molta influenza su Y, ma che ha anche una qualche associazione con X, appare evidente che l influenza di X su Y può essere in parte (o anche del tutto) spiegata da Z Questa è una situazione molto frequente nella ricerca medica. Se ipotizzo che una malattia Y sia dovuta al fattore X, non tenere conto dell età Z (primo fattore di rischio per quasi tutte le malattie) non è corretto. Inoltre l esposizione al fattore X sarà più prolungata in base all età Z. Quindi vi sarà associazione tra X e Z.

31 Controllo per altre variabili Attenzione alle variabili in agguato Attenzione alle variabili in agguato Non sempre è facile effettuare il controllo delle variabili. Talvolta nella ricerca sociale, si corre il rischio di non considerare per nulla variabili esplicative anche molto importanti Le conoscenze pregresse sono molto utili a ridurre questo rischio. Una variabile la cui influenza è provata ma non misurata, viene definita variabile in agguato o variabile confondente. In pratica si tratta di una variabile che esercita un effetto Se studio l influenza di X Y, ma so che Z ha molta influenza su Y, ma che ha anche una qualche associazione con X, appare evidente che l influenza di X su Y può essere in parte (o anche del tutto) spiegata da Z Questa è una situazione molto frequente nella ricerca medica. Se ipotizzo che una malattia Y sia dovuta al fattore X, non tenere conto dell età Z (primo fattore di rischio per quasi tutte le malattie) non è corretto. Inoltre l esposizione al fattore X sarà più prolungata in base all età Z. Quindi vi sarà associazione tra X e Z.

32 Controllo per altre variabili Attenzione alle variabili in agguato Attenzione alle variabili in agguato Non sempre è facile effettuare il controllo delle variabili. Talvolta nella ricerca sociale, si corre il rischio di non considerare per nulla variabili esplicative anche molto importanti Le conoscenze pregresse sono molto utili a ridurre questo rischio. Una variabile la cui influenza è provata ma non misurata, viene definita variabile in agguato o variabile confondente. In pratica si tratta di una variabile che esercita un effetto Se studio l influenza di X Y, ma so che Z ha molta influenza su Y, ma che ha anche una qualche associazione con X, appare evidente che l influenza di X su Y può essere in parte (o anche del tutto) spiegata da Z Questa è una situazione molto frequente nella ricerca medica. Se ipotizzo che una malattia Y sia dovuta al fattore X, non tenere conto dell età Z (primo fattore di rischio per quasi tutte le malattie) non è corretto. Inoltre l esposizione al fattore X sarà più prolungata in base all età Z. Quindi vi sarà associazione tra X e Z.

33 Controllo per altre variabili Attenzione alle variabili in agguato Attenzione alle variabili in agguato Non sempre è facile effettuare il controllo delle variabili. Talvolta nella ricerca sociale, si corre il rischio di non considerare per nulla variabili esplicative anche molto importanti Le conoscenze pregresse sono molto utili a ridurre questo rischio. Una variabile la cui influenza è provata ma non misurata, viene definita variabile in agguato o variabile confondente. In pratica si tratta di una variabile che esercita un effetto Se studio l influenza di X Y, ma so che Z ha molta influenza su Y, ma che ha anche una qualche associazione con X, appare evidente che l influenza di X su Y può essere in parte (o anche del tutto) spiegata da Z Questa è una situazione molto frequente nella ricerca medica. Se ipotizzo che una malattia Y sia dovuta al fattore X, non tenere conto dell età Z (primo fattore di rischio per quasi tutte le malattie) non è corretto. Inoltre l esposizione al fattore X sarà più prolungata in base all età Z. Quindi vi sarà associazione tra X e Z.

34 Controllo per altre variabili Attenzione alle variabili in agguato Attenzione alle variabili in agguato Non sempre è facile effettuare il controllo delle variabili. Talvolta nella ricerca sociale, si corre il rischio di non considerare per nulla variabili esplicative anche molto importanti Le conoscenze pregresse sono molto utili a ridurre questo rischio. Una variabile la cui influenza è provata ma non misurata, viene definita variabile in agguato o variabile confondente. In pratica si tratta di una variabile che esercita un effetto Se studio l influenza di X Y, ma so che Z ha molta influenza su Y, ma che ha anche una qualche associazione con X, appare evidente che l influenza di X su Y può essere in parte (o anche del tutto) spiegata da Z Questa è una situazione molto frequente nella ricerca medica. Se ipotizzo che una malattia Y sia dovuta al fattore X, non tenere conto dell età Z (primo fattore di rischio per quasi tutte le malattie) non è corretto. Inoltre l esposizione al fattore X sarà più prolungata in base all età Z. Quindi vi sarà associazione tra X e Z.

