CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO. f 1 (x) = arctan(x2 7x + 12) x 2,

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1 CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GIUGNO 007: SOLUZIONI ESERCIZIO - Data la funzione f 1 (x) = arctan(x 7x + 1) x, 7x + 1 si chiede di: a) calcolare il dominio di f 1 ; (3 punti) b) stabilire per quali valori del dominio di f 1 si ha che f 1 (x) > 0; ( punti) c) studiare gli (eventuali) asintoti orizzontali, verticali, obliqui di f 1 ; (5 punti) d) calcolare f 1 (x). (4 punti) a) Si deve avere x 7x Studiamo questo trinomio. Si ha: x 1, = 7± 49 48, quindi x 1 = 3, x = 4. Le radici del trinomio considerato sono quindi 3 e 4. Pertanto il campo di esistenza della nostra funzione è IR \ {3, 4} =], 3[ ]3, 4[ ]4, + [. b) Il numeratore è sempre diverso da zero. Poniamo := x 7x + 1: siccome l arcotangente di una qualunque cosa positiva [risp. negativa] è positiva [risp. negativa], allora il rapporto arctan è sempre positivo. Quindi la nostra funzione è strettamente positiva in tutti i punti del suo dominio. c) Poniamo = x 7x + 1. Veniamo agli asintoti orizzontali. Si ha: lim f 1(x) = x ± lim + arctan = 0 limitata = 0. Quindi la retta y = 0, cioè l asse delle x, è un asintoto orizzontale per la nostra funzione sia dalla parte di + che dalla parte di. Siccome f 1 ammette (da tutte e due le parti) asintoti orizzontali, allora f 1 non ha asintoti obliqui. Veniamo alla ricerca degli asintoti verticali. Si ha: lim f arctan 1(x) = lim f 1 (x) = lim x 3 x 4 0 (limite notevole). Pertanto non esistono asintoti verticali. 1 = 1

2 d) Si ha, per x appartenente al dominio della nostra funzione: ( arctan(x f 1(x) ) 7x + 1) = D x 7x + 1 = (x 7)(x 7x + 1) 1 1+(x 7x+1) (x 7) arctan(x 7x + 1) (x 7x + 1). ESERCIZIO - (8 punti) Sia f 1 la funzione dell esercizio precedente. Negli eventuali punti x 0 IR in cui f 1 non è definita, poniamo f1 (x 0) = 0; in tutti gli altri punti x, sia f1 (x) = f 1(x). Vedere se f1 verifica la prima, la seconda e la terza ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, 5]. I punti x 0 in cui f 1 non è definita sono 3 e 4, ma lim f 1 (x) = lim f 1 (x) = 1 0 = f1 (3); x 3 x 3 lim f 1 (x) = lim f 1 (x) = 1 0 = f1 (4); x 4 x 4 quindi f1 non è continua in ], 5[, in quanto 3 e 4 sono due punti di discontinuità, e quindi f1 non è continua nell intervallo chiuso [, 5], e neppure derivabile nell aperto ], 5[. Quindi la prima ipotesi del teorema di Rolle non è verificata, e neanche la seconda. Rimane da vedere se la funzione soddisfa alla terza ipotesi del teorema di Rolle. Si ha: f 1 () = arctan( 7 + 1) f 1 (5) = arctan( ) = arctan ; = arctan, quindi la terza ipotesi del teorema di Rolle è verificata. ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = arctan(x 17x + 7) x, 17x + 7 si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (3 punti) b) stabilire per quali valori del dominio di f si ha che f (x) > 0; ( punti)

3 c) studiare gli (eventuali) asintoti orizzontali, verticali, obliqui di f ; (5 punti) d) calcolare f (x). (4 punti) a) Si deve avere x 17x Studiamo questo trinomio. Si ha: x 1, = 17± 89 88, quindi x 1 = 8, x = 9. Le radici del trinomio considerato sono quindi 8 e 9. Pertanto il campo di esistenza della nostra funzione è IR \ {8, 9} =], 8[ ]8, 9[ ]9, + [. b) Il numeratore è sempre diverso da zero. Poniamo := x 17x + 7: siccome l arcotangente di una qualunque cosa positiva [risp. negativa] è positiva [risp. negativa], allora il rapporto arctan è sempre positivo. Quindi la nostra funzione è strettamente positiva in tutti i punti del suo dominio. c) Poniamo = x 17x + 7. Veniamo agli asintoti orizzontali. Si ha: lim f (x) = x ± lim + arctan = 0 limitata = 0. Quindi la retta y = 0, cioè l asse delle x, è un asintoto orizzontale per la nostra funzione sia dalla parte di + che dalla parte di. Siccome f ammette (da tutte e due le parti) asintoti orizzontali, allora f non ha asintoti obliqui. Veniamo alla ricerca degli asintoti verticali. Si ha: lim f arctan (x) = lim f (x) = lim x 8 x 9 0 = 1 (limite notevole). Pertanto non esistono asintoti verticali. d) Si ha, per x appartenente al dominio della nostra funzione: ( arctan(x f (x) ) 17x + 7) = D x 17x + 7 = (x 17)(x 17x + 7) 1 1+(x 17x+7) (x 17) arctan(x 17x + 7) (x 17x + 7). ESERCIZIO - (8 punti) Sia f la funzione dell esercizio precedente. Negli eventuali punti x 0 IR in cui f non è definita, poniamo f (x 0) = 0; in tutti gli altri punti x, sia f (x) = f (x). Vedere se f verifica la prima, la seconda e la terza ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [1, 16]. 3

