Controlli Automatici - Parte A

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 febbraio 19 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti (si considerino solo le domande numerate normalmente o che recano il nome del docente con cui si è seguito il corso), segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Il sistema dinamico caratterizzato dal modello ingresso-stato-uscita ẋ 1 = tx 1 +4x +t u ẋ = x y = cos(t)x è: lineare, tempo-invariante non lineare, tempo-variante non lineare, tempo-invariante lineare, tempo-variante. Quali dei seguenti sistemi sono asintoticamente stabili? s 3 G(s) = (s+3)(s +4 ) G(s) = G(s) = s+3 (s 3)(s+4) s 3 (s+3)(s+4) G(s) = s+3 s(s+4) 3. (Giarré) Per l applicazione del criterio di Nyquist a un sistema in retroazione: non occorre alcuna informazione sulla stabilità ad anello aperto occorre sapere se il sistema ad anello aperto è stabile o instabile occorre conoscere il numero dei poli a parte reale nulla e positiva occorre conoscere il numero degli zeri a parte reale nulla e positiva 4. (Biagiotti) Dato il sistema G(s) = stabile) risulta errore a regime nullo per ingresso a gradino errore a regime nullo per ingresso a rampa errore a regime nullo per ingresso a parabola errore a regime limitato ma non nullo per ingresso a rampa (s+3) s (s +4s+5) postoinretroazioneunitarianegativa(chesisuppone 5. Se la tabella di Routh di un equazione caratteristica a n s n +a n 1 s n a 1 s+a =, con a i <, i =,..., n, ha tutti gli elementi della prima colonna negativi, allora segue che l equazione caratteristica ha tutte le radici a parte reale negativa ha tutte le radici a parte reale positiva ha almeno una radice a parte reale positiva ha tutte le radici simmetriche rispetto all asse reale

2 6. Sia y(t) = Y(ω) cos(ωt+ϕ(ω)+α ) la risposta asintotica di un sistema lineare stabile all ingresso x(t) = X cos(ωt+α ). Utilizzando i simboli che caratterizzano i segnali x(t) e y(t) la definizione di funzione di risposta armonica F(ω) è: F(ω) = X Y (ω) ejϕ(ω) F(ω) = Y (ω) X ejϕ(ω) F(ω) = Y (ω) X e jϕ(ω) F(ω) = Y(ω)Xe jϕ(ω) 7. In un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati, il coefficiente di smorzamento δ rimane costante al variare della posizione dei poli: su due semirette uscenti dall origine su di un ellisse con fuoco nell origine su di una circonferenza con centro nell origine su di una retta parallela all asse immaginario 8. Se un sistemadinamico ha un polo reale p = 5 di molteplicità 3, allora la sua risposta temporale (libera o forzata che sia) sarà sicuramente caratterizzata da un termine y(t) te 5t y(t) t e 5t y(t) te 5t y(t) t e 5t 9. Applicando l ingresso u(t) = sin(t) al sistema ẏ(t)+y(t) = 4u(t) si ottiene la seguente uscita a regime: y(t) = 4 sin(t+45 o ) y(t) = 4 sin(t 45 o ) y(t) = sin(t+45 o ) y(t) = sin(t 45 o ) 1. La funzione di trasferimento G(s) = Y(s) X(s) = s +s+3 5s 3 +s corrisponde all equazione differenziale: +3s 3ẋ(t)+ẍ(t)+5... x(t) = 3y(t)+ẏ(t)+ÿ(t) 3y(t)+ẏ(t)+5ÿ(t) = 3x(t)+ẋ(t)+ẍ(t) 3ẏ(t)+ÿ(t)+5... y(t) = 3x(t)+ẋ(t)+ẍ(t) nessuna delle precedenti 11. Se si considera { l ingresso costante ū =, indicare quali dei seguenti stati sono di equilibrio per il sistema ẋ1 (t) = x non lineare 1 (t)+x (t)+u(t) ẋ (t) = x 1 (t)+x (t)+u(t) [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 x = x = x = x = 1 1

