Concorso di ammissione al quarto anno, a.a. 2006/07 Prova scritta di fisica

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1 Concorso di ammissione al quarto anno, a.a. 2006/07 Prova scritta di fisica Corsi di laurea magistrale in Scienze Fisiche e Fisica Applicata 1) Una cometa si muove su una traiettoria parabolica intorno al sole nello stesso piano dell orbita terrestre, assunta circolare. Trovare il tempo T che la cometa spende all interno dell orbita terrestre in funzione del perielio p della sua traiettoria e calcolarne il valore massimo possibile. Soluzione: Se la traiettoria è parabolica l energia totale è zero E = 1 2 mṙ2 + l2 2mr GmM S 2 r = 0. Al perielio r = r min = p e ṙ = 0, quindi sostituendo l 2 = 2m 2 GM S p. Si ha poi dr = ( ) 2 GmMS l2 dt m r 2mr da cui 2 [ ( rmax 2 GmMS T = 2 dr r min m r l2 2mr 2 )] 1 2 = 2 1 2GM S a p ( r 1 2 dr = 2 r p 2GM S 3 a p ) 1 p a a dove a è il raggio dell orbita terrestre. Sostituendo il periodo dell orbita terrestre T t = 2π a 3 GM S =1 anno, si ottiene ( 2 T = 3π T t 1 + 2p ) 1 p a a e il valore massimo si ha per p = a con 2 T max = 2 3π T t 77 giorni.

2 2) Un pendolo triplo è costituito da tre masse αm, m, m attaccate mediante un unico filo di massa trascurabile a distanze rispettivamente a, 2a, 3a dal punto di sospensione. Trovare il valore di α affinché il sistema abbia un modo di piccole oscillazioni di pulsazione ω = 2g/a e descriverne le coordinate. Soluzione: x 1 = a sin φ 1 x 2 = a(sin φ 1 + sin φ 2 ) x 3 = a(sin φ 1 + sin φ 2 + sin φ 3 ) y 1 = a cos φ 1 y 2 = a(cos φ 1 + cos φ 2 ) y 3 = a(cos φ 1 + cos φ 2 + cos φ 3 ) Con φ 1, φ 2, φ 3 1 si ha sin φ i φ i T = αm (ẋ ẏ1) 2 m (ẋ ẏ2) 2 m (ẋ2 ) ẏ3 2 α ma2 2 φ ma2 ( φ φ φ ) ma 2 ( 1 φ2 + φ φ φ φ 1 φ2 + 2 φ 2 φ3 + 2 φ ) 1 φ3 V = αmgy 1 mgy 2 mgy mgaαφ mga ( ) φ φ mga ( ) φ φ φ 2 3 Usando ω 2 0 = g/a le equazioni del moto sono (α + 2) [ φ1 + ω 2 0φ 1 ] + 2 φ2 + φ 3 = 0 2 φ φ 2 + 2ω 2 0φ 2 + φ 3 = 0 φ 1 + φ 2 + φ 3 + ω 2 0φ 3 = 0 Cercando una soluzione del tipo φ i = A i exp(iωt) e ponendo λ = ω 2 /ω0 2 si ha (α + 2)(λ 1) 2λ λ det 2λ 2(λ 1) λ =0 λ λ λ 1 Richiedendo una soluzione con λ = 2 (ω 2 = 2g/a) si ha che il determinante si annulla solo per α = 2 e l autovettore corrispondente a questo modo di oscillazione è dato da φ 1 = φ, φ 2 = 0 e φ 3 = 2φ

3 3) Una sfera conduttrice di raggio a si muove con velocità costante v attraverso un campo magnetico B pure costante e ortogonale a v. Calcolare al primo ordine in v/c la densità di carica superficiale indotta sulla sfera. Soluzione: Al primo ordine in v/c, nel sistema a riposo della sfera E = E + 1 c v B B = B 1 c v E. Se la sfera si muove lungo x, il campo magnetico nel laboratorio è lungo y, nel sistema della sfera si ha è E = 1 c vb(ˆx ŷ) = v c B 0ẑ quindi la sfera conduttrice é in un campo elettrico uniforme. Il potenziale fuori dalla sfera φ = v ( ) c Br cos θ 1 R3 r 3 dove θ é l angolo rispetto a v B (ẑ) da cui si ha σ = 1 φ 4π r (R) = 3 v B cos θ. 4π c

4 4) Si calcoli il tempo che impiega l elettrone di un atomo di idrogeno classico di raggio iniziale a 0 = m a collassare sul protone, assumendo piccola l energia persa in una rivoluzione rispetto all energia totale. Costanti numeriche Carica dell elettrone e = C. Massa dell elettrone m = Kg. Velocità della luce c = m/s. 1/4πɛ 0 = N m 2 C 2. Soluzione: L atomo classico è un dipolo oscillante la cui potenza irraggiata su un periodo è data da P = 2 1 p = 2 1 e 2 a 2 ω 4. 3c 3 4πɛ 0 3c 3 4πɛ 0 Con l approssimazione di piccole perdite di energia e quindi di orbite circolari lungo un periodo si ha 1 e 2 4πɛ 0 a = 2 mω2 a. L energia totale è data da U = 1 2 mv2 1 4πɛ 0 e 2 a = 1 4πɛ 0 e 2 2a. Quindi da cui du dt = 1 e 2 4πɛ 0 2a ȧ = P = 2 1 e 2 a 2 ω 4 = 2 [ ] 1 3 e 6 2 3c 3 4πɛ 0 3 4πɛ 0 m 2 a 4 c 3 a 2 ȧ = 4 3 r2 0c dove r 0 = 1 4πɛ 0 e 2 mc 2 = m è il raggio classico dell elettrone. La soluzione dell equazione differenziale è a 3 = a 3 0 4r 2 0ct da cui il tempo di collasso sul nucleo pari a T = a3 0 4r 2 0c sec.

5 5) In un fascio ideale di ioni di raggio R e lunghezza molto maggiore di R, con densità di carica e di corrente a simmetria cilindrica, calcolare la forza totale che si esercita su un singolo ione alla periferia del fascio, note la corrente del fascio I, la carica q e la velocità v dei singoli ioni. Soluzione: In coordinate cilindriche, la forza elettrostatica sullo ione è (λ = I/v) F e = 2λq 2Iq ˆr = R vr ˆr Il campo magnetico si ottiene da B dl = 2πRB = 4π c magnetica da cui F m = q c v B = 2Iqv c 2 R ˆr F = 2Iq Rv ( 1 v2 c 2 ) ˆr I da cui B = 2I cr ˆφ da cui la forza

6 6) Si consideri il modello di Debye per un cristallo bidimensionale. Si calcoli (a meno di un integrale adimensionale che si può lasciare indicato) la capacità termica del cristallo in funzione del numero totale di atomi N e della frequenza massima di vibrazione ω D. Soluzione: con T D = ω D h 2π ( ) T 2 T DT C = 12N TD 0 x 2 dx e x 1