4 I punti x 0 in cui f non è definita sono 8 e 9, ma lim f (x) = lim f (x) = 1 0 = f (8); x 8 x 8 lim f (x) = lim f (x) = 1 0 = f (9); x 9 x 9 quindi f non è continua in ]1, 16[, in quanto 8 e 9 sono due punti di discontinuità, e quindi f non è continua nell intervallo chiuso [1, 16], e neppure derivabile nell aperto ]1, 16[. Quindi la prima ipotesi del teorema di Rolle non è verificata, e neanche la seconda. Resta da vedere se la funzione soddisfa alla terza ipotesi del teorema di Rolle. Si ha: f (1) = arctan( ) f (16) = arctan( ) = = arctan(56) ; 56 arctan( ) quindi la terza ipotesi del teorema di Rolle è verificata. ESERCIZIO - Data la funzione f 3 (x) = arctan(x 0x + 19) x, 0x + 19 = arctan(56), 56 si chiede di: a) calcolare il dominio di f 3 ; (3 punti) b) stabilire per quali valori del dominio di f 3 si ha che f 3 (x) > 0; ( punti) c) studiare gli (eventuali) asintoti orizzontali, verticali, obliqui di f 3 ; (5 punti) d) calcolare f 3 (x). (4 punti) a) Si deve avere x 0x Studiamo questo trinomio. Si ha: x 1, = 0± = 0±18, quindi x 1 = 1, x = 19. Le radici del trinomio considerato sono quindi 1 e 19. Pertanto il campo di esistenza della nostra funzione è IR \ {1, 19} =], 1[ ]1, 19[ ]19, + [. b) Il numeratore è sempre diverso da zero. Poniamo := x 0x + 19: siccome l arcotangente di una qualunque cosa positiva [risp. negativa] è positiva [risp. negativa], allora il rapporto arctan è sempre positivo. Quindi la nostra funzione è strettamente positiva in tutti i punti del suo dominio. 4

5 c) Poniamo = x 0x Veniamo agli asintoti orizzontali. Si ha: lim f 3(x) = x ± lim + arctan = 0 limitata = 0. Quindi la retta y = 0, cioè l asse delle x, è un asintoto orizzontale per la nostra funzione sia dalla parte di + che dalla parte di. Siccome f 3 ammette (da tutte e due le parti) asintoti orizzontali, allora f 3 non ha asintoti obliqui. Veniamo alla ricerca degli asintoti verticali. Si ha: lim f 3(x) = lim f arctan 3(x) = lim x 1 x 19 0 = 1 (limite notevole). Pertanto non esistono asintoti verticali. d) Si ha, per x appartenente al dominio della nostra funzione: f 3(x) = D ( arctan(x ) 0x + 19) x 0x + 19 = (x 0)(x 0x + 19) 1 1+(x 0x+19) (x 0) arctan(x 0x + 19) (x 0x + 19). ESERCIZIO - Data la funzione f 4 (x) = arctan(x 61x + 900) x, 61x si chiede di: a) calcolare il dominio di f 4 ; (3 punti) b) stabilire per quali valori del dominio di f 4 si ha che f 4 (x) > 0; ( punti) c) studiare gli (eventuali) asintoti orizzontali, verticali, obliqui di f 4 ; (5 punti) d) calcolare f 4 (x). (4 punti) a) Si deve avere x 61x Studiamo questo trinomio. Si ha: x 1, = 61± = 61±11, quindi x 1 = 5, x = 36. Le radici del trinomio considerato sono quindi 5 e 36. Pertanto il campo di esistenza della nostra funzione è IR \ {5, 36} =], 5[ ]5, 36[ ]36, + [. b) Il numeratore è sempre diverso da zero. Poniamo := x 61x + 900: siccome l arcotangente di una qualunque cosa positiva [risp. negativa] 5

