Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 15 settmbre 2011 Versione 1

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1 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del 5 settmbre 20 Versione Esercizio Sia S(R 22 lo spazio vettoriale reale delle matrici simmetriche di ordine 3. a. Verificare che ponendo (( ( 0 2h 0 f (( ( h 2h f 0 0 (( ( 0 h 0 2h f h 2h 2 si ottiene per ogni valore reale di h un ben definito endomorfismo f : S(R 22 S(R 22. ( punto b. Scrivere la matrice A associata all endomorfismo f rispetto alla base (( ( ( B di S(R 22 e determinare al variare di h R la dimensione e una base di ker f e di im f. c. Determinare al variare di h R la dimensione e una base sia di f(k che di f (K dove K è il sottospazio vettoriale {( } a b K S(R 22 b + c 0. b c d. Stabilire per quali valori di h R l endomorfismo f è diagonalizzabile. ( ( ( 0 h 0 h a. Le tre matrici sono linearmente indipendenti per ogni 0 h valore di h pertanto formano una base di S(R 22. Quindi per il Teorema Fondamentale delle Applicazioni Lineari si ottiene un ben definito endomorfismo per ogni h R.

2 b. La matrice associata ad f rispetto alla base B S(R 22 è A (( 0 2h 2h( h 2h 2 (h 0 h 2 ( 0 0. ( 0 Risulta det(a 4h dunque det(a 0 se e solo se h 0. {( } Quindi per ogni h 0 f è un isomorfismo per cui ker f e im f S(R. Se h 0 si ha 0 A e pertanto dim(ker f dim(im f 2 (( 0 ker(f L (( 0 im(f L 0 ( 0 2. di c. Risulta {( a b K b c } (( S(R 22 0 b + c 0 L ( 0 pertanto (( 2h 0 f(k L ( 2h( h 2 h h 2 e dim(f(k 2 per ogni h 0 mentre per h 0 si ha dim(f(k e (( 0 f(k L 2. D altra parte si ha {( f x y (K y z } (( 0 y + (h + 2z 0 L ( 0 h + 2 h + 2 e dim(f (K 2 per ogni h R. d. Gli autovalori di f sono: λ λ 2 2 λ 3 2h. Pertanto se h e h 2 l endomorfismo f ha tre autovalori distinti e quindi è diagonalizzabile. Se h gli autovalori di f sono: λ di molteplicità e λ 2 2 di molteplicità 2. Poiché l autospazio relativo all autovalore λ 2 ha dimensione 2 l endomorfismo è diagonalizzabile. Se h 2 gli autovalori di f sono: λ di molteplicità 2 e λ 2 2 di molteplicità. Poiché l autospazio relativo all autovalore λ ha dimensione l endomorfismo non è diagonalizzabile. 2

3 Esercizio 2 Si consideri la forma quadratica sullo spazio vettoriale R 4 dove x (x x 2 x 3 x 4 R 4. Q(x x 2 + x x x x x 2 + 2x 3 x 4 a. Determinare la segnatura di Q e scrivere la forma quadratica sia in forma canonica sia in forma normale. b. Determinare una base rispetto alla quale la forma quadratica Q si scrive in forma normale. c. Determinare una base per il sottospazio vettoriale W ortogonale del sottospazio vettoriale W {(x x 2 x 3 x 4 R 4 x + x 2 x 2 x 3 x 3 + x 4 0} rispetto alla forma bilineare simmetrica associata alla forma quadratica Q. Calcolare inoltre W W. d. Sia I l insieme dei vettori isotropi per la forma quadratica Q. Trovare due sottospazi vettoriali Z e Z 2 di R 4 che verifichino le seguenti condizioni: (a Z I e Z 2 I; (b Z Z 2 {o}; (c dim(z dim(z 2. a. La matrice associata alla forma quadratica Q rispetto alla base canonica di R 4 è 2 2 A 2 2 che ha i seguenti autovalori: λ 3 di molteplicità 2 λ 2 di molteplicità λ 3 di molteplicità pertanto la segnatura di Q è (3 e una sua forma canonica è data da: Q(x 3 y y y 2 3 y 2 4 dove (y y 2 y 3 y 4 sono le componenti del vettore x rispetto ad una base ortonormale B (e e 2 e 3 e 4 formata da autovettori della matrice A mentre la forma normale di Q è data da: Q(x z 2 + z z 2 3 z