35 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

36 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

37 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

38 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

39 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

40 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

41 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

42 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

43 Vediamo, ora, cosa accade realmente nella ricerca sociale Indichiamo con Y la variabile risposta e con X 1, X 2,..., le variabili esplicative Possiamo individuare cinque tipi di relazioni multivariate: 1 Associazioni Spurie 2 Relazioni concatenate 3 Cause multiple 4 Variabili sopprimenti 5 Interazione

44 Associazioni spurie Associazioni spurie 1 Un associazione tra X 1 e Y è definita spuria se entrambe le variabili dipendono da una terza variabile X 2 e se la loro associazione scompare quando X 2 è controllata L effetto di X 1 Y scompare se controllo per i livelli di X 2 X 1 Altezza X 2 Y Età Voto in matematica In pratica, cambiamenti in X 2 producono modificazioni sia in Y sia in X 1 che sono, quindi associate, ma solo in funzione della loro associazione con X 2

45 Associazioni spurie Associazioni spurie 1 Un associazione tra X 1 e Y è definita spuria se entrambe le variabili dipendono da una terza variabile X 2 e se la loro associazione scompare quando X 2 è controllata L effetto di X 1 Y scompare se controllo per i livelli di X 2 X 1 Altezza X 2 Y Età Voto in matematica In pratica, cambiamenti in X 2 producono modificazioni sia in Y sia in X 1 che sono, quindi associate, ma solo in funzione della loro associazione con X 2

46 Associazioni spurie Associazioni spurie 1 Un associazione tra X 1 e Y è definita spuria se entrambe le variabili dipendono da una terza variabile X 2 e se la loro associazione scompare quando X 2 è controllata L effetto di X 1 Y scompare se controllo per i livelli di X 2 X 1 Altezza X 2 Y Età Voto in matematica In pratica, cambiamenti in X 2 producono modificazioni sia in Y sia in X 1 che sono, quindi associate, ma solo in funzione della loro associazione con X 2

47 Associazioni spurie Associazioni spurie 1 Un associazione tra X 1 e Y è definita spuria se entrambe le variabili dipendono da una terza variabile X 2 e se la loro associazione scompare quando X 2 è controllata L effetto di X 1 Y scompare se controllo per i livelli di X 2 X 1 Altezza X 2 Y Età Voto in matematica In pratica, cambiamenti in X 2 producono modificazioni sia in Y sia in X 1 che sono, quindi associate, ma solo in funzione della loro associazione con X 2

48 Associazioni spurie Associazioni spurie 1 Un associazione tra X 1 e Y è definita spuria se entrambe le variabili dipendono da una terza variabile X 2 e se la loro associazione scompare quando X 2 è controllata L effetto di X 1 Y scompare se controllo per i livelli di X 2 X 1 Altezza X 2 Y Età Voto in matematica In pratica, cambiamenti in X 2 producono modificazioni sia in Y sia in X 1 che sono, quindi associate, ma solo in funzione della loro associazione con X 2

49 Relazioni concatenate Relazioni concatenate 2 Un altro tipo di associazione spuria è dato dalle relazioni concatenate Sono del tipo: X 1 X 2 Y dove X 1 influenza X 2 che a sua volta influenza Y. X 1 è causa indiretta di Y. Viene definita variabile interveniente (o mediatrice). Esempio Istruzione Reddito Lunghezza di vita

50 Relazioni concatenate Relazioni concatenate 2 Un altro tipo di associazione spuria è dato dalle relazioni concatenate Sono del tipo: X 1 X 2 Y dove X 1 influenza X 2 che a sua volta influenza Y. X 1 è causa indiretta di Y. Viene definita variabile interveniente (o mediatrice). Esempio Istruzione Reddito Lunghezza di vita

51 Relazioni concatenate Relazioni concatenate 2 Un altro tipo di associazione spuria è dato dalle relazioni concatenate Sono del tipo: X 1 X 2 Y dove X 1 influenza X 2 che a sua volta influenza Y. X 1 è causa indiretta di Y. Viene definita variabile interveniente (o mediatrice). Esempio Istruzione Reddito Lunghezza di vita