6 è positiva [risp. negativa], allora il rapporto arctan è sempre positivo. Quindi la nostra funzione è strettamente positiva in tutti i punti del suo dominio. c) Poniamo = x 61x Veniamo agli asintoti orizzontali. Si ha: lim f 4(x) = x ± lim + arctan = 0 limitata = 0. Quindi la retta y = 0, cioè l asse delle x, è un asintoto orizzontale per la nostra funzione sia dalla parte di + che dalla parte di. Siccome f 4 ammette (da tutte e due le parti) asintoti orizzontali, allora f 4 non ha asintoti obliqui. Veniamo alla ricerca degli asintoti verticali. Si ha: lim f 4(x) = lim f arctan 4(x) = lim x 5 x 36 0 = 1 (limite notevole). Pertanto non esistono asintoti verticali. d) Si ha, per x appartenente al dominio della nostra funzione: f 4(x) = D ( arctan(x ) 61x + 900) x 61x = (x 61)(x 61x + 900) 1 1+(x 61x+900) (x 61) arctan(x 61x + 900) (x 61x + 900). ESERCIZIO - (8 punti) Studiare il comportamento della seguente serie: (e x x) n, x IR. n=1 (Suggerimento: se capita di dover studiare un espressione del tipo g(x) 0, pensare allo studio della funzione g(x)...) Si tratta di una serie geometrica di ragione f(x) = e x x. Studiamone la divergenza: la disequazione da imporre è: e x x 1, cioè g(x) 0, ove g(x) = e x x 1. Quest ultima disequazione si può studiare o graficamente oppure analiticamente, facendo lo studio della funzione g(x), come da suggerimento (è anche più rigoroso...). Non è necessario farlo tutto, ma è sufficiente partire dalla derivata g (x) = e x 1. Si ha: g (x) > 0 se e solo se e x > 1 se e solo se x > 0; e, procedendo analogamente, g (x) < 0 se e solo 6

7 se x < 0, g (x) = 0 se e solo se x = 0. Pertanto g è strettamente crescente in [0, + [, strettamente decrescente in ], 0] e quindi ha un punto di minimo in x = 0. Poiché g(0) = 0, allora g(x) 0 per ogni numero reale x, ed inoltre g(x) > 0 x 0. Pertanto, per ogni numero reale x, e x x 1, e quindi la serie data diverge per tutti gli x IR. ESERCIZIO - (8 punti) Studiare il comportamento della seguente serie: (e x 3x + 4) n, x IR. n=1 (Suggerimento: se capita di dover studiare un espressione del tipo g(x) 0, pensare allo studio della funzione g(x)...) Si tratta di una serie geometrica di ragione f(x) = e x 3x + 4. Studiamone la divergenza: la disequazione da imporre è: e x 3x + 4 1, cioè g(x) 0, ove g(x) = e x 3x + 3. Quest ultima disequazione si può studiare o graficamente oppure analiticamente, facendo lo studio della funzione g(x), come da suggerimento (è anche più rigoroso...). Non è necessario farlo tutto, ma è sufficiente partire dalla derivata g (x) = e x 3. Si ha: g (x) > 0 se e solo se e x > 3 se e solo se x > log 3; e, procedendo analogamente, g (x) < 0 se e solo se x < log 3, g (x) = 0 se e solo se x = log 3. Pertanto g è strettamente crescente in [log 3, + [, strettamente decrescente in ], log 3] e quindi ha un punto di minimo in x = log 3. Si ha: g(log 3) = e log 3 3 log = 3 3 log = 6 3 log 3. Studiamo il segno di questa quantità. È: g(log 3) > 0 se e solo se 6 > 3 log 3 se e solo se log 3 < se e solo se 3 < e : quest ultima disuguaglianza è vera, in quanto e > e quindi e > 4. Pertanto g(x) > 0 per ogni x IR, e di conseguenza la serie data risulta essere divergente per ogni x IR. ESERCIZIO - (8 punti) Studiare il comportamento della seguente serie: ( x log x) n, x ]0, 1]. n=1 (Suggerimento: fare attenzione al fatto che x varia in ]0, 1] e non su tutto IR e, se capita di dover studiare un espressione del tipo g(x) 0, pensare allo studio della funzione g(x)...) Si tratta di una serie geometrica di ragione f(x) = x log x. Studiamone la divergenza: la disequazione da imporre è: x log x 1, cioè g(x) 7