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof. Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 febbraio 19 - Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti (gli studenti dovranno rispondere ai quesiti contrassegnati solo con lettere o col nome del docente di cui hanno seguito il corso più una lettera). I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su ), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [cos(3t) 4t]e t, x (t) = Giarré - b) Dato il sistema definito nello spazio degli stati come { t < π 4 ẋ 1 (t) = 1x 1 (t) 4x (t)+u(t) ẋ (t) = 8x 1 (t) y(t) = x 1 (t)+.5x (t) 3cos(t π ) t π 4 b.1) Determinare la corrispondente funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) ; b.) Calcolare analiticamente la risposta all impulso di G(s). Biagiotti - b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = e 4s, G (s) = 3s +14s+1 s +4s+4 c) Dato il seguente schema a blocchi: B X(s) A C E Y(s) F D utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). (s+4) d) Sia data la funzione di trasferimento G(s) = (1+.1s)(s+5)(s +6s+64) Disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino in ingresso di ampiezza 1, u(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata.

4 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G(s) (s+1)(s+.5) s(s s+1) d(t) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. e.) Posto K =, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = t e il disturbo d(t) = +3sin(5t) e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Biagiotti - e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori positivi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Giarré - e.4) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica G(jω) per valori positivi della pulsazione. Calcolare esattamente la posizione σ di un eventuale asintoto, le eventuali intersezioni con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni. f) Si faccia riferimento al diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) mostrati in figura. Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Si richiede di ricavare l espressione analitica della funzione G(s). f.) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 4+3 sin(.7t).

5 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode 6 4 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

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7 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 febbraio 19 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti (si considerino solo le domande numerate normalmente o che recano il nome del docente con cui si è seguito il corso), segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Il sistema dinamico caratterizzato dal modello ingresso-stato-uscita ẋ 1 = tx 1 +4x +t u ẋ = x y = cos(t)x è: lineare, tempo-invariante non lineare, tempo-variante non lineare, tempo-invariante lineare, tempo-variante. Quali dei seguenti sistemi sono asintoticamente stabili? s 3 G(s) = (s+3)(s +4 ) G(s) = G(s) = s+3 (s 3)(s+4) s 3 (s+3)(s+4) G(s) = s+3 s(s+4) 3. (Giarré) Per l applicazione del criterio di Nyquist a un sistema in retroazione: non occorre alcuna informazione sulla stabilità ad anello aperto occorre sapere se il sistema ad anello aperto è stabile o instabile occorre conoscere il numero dei poli a parte reale nulla e positiva occorre conoscere il numero degli zeri a parte reale nulla e positiva (s+3) 4. (Biagiotti) Dato il sistema G(s) = s (s +4s+5) postoinretroazioneunitarianegativa(chesisuppone stabile) risulta errore a regime nullo per ingresso a gradino errore a regime nullo per ingresso a rampa errore a regime nullo per ingresso a parabola errore a regime limitato ma non nullo per ingresso a rampa 5. Se la tabella di Routh di un equazione caratteristica a n s n +a n 1 s n a 1 s+a =, con a i <, i =,..., n, ha tutti gli elementi della prima colonna negativi, allora segue che l equazione caratteristica ha tutte le radici a parte reale negativa ha tutte le radici a parte reale positiva ha almeno una radice a parte reale positiva ha tutte le radici simmetriche rispetto all asse reale