52 Relazioni concatenate Relazioni concatenate 2 Un altro tipo di associazione spuria è dato dalle relazioni concatenate Sono del tipo: X 1 X 2 Y dove X 1 influenza X 2 che a sua volta influenza Y. X 1 è causa indiretta di Y. Viene definita variabile interveniente (o mediatrice). Esempio Istruzione Reddito Lunghezza di vita

53 Relazioni concatenate Relazioni concatenate 2 Un altro tipo di associazione spuria è dato dalle relazioni concatenate Sono del tipo: X 1 X 2 Y dove X 1 influenza X 2 che a sua volta influenza Y. X 1 è causa indiretta di Y. Viene definita variabile interveniente (o mediatrice). Esempio Istruzione Reddito Lunghezza di vita

54 Relazioni concatenate Relazioni concatenate 2 Un altro tipo di associazione spuria è dato dalle relazioni concatenate Sono del tipo: X 1 X 2 Y dove X 1 influenza X 2 che a sua volta influenza Y. X 1 è causa indiretta di Y. Viene definita variabile interveniente (o mediatrice). Esempio Istruzione Reddito Lunghezza di vita

55 Cause multiple Cause multiple 3 Sovente una variabile Y ha più di una causa (cause multiple) Lo schema è il seguente X 1 Y X 2 Tuttavia, nella ricerca sociale, spesso le cause sono tra loro associate. Quindi una variabile X 1 può esercitare un effetto diretto su Y, ma vi sono anche effetti indiretti dovuti ad altre variabili X 1 Y X 2

56 Cause multiple Cause multiple 3 Sovente una variabile Y ha più di una causa (cause multiple) Lo schema è il seguente X 1 Y X 2 Tuttavia, nella ricerca sociale, spesso le cause sono tra loro associate. Quindi una variabile X 1 può esercitare un effetto diretto su Y, ma vi sono anche effetti indiretti dovuti ad altre variabili X 1 Y X 2

57 Cause multiple Cause multiple 3 Sovente una variabile Y ha più di una causa (cause multiple) Lo schema è il seguente X 1 Y X 2 Tuttavia, nella ricerca sociale, spesso le cause sono tra loro associate. Quindi una variabile X 1 può esercitare un effetto diretto su Y, ma vi sono anche effetti indiretti dovuti ad altre variabili X 1 Y X 2

58 Cause multiple Cause multiple 3 Sovente una variabile Y ha più di una causa (cause multiple) Lo schema è il seguente X 1 Y X 2 Tuttavia, nella ricerca sociale, spesso le cause sono tra loro associate. Quindi una variabile X 1 può esercitare un effetto diretto su Y, ma vi sono anche effetti indiretti dovuti ad altre variabili X 1 Y X 2

59 Cause multiple Cause multiple 3 Sovente una variabile Y ha più di una causa (cause multiple) Lo schema è il seguente X 1 Y X 2 Tuttavia, nella ricerca sociale, spesso le cause sono tra loro associate. Quindi una variabile X 1 può esercitare un effetto diretto su Y, ma vi sono anche effetti indiretti dovuti ad altre variabili X 1 Y X 2

60 Cause multiple Cause multiple 3 Sovente una variabile Y ha più di una causa (cause multiple) Lo schema è il seguente X 1 Y X 2 Tuttavia, nella ricerca sociale, spesso le cause sono tra loro associate. Quindi una variabile X 1 può esercitare un effetto diretto su Y, ma vi sono anche effetti indiretti dovuti ad altre variabili X 1 Y X 2

61 Variabili sopprimenti Variabili sopprimenti 4 Talvolta due variabili non mostrano associazione tra loro, fino a quando non viene considerata una terza variabile (variabile sopprimente). Vedi la relazione istruzione-reddito controllando per l età Età = Bassa Età = Alta Reddito Alto Basso % Alto Alto Basso % Alto Istruzione Alta % % Bassa % % Ignorando l età otteniamo la prima parte della seconda tabella. Poi si osserva come l età è positivamente associata con il reddito e negativamente con l istruzione Reddito Reddito Istruzione Istruzione Alto Basso Età Alto Basso Età Alta Bassa Alta Alta Alta Bassa Bassa Bassa