8 0, ove g(x) = 1 x log x. Quest ultima disequazione si può studiare o graficamente oppure analiticamente, facendo lo studio della funzione g(x), come da suggerimento (è anche più rigoroso...). Non è necessario farlo tutto, ma è sufficiente partire dalla derivata g (x) = 1 1/x, per x ]0, 1]. Si ha: g (x) < 0 per ogni x ]0, 1], e quindi g è strettamente decrescente in ]0, 1]. Siccome g(1) = 0, allora g(x) 0 per ogni x ]0, 1], e di conseguenza la serie data risulta essere divergente per ogni x ]0, 1]. ESERCIZIO - (8 punti) Studiare il comportamento della seguente serie: (x log x + ) n, x > 0. n=1 (Suggerimento: se capita di dover studiare un espressione del tipo g(x) 0, pensare allo studio della funzione g(x)...) Si tratta di una serie geometrica di ragione f(x) = x log x +. Studiamone la divergenza: la disequazione da imporre è: x log x + 1, cioè g(x) 0, ove g(x) = x log x + 1. Quest ultima disequazione si può studiare o graficamente oppure analiticamente, facendo lo studio della funzione g(x), come da suggerimento (è anche più rigoroso...). Non è necessario farlo tutto, ma è sufficiente partire dalla derivata g (x) = log x + x 1 = log x + 1. x Si ha: g (x) > 0 se e solo se log x + 1 > 0 se e solo se log x > 1 se e solo se x > e 1 = 1/e e, procedendo analogamente, g (x) < 0 se e solo se 0 < x < 1/e, g (x) = 0 se e solo se x = 1/e. Pertanto g è strettamente crescente in [1/e, + [, strettamente decrescente in ]0, 1/e] e quindi ha un punto di minimo in x = 1/e. Si ha: g(1/e) = 1/e + 1 > 0, in quanto 1/e < 1, e quindi g(x) > 0 per ogni x > 0. Di conseguenza la serie data risulta essere divergente per ogni x > 0. ESERCIZIO (8 punti) Risolvere la seguente equazione differenziale: y = (arctan x) e y. 8

9 Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Risolviamola. ESERCIZIO (8 punti) y e y = arctan x dy e y = arctan x dx e y dy = arctan x dx 1 e y d( y) = 1 arctan x dx 1 e y = (x) arctan x dx 1 e y = x arctan x 1 e y = x arctan x 1 x 1 + x dx x 1 + x dx 1 e y = x arctan x 1 log(1 + x ) + C. Risolvere la seguente equazione differenziale: y = (log x) e 3y. Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Risolviamola. y e 3y = log x dy e 3y = log x dx e 3y dy = log x dx 1 e 3y d( 3y) = 1 log x dx e 3y = (x) log x dx 1 x 3 e 3y = x log x x dx 9

10 1 3 e 3y = x log x dx 1 3 e 3y = x log x x + C. ESERCIZIO (8 punti) Risolvere la seguente equazione differenziale: y = (arcsin x) e 4y. (Suggerimento: ricordarsi chi è la derivata di 1 x...) Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili. Risolviamola. y e 4y = arcsin x dy e 4y = arcsin x dx e 4y dy = arcsin x dx 1 e 4y d( 4y) = 1 arcsin x dx e 4y = (x) arcsin x dx 1 4 e 4y = x arcsin x 1 4 e 4y = x arcsin x 1 4 e 4y = x arcsin x + ESERCIZIO (10 punti in tutto) x 1 x dx x 1 x dx D( 1 x ) dx 1 4 e 4y = x arcsin x + 1 x + C. a) (1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito: I = log x dx. 10

11 b) (9 punti) Utilizzando il risultato del punto a), calcolare il seguente integrale indefinito: J = arctan(x log x x) log x dx. a) Si ha: I = 1 log x dx = x log x dx x = x log x x dx = x log x dx = x log x x + C. b) Sia f(x) = x log x x, t = f(x). Si ha: J = arctan(f(x)) f (x) dx = arctan t dt = t t arctan t dt = t arctan t 1 + t dt = t arctan t 1 t 1 + t dt = t arctan t 1 log(1 + t ) + C = (x log x x) arctan(x log x x) 1 log(1 + (x log x x) ) + C. ESERCIZIO - Data la funzione si chiede di: g(x, y) = x + 3 y xy 96x + 44y 19, (x, y) IR, a) calcolare le derivate parziali prime e seconde di g; ( punti) b) determinare i punti stazionari (o critici) di g; (6 punti) c) determinare, con il test dell hessiano, gli (eventuali) punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per g. (4 punti) 11

12 a) g x = 4x y 96; g y = x + 3y + 44; g xx = 4; g yy = 3; g xy = g yx =. b) Imponiamo la condizione dell annullamento del gradiente g x = g y = 0. Si deve avere: 4x y = 96, ossia x y = 48; x + 3y = 44; quindi, sommando membro a membro, si ottiene y = 4, da cui y =, x = 48, x = 50, e quindi x = 5. L unico punto stazionario è il punto (5, ). c) Si ha: H(x, y) = 1 4 = 8 > 0 (x, y) IR ; g xx = 4 > 0 (g yy = 3 > 0). Pertanto, per il test dell hessiano, il punto (5, ) è un punto di minimo relativo. 1