8 6. Sia y(t) = Y(ω) cos(ωt+ϕ(ω)+α ) la risposta asintotica di un sistema lineare stabile all ingresso x(t) = X cos(ωt+α ). Utilizzando i simboli che caratterizzano i segnali x(t) e y(t) la definizione di funzione di risposta armonica F(ω) è: F(ω) = X Y (ω) ejϕ(ω) F(ω) = Y (ω) X ejϕ(ω) F(ω) = Y (ω) X e jϕ(ω) F(ω) = Y(ω)Xe jϕ(ω) 7. In un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati, il coefficiente di smorzamento δ rimane costante al variare della posizione dei poli: su due semirette uscenti dall origine su di un ellisse con fuoco nell origine su di una circonferenza con centro nell origine su di una retta parallela all asse immaginario 8. Se un sistemadinamico ha un polo reale p = 5 di molteplicità 3, allora la sua risposta temporale (libera o forzata che sia) sarà sicuramente caratterizzata da un termine y(t) te 5t y(t) t e 5t y(t) te 5t y(t) t e 5t 9. Applicando l ingresso u(t) = sin(t) al sistema ẏ(t)+y(t) = 4u(t) si ottiene la seguente uscita a regime: y(t) = 4 sin(t+45 o ) y(t) = 4 sin(t 45 o ) y(t) = sin(t+45 o ) y(t) = sin(t 45 o ) 1. La funzione di trasferimento G(s) = Y(s) X(s) = s +s+3 5s 3 +s corrisponde all equazione differenziale: +3s 3ẋ(t)+ẍ(t)+5... x(t) = 3y(t)+ẏ(t)+ÿ(t) 3y(t)+ẏ(t)+5ÿ(t) = 3x(t)+ẋ(t)+ẍ(t) 3ẏ(t)+ÿ(t)+5... y(t) = 3x(t)+ẋ(t)+ẍ(t) nessuna delle precedenti 11. Se si considera { l ingresso costante ū =, indicare quali dei seguenti stati sono di equilibrio per il sistema ẋ1 (t) = x non lineare 1 (t)+x (t)+u(t) ẋ (t) = x 1 (t)+x (t)+u(t) [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 x = x = x = x = 1 1

9 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof. Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 13 febbraio 19 - Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti (gli studenti dovranno rispondere ai quesiti contrassegnati solo con lettere o col nome del docente di cui hanno seguito il corso più una lettera). I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su ), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [cos(3t) 4t]e t, x (t) = { t < π 4 3cos(t π ) t π 4 X 1 (s) = (s ) (s ) +9 4 (s ), X (s) = 3s s +4 e π 4 s Giarré - b) Dato il sistema definito nello spazio degli stati come ẋ 1 (t) = 1x 1 (t) 4x (t)+u(t) ẋ (t) = 8x 1 (t) y(t) = x 1 (t)+.5x (t) b.1) Determinare la corrispondente funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) ; La funzione di trasferimento risulta G(s) = (s+4) (s 8)(s 4) b.) Calcolare analiticamente la risposta all impulso di G(s). La risposta all impulso di G(s), ovvero la sua antitrasformata di Laplace, vale g(t) = 3e 8t e 4t. Biagiotti - b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = e 4s, G (s) = 3s +14s+1 s +4s+4 L antitrasformata di Laplace della funzione G 1 (s) è La funzione G (s) può essere riscritta come G (s) = 3+ La risposta impulsiva della funzione G (s) risulta g 1 (t) = δ(t 4) (s+) + 5 (s+) g (t) = 3δ(t)+e t +5te t

10 c) Dato il seguente schema a blocchi: B X(s) A C E Y(s) F D utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). G(s) = Y(s) ACE +B(1+EF) = X(s) 1+EF +CDE (s+4) d) Sia data la funzione di trasferimento G(s) = (1+.1s)(s+5)(s +6s+64) Disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino in ingresso di ampiezza 1, u(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata. Il sistema ha due poli complessi coniugati dominanti p = σ ±jω = 3±j7.4 pertanto la risposta al gradino sarà di tipo oscillatorio smorzato, come mostrato in figura y y(t) 1 T a t [s] Il valore a regime dell uscita per un gradino in ingresso di ampiezza A = 1 risulta y = AG() = 1 (.5) =.5. Il tempo di assestamento T a è T a = 3 σ = 3 3 = 1 s,