62 Variabili sopprimenti Variabili sopprimenti 4 Talvolta due variabili non mostrano associazione tra loro, fino a quando non viene considerata una terza variabile (variabile sopprimente). Vedi la relazione istruzione-reddito controllando per l età Età = Bassa Età = Alta Reddito Alto Basso % Alto Alto Basso % Alto Istruzione Alta % % Bassa % % Ignorando l età otteniamo la prima parte della seconda tabella. Poi si osserva come l età è positivamente associata con il reddito e negativamente con l istruzione Reddito Reddito Istruzione Istruzione Alto Basso Età Alto Basso Età Alta Bassa Alta Alta Alta Bassa Bassa Bassa

63 Variabili sopprimenti Variabili sopprimenti 4 Talvolta due variabili non mostrano associazione tra loro, fino a quando non viene considerata una terza variabile (variabile sopprimente). Vedi la relazione istruzione-reddito controllando per l età Età = Bassa Età = Alta Reddito Alto Basso % Alto Alto Basso % Alto Istruzione Alta % % Bassa % % Ignorando l età otteniamo la prima parte della seconda tabella. Poi si osserva come l età è positivamente associata con il reddito e negativamente con l istruzione Reddito Reddito Istruzione Istruzione Alto Basso Età Alto Basso Età Alta Bassa Alta Alta Alta Bassa Bassa Bassa

64 Variabili sopprimenti Variabili sopprimenti 4 Talvolta due variabili non mostrano associazione tra loro, fino a quando non viene considerata una terza variabile (variabile sopprimente). Vedi la relazione istruzione-reddito controllando per l età Età = Bassa Età = Alta Reddito Alto Basso % Alto Alto Basso % Alto Istruzione Alta % % Bassa % % Ignorando l età otteniamo la prima parte della seconda tabella. Poi si osserva come l età è positivamente associata con il reddito e negativamente con l istruzione Reddito Reddito Istruzione Istruzione Alto Basso Età Alto Basso Età Alta Bassa Alta Alta Alta Bassa Bassa Bassa

65 Variabili sopprimenti Variabili sopprimenti 4 Talvolta due variabili non mostrano associazione tra loro, fino a quando non viene considerata una terza variabile (variabile sopprimente). Vedi la relazione istruzione-reddito controllando per l età Età = Bassa Età = Alta Reddito Alto Basso % Alto Alto Basso % Alto Istruzione Alta % % Bassa % % Ignorando l età otteniamo la prima parte della seconda tabella. Poi si osserva come l età è positivamente associata con il reddito e negativamente con l istruzione Reddito Reddito Istruzione Istruzione Alto Basso Età Alto Basso Età Alta Bassa Alta Alta Alta Bassa Bassa Bassa

66 Interazione statistica Interazione statistica 5 Se l effetto di X 1 Y si modifica secondo diversi livelli di X 2, si dice che vi è interazione tra X 1 e X 2 Def.: Esiste Interazione statistica tra X 1 e X 2 nei loro effetti su Y quando il vero effetto di un predittore su Y si modifica al cambiare del valore dell altro predittore La figura mostra chiaramente lo schema di interazione tra X 1 e X 2 e come tale interazione influenza la relazione X 1 Y X 2 X 1 Y

67 Interazione statistica Interazione statistica 5 Se l effetto di X 1 Y si modifica secondo diversi livelli di X 2, si dice che vi è interazione tra X 1 e X 2 Def.: Esiste Interazione statistica tra X 1 e X 2 nei loro effetti su Y quando il vero effetto di un predittore su Y si modifica al cambiare del valore dell altro predittore La figura mostra chiaramente lo schema di interazione tra X 1 e X 2 e come tale interazione influenza la relazione X 1 Y X 2 X 1 Y

68 Interazione statistica Interazione statistica 5 Se l effetto di X 1 Y si modifica secondo diversi livelli di X 2, si dice che vi è interazione tra X 1 e X 2 Def.: Esiste Interazione statistica tra X 1 e X 2 nei loro effetti su Y quando il vero effetto di un predittore su Y si modifica al cambiare del valore dell altro predittore La figura mostra chiaramente lo schema di interazione tra X 1 e X 2 e come tale interazione influenza la relazione X 1 Y X 2 X 1 Y