4 b. Una base ortonormale B del punto precedente è ad esempio formata dai vettori ( ( e e e 3 ( e 4 ( pertanto una base B (f f 2 f 3 f 4 rispetto alla quale la forma quadratica Q si scrive in forma normale è ad esempio formata dai seguenti vettori: f ( e f 2 ( e f 3 e 3 f 4 e 4 ( ( c. Risulta W L(( pertanto si ottiene e quindi W {(x x 2 x 3 x 4 R 4 x x 2 + x 3 x 4 0} W L(( 0 0 (0 0 (0 0. Poiché le componenti del vettore ( che forma una base di W verificano l equazione che definisce W risulta che W W W. d. Rispetto alla base B (f f 2 f 3 f 4 per cui la forma quadratica Q si scrive in forma normale i vettori f + f 4 e f 2 + f 4 sono vettori isotropi e linearmente indipendenti. Pertanto ponendo Z L(f + f 4 e Z 2 L(f 2 + f 4 si ottengono due sottospazi vettoriali che verificano le tre condizioni richieste. Esercizio 3 Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R (O x y z sono date le rette: con h R. r : { x + y 0 x y + z 4 0 x 2 ht s : y + ht z + 2t (t R a. Trovare il valore per parametro reale h per cui le rette r ed s risultano parallele e per tale valore di h determinare l equazione del piano che contiene le due rette. 4

5 b. Sia Γ la circonferenza ottenuta intersecando la sfera Σ : x 2 + y 2 + z 2 4x 2y 4z 0 con il piano π : x 4y + z Determinare le equazioni della retta tangente a Γ nel punto A ( 2. c. Tra tutte le sfere contenenti la circonferenza Γ del punto precedente determinare quella passante per il punto B (2 3 e quindi studiare la posizione reciproca di tale sfera con la retta r. a. Le rette r ed s sono parallele per h e il piano che le contiene ha equazione cartesiana 3x + y + z 0. b. La retta tangente alla circonferenza Γ nel punto A si può individuare come intersezione del piano π su cui giace la circonferenza con il piano tangente alla sfera Σ nel punto A ossia { x 4y + z x + 0 c. La sfera Σ passante per la circonferenza Γ e per il punto B ha equazione cartesiana La retta r è esterna alla sfera Σ. Esercizio 4 Σ : x 2 + y 2 + z 2 + 4x 34y + 4z Nel piano rispetto ad un riferimento cartesiano R (O x y è data la conica C : 2x 2 4xy y 2 x + 0. Verificare che si tratta di una iperbole e ridurla a forma canonica esplicitando le equazioni del cambiamento di riferimento. Determinare inoltre le coordinate del centro e le equazioni degli asintoti di C (nel sistema di riferimento R. (4 punti L iperbole C in forma canonica ha equazione: 3 X 2 2 Y 2 2 ovvero X 2 Y 2 4 che si ottiene con il cambiamento di riferimento di equazioni ( ( x 5 2 ( 5 X y Y ( 2. 5

6 Nel sistema di riferimento R l iperbole C ha centro di coordinate ( 2 mentre i suoi asintoti hanno equazioni: 8x + y 3 0 4x 7y 9 0. Esercizio 5 a. Nello spazio vettoriale R 3 si considerino la base canonica B (( 0 0 (0 0 (0 0 e la base B (( 2 (0 3 ( Determinare la matrice A associata all omomorfismo identità id su R 3 (tale che id(x x per ogni x R 3 rispetto alla base B nel dominio e alla base B nel codominio ossia A M BB (id. b. Determinare la matrice A associata all identità su R 3 rispetto alla base B nel dominio e alla base B nel codominio ossia A M B B (id. ( punto c. Verificare che A non è diagonalizzabile. Dedurre che A non è diagonalizzabile. Spiegare perché questo non è in contraddizione con il fatto che l identità è evidentemente un omomorfismo diagonalizzabile. a. Sia P la matrice del cambiamento di base dalla base B alla base B : 0 0 P Risulta allora A P ossia A b. Risulta A P. c. L identità è associata alla matrice unità I R 33 (diagonale se si considera la stessa base nel dominio e nel codominio. Le matrici A e A non sono pertanto simili ad I e quindi non necessariamente sono diagonalizzabili. Gli autovalori di A P sono 5 e con molteplicità rispettivamente e 2 ma il rango di A I è 2 quindi A non è diagonalizzabile di conseguenza (perché? non lo è neppure A P.

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