11 e il periodo dell oscillazioni è T ω = π ω = π 7.4 =.847 s

12 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G(s) (s+1)(s+.5) s(s s+1) d(t) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è 1+K (s+1)(s+.5) s(s s+1) La corrispondente tabella di Routh è la seguente = s 3 +(K 1)s +(1+1.5K)s+5K = K K 1 5K K > 1 1 (K 1)(1+1.5K) 5K K <.78 K > 1.8 5K K > Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: K > 1.8 = K La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: 5K ω = = 15.1 rad/s 1 K e.) Posto K =, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = t e il disturbo d(t) = +3sin(5t) Dato che il sistema è lineare e soggetto quindi alla sovrapposizione degli effetti, l errore E(s), espresso mediante la trasformata di Laplace, risulterà: E(s) = E r (s)+e d (s) dove E r (s) è l errore dovuto al riferimento mentre E d (s) è l errore dovuto al disturbo. L errore e r ( ) dovuto al riferimento a rampa è costante, dal momento che l impianto G(s) presenta un polo nell origine: e r ( ) = K v = dove K v = lim s skg(s) = 1. Per quanto riguarda il calcolo dell errore dovuto al disturbo d(t): E d (s) = F d (s)d(s) dove D(s) è la trasformata di Laplace di d(t) e F d (s) è la funzione di trasferimento tra D(s) e E d (s) che vale 1 F d (s) = F r (s) = 1+KG(s) = s3 +s 1s s 3 +s +31s+1 essendo F r (s) la funzione di trasferimento tra l ingresso di riferimento R(s) e E r (s). La componente costante del disturbo d(t) =, dà luogo a un errore a regime nullo, per la presenza del polo nell origine in G(s). L errore dovuto alla componente sinusoidale di d(t) può essre calcolato sfruttando il concetto di risposta armonica, da cui e d (t) = 3 F d (j5) sin(5t+arg{f d (j5)}) con F d (j5) =.719 e arg{f d (j5)} = o = rad. In conclusione, e = e d = sin(5t+3.193).

13 e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Vedi figura in fondo. Biagiotti - e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori positivi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Essendo 1 il grado relativo del sistema, esiste 1 asintoto, appartenente all asse reale, con centro di ascissa σ a = 1 (1+.5+1) = Il luogo delle radici finale è riportato nella seguente figura. 15 Luogo delle radici 1 Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 ) Dall analisi svolta mediante il criterio di Routh, risulta che il luogo delle radici attraversa l asse immaginario in corrispondenza di ±jω = ±j15.1 per K = K = 1.8. Giarré - e.4) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica G(jω) per valori positivi della pulsazione. Calcolare esattamente la posizione σ di un eventuale asintoto, le eventuali intersezioni con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) è riportato in figura.

14 Diagramma di Nyquist 1 5 σ La funzione approssimante per ω è G (s) =.5 s pertanto il diagramma parte all infinito con fase iniziale ϕ = π. La funzione approssimante per ω è G (s) = 1 s e quindi il diagramma giunge nell origine con fase finale ϕ = π 3 π. Il parametro τ vale τ = =. > pertanto il diagramma parte in anticipo rispetto alla fase iniziale ϕ. Il sistema è di tipo 1 pertanto esiste un asintoto verticale la cui ascissa è Il parametro p vale σ a = K τ =.5. = 1.1 p = = 11.5< pertanto il diagramma arriva in ritardo rispetto alla fase finale ϕ. Lo variazione di fase complessiva è ϕ = +π+ π + π = +π Esistono due intersezioni con l asse reale che, in virtù dell analisi svolta con Routh al primo punto, risultano alle ascisse σ = 1/K =.781 σ 1 = 1/K 1 = 1/.78 = 1.8 f) Si faccia riferimento al diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) mostrati in figura.

15 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Si richiede di ricavare l espressione analitica della funzione G(s). G(s) = 1(s+) s(s +.4s+1)(s ) = 1(.5s+1) s(s +.4s+1)(.5s+1) Il sistema presenta un polo nell origine avendo pendenza iniziale pari a - db/decade. In corrispondenza di ω = 1 rad/s è presente una coppia di poli complessi coniugati stabili (essendo lo sfasamento 18 o ) con ω n = 1 e δ =.. Infatti δ = 1 1 M ωn.5 =.. La distanza M ωn 8 db.5 si legge dal diagramma di Bode dei moduli. In corrispondenza di ω = rad/s sono presenti sia uno zero che un polo reale (sfasamento +18 o, pertanto il primo stabile e il secondo instabile) Infine, il valore del guadagno µ si determina dalla funzione approssimante per basse frequenze G (s) = µ s in corrispondenza del primo punto di rottura, il cui modulo vale G (j1) = µ j1 = db = 1 da cui µ = 1 µ = 1. Il segno di µ sarà negativo poichè il sistema ha fase iniziale 3π/ (dato dal contributo π/ del polo nell origine e π del guadagno negativo). f.) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 4+3 sin(.7t).

16 Essendo il sistema instabile (dal momento che è presente un polo doppio nell origine) la risposta a regime a un qualunque ingresso (anche limitato) diverge, per cui y (t) =.

17 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode 6 4 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]