69 Interazione statistica Interazione statistica 5 Se l effetto di X 1 Y si modifica secondo diversi livelli di X 2, si dice che vi è interazione tra X 1 e X 2 Def.: Esiste Interazione statistica tra X 1 e X 2 nei loro effetti su Y quando il vero effetto di un predittore su Y si modifica al cambiare del valore dell altro predittore La figura mostra chiaramente lo schema di interazione tra X 1 e X 2 e come tale interazione influenza la relazione X 1 Y X 2 X 1 Y

70 Interazione statistica Interazione statistica 5 Se l effetto di X 1 Y si modifica secondo diversi livelli di X 2, si dice che vi è interazione tra X 1 e X 2 Def.: Esiste Interazione statistica tra X 1 e X 2 nei loro effetti su Y quando il vero effetto di un predittore su Y si modifica al cambiare del valore dell altro predittore La figura mostra chiaramente lo schema di interazione tra X 1 e X 2 e come tale interazione influenza la relazione X 1 Y X 2 X 1 Y

71 Interazione statistica Interazione statistica Consideriamo la relazione tra Reddito Y, numero di anni di istruzione X 1 e sesso X 2 Sovente si rileva che la relazione (valore del coefficiente angolare) tra X 1 ed Y è più forte tra i M che tra le F Si potrebbero avere le seguenti equazioni di regressione: E(y) = x 1 per i maschi E(y) = 5 + 2x 1 per le femmine

72 Interazione statistica Interazione statistica Consideriamo la relazione tra Reddito Y, numero di anni di istruzione X 1 e sesso X 2 Sovente si rileva che la relazione (valore del coefficiente angolare) tra X 1 ed Y è più forte tra i M che tra le F Si potrebbero avere le seguenti equazioni di regressione: E(y) = x 1 per i maschi E(y) = 5 + 2x 1 per le femmine

73 Interazione statistica Interazione statistica Consideriamo la relazione tra Reddito Y, numero di anni di istruzione X 1 e sesso X 2 Sovente si rileva che la relazione (valore del coefficiente angolare) tra X 1 ed Y è più forte tra i M che tra le F Si potrebbero avere le seguenti equazioni di regressione: E(y) = x 1 per i maschi E(y) = 5 + 2x 1 per le femmine

74 Interazione statistica Interazione statistica Consideriamo la relazione tra Reddito Y, numero di anni di istruzione X 1 e sesso X 2 Sovente si rileva che la relazione (valore del coefficiente angolare) tra X 1 ed Y è più forte tra i M che tra le F Si potrebbero avere le seguenti equazioni di regressione: E(y) = x 1 per i maschi E(y) = 5 + 2x 1 per le femmine

75 Interazione statistica Interazione statistica Consideriamo la relazione tra Reddito Y, numero di anni di istruzione X 1 e sesso X 2 Sovente si rileva che la relazione (valore del coefficiente angolare) tra X 1 ed Y è più forte tra i M che tra le F Si potrebbero avere le seguenti equazioni di regressione: E(y) = x 1 per i maschi E(y) = 5 + 2x 1 per le femmine

76 Aspetti inferenziali Aspetti inferenziali Quando si fa inferenza, infine dobbiamo tener conto di: 1 Effetti di piccole dimensioni campionarie sulle analisi parziali. Se voglio controllare per X 2 la relazione X 1 Y, l ampiezza campionaria per ciascun livello di X 2 deve essere sufficiente, altrimenti si incorre nel rischio di errori standard elevati e, conseguentemente, intervalli di confidenza troppo ampi 2 Effetti della categorizzazione nel controllo di una variabile. Il numero di categorie o livelli delle variabili di controllo deve essere adeguatamente determinato. In genere 3 o 4 rappresentano una buona scelta 3 Confrontare misure. Sovente è utile confrontare le stime per i diversi livelli della variabile di controllo. Se i livelli sono due l intervallo di confidenza, ad es., sarà dato da (Stima 2 Stima 1 ) ± z (se 1 ) 2 + (se 2 ) 2.

77 Aspetti inferenziali Aspetti inferenziali Quando si fa inferenza, infine dobbiamo tener conto di: 1 Effetti di piccole dimensioni campionarie sulle analisi parziali. Se voglio controllare per X 2 la relazione X 1 Y, l ampiezza campionaria per ciascun livello di X 2 deve essere sufficiente, altrimenti si incorre nel rischio di errori standard elevati e, conseguentemente, intervalli di confidenza troppo ampi 2 Effetti della categorizzazione nel controllo di una variabile. Il numero di categorie o livelli delle variabili di controllo deve essere adeguatamente determinato. In genere 3 o 4 rappresentano una buona scelta 3 Confrontare misure. Sovente è utile confrontare le stime per i diversi livelli della variabile di controllo. Se i livelli sono due l intervallo di confidenza, ad es., sarà dato da (Stima 2 Stima 1 ) ± z (se 1 ) 2 + (se 2 ) 2.

78 Aspetti inferenziali Aspetti inferenziali Quando si fa inferenza, infine dobbiamo tener conto di: 1 Effetti di piccole dimensioni campionarie sulle analisi parziali. Se voglio controllare per X 2 la relazione X 1 Y, l ampiezza campionaria per ciascun livello di X 2 deve essere sufficiente, altrimenti si incorre nel rischio di errori standard elevati e, conseguentemente, intervalli di confidenza troppo ampi 2 Effetti della categorizzazione nel controllo di una variabile. Il numero di categorie o livelli delle variabili di controllo deve essere adeguatamente determinato. In genere 3 o 4 rappresentano una buona scelta 3 Confrontare misure. Sovente è utile confrontare le stime per i diversi livelli della variabile di controllo. Se i livelli sono due l intervallo di confidenza, ad es., sarà dato da (Stima 2 Stima 1 ) ± z (se 1 ) 2 + (se 2 ) 2.

79 Aspetti inferenziali Aspetti inferenziali Quando si fa inferenza, infine dobbiamo tener conto di: 1 Effetti di piccole dimensioni campionarie sulle analisi parziali. Se voglio controllare per X 2 la relazione X 1 Y, l ampiezza campionaria per ciascun livello di X 2 deve essere sufficiente, altrimenti si incorre nel rischio di errori standard elevati e, conseguentemente, intervalli di confidenza troppo ampi 2 Effetti della categorizzazione nel controllo di una variabile. Il numero di categorie o livelli delle variabili di controllo deve essere adeguatamente determinato. In genere 3 o 4 rappresentano una buona scelta 3 Confrontare misure. Sovente è utile confrontare le stime per i diversi livelli della variabile di controllo. Se i livelli sono due l intervallo di confidenza, ad es., sarà dato da (Stima 2 Stima 1 ) ± z (se 1 ) 2 + (se 2 ) 2.

80 Aspetti inferenziali Aspetti inferenziali Quando si fa inferenza, infine dobbiamo tener conto di: 1 Effetti di piccole dimensioni campionarie sulle analisi parziali. Se voglio controllare per X 2 la relazione X 1 Y, l ampiezza campionaria per ciascun livello di X 2 deve essere sufficiente, altrimenti si incorre nel rischio di errori standard elevati e, conseguentemente, intervalli di confidenza troppo ampi 2 Effetti della categorizzazione nel controllo di una variabile. Il numero di categorie o livelli delle variabili di controllo deve essere adeguatamente determinato. In genere 3 o 4 rappresentano una buona scelta 3 Confrontare misure. Sovente è utile confrontare le stime per i diversi livelli della variabile di controllo. Se i livelli sono due l intervallo di confidenza, ad es., sarà dato da (Stima 2 Stima 1 ) ± z (se 1 ) 2 + (se 2 ) 2.

81 Aspetti inferenziali Aspetti inferenziali Quando si fa inferenza, infine dobbiamo tener conto di: 1 Effetti di piccole dimensioni campionarie sulle analisi parziali. Se voglio controllare per X 2 la relazione X 1 Y, l ampiezza campionaria per ciascun livello di X 2 deve essere sufficiente, altrimenti si incorre nel rischio di errori standard elevati e, conseguentemente, intervalli di confidenza troppo ampi 2 Effetti della categorizzazione nel controllo di una variabile. Il numero di categorie o livelli delle variabili di controllo deve essere adeguatamente determinato. In genere 3 o 4 rappresentano una buona scelta 3 Confrontare misure. Sovente è utile confrontare le stime per i diversi livelli della variabile di controllo. Se i livelli sono due l intervallo di confidenza, ad es., sarà dato da (Stima 2 Stima 1 ) ± z (se 1 ) 2 + (se 2 ) 2.