Tecnica delle misurazioni applicate Esame del 4 dicembre 2007

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1 Tecica delle misurazioi applicate Esame del 4 dicembre 7 Problema 1. Il propulsore Mod. WEC viee prodotto da ACME Ic. mediate u processo automatizzato: dati storici cofermao che la lavorazioe di ogi elemeto prodotto richiede tipicamete 1 ora e 4 miuti (1h 4mi s): questo valore viee assuto come valore medio per l'itera popolazioe. U esperto di orgaizzazioe aziedale suggerisce alla dirigeza di ACME la itroduzioe di ua uova macchia affermado che tale azioe può ridurre i modo sigificativo il tempo di lavorazioe ecessario per realizzare il propulsore WEC. A causa dei costi di esercizio della uova macchia la dirigeza di ACME valuta che la sua itroduzioe risulta ecoomicamete coveiete solamete el caso i cui il tempo di lavorazioe ecessario per realizzare il propulsore WEC si riduca fio ad assumere u valore medio per l'itera popolazioe miore di 1 ora e 3 miuti (1h 3mi s). La dirigeza di ACME, co la collaborazioe del costruttore della uova macchia che e mette a disposizioe u esemplare affiché sia possibile sperimetare il fuzioameto, decide di codurre u test statistico allo scopo di cofermare la effettiva utilità dell acquisto della uova macchia. Il test sarà codotto co u livello di sigificatività pari a,1. Mediate la uova macchia vegoo realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurado, per ciascuo di essi, il tempo di lavorazioe: propulsore WEC #1 tempo di lavorazioe 1h 31mi 6s propulsore WEC # tempo di lavorazioe 1h 31mi 4s propulsore WEC #3 tempo di lavorazioe 1h 31mi 36s propulsore WEC #4 tempo di lavorazioe 1h 31mi 4s propulsore WEC #5 tempo di lavorazioe 1h 31mi 48s propulsore WEC #6 tempo di lavorazioe 1h 3mi s I base al risultato del test i dirigeti di ACME decidoo di acquistare la uova macchia oppure o? Risposta: Dal risultato del test o si ha la autorizzazioe ad acquistare la uova macchia i quato o è garatita la sua utilità ecoomica. Risoluzioe i defiisce prelimiarmete ua variabile casuale che assume, per ciascu elemeto della popolazioe dei propulsori WEC, valore uguale al tempo di lavorazioe espresso i miuti. Co questa premessa il valore della media per l'itera popolazioe che deve essere raggiuto affichè l'uso della uova macchia risulti coveiete diveta: µ 9 Dato che si coduce il test co l'itezioe di otteere coferma della effettiva validità della uova macchia si dovrà costruire u'ipotesi che, se rifiutata, implichi che la uova macchia ha effettivamete abbassato il tempo medio di lavorazioe al di sotto di 1 ora e 3 miuti, cioè di 9 miuti. H o µ > µ 9 Rifiutare H o implica che si affermi che il valore di µ è iferiore a 9, quidi che la uova macchia è ecoomicamete coveiete.

2 Dato che il campioe è di soli 6 elemeti il test viee codotto co il livello di sigificatività richiesto, pari a,1, e quidi co la fiducia del 99%, utilizzado la statistica campioaria T: T che preseta ua distribuzioe di tipo "t di tudet". Dato che l'ipotesi è del tipo "µ > µ " si esegue u test di tipo "uilaterale" (o "a 1 coda") Il campioe ha 6 pertato si usa la t di tudet co 5 gradi di libertà: dalle tabelle si ricava il valore critico della T per α,1 che risulta: t c if - 3,365 La regioe di rifiuto della H è pertato: T < t c if Partedo dai tempi di lavorazioe del campioe si ricavao i segueti valori: x 1 91,1 x 91,4 x 3 91,6 x 4 91,7 x 5 91,8 x 5 9, e si determiao la media campioaria, la variaza campioaria corretta e la deviazioe stadard campioaria corretta: 91,6 ;,1 Dai dati del campioe si ricava quidi:,316 91,6 9 T t 3, 984 > t,316 6 Dato che t NON cade ella regioe di rifiuto T < t c if NON posso rifiutare H co la fiducia richiesta: Dato che o è lecito egare che la media della variabile per l'itera popolazioe sia maggiore o uguale a 9 o è garatita l'utilità ecoomica della uova macchia. Come cosegueza del o rifiuto di H o si può sosteere, co la sigificatività richiesta (a cui corrispode il 99% di fiducia), che l'uso della uova macchia sarà utile pertato la Direzioe di ACME o procede al suo acquisto. c if Problema. uppoiamo che il test discusso el problema 1 vega svolto co u campioe di 9 propulsori WEC e che i tempi di lavorazioe dei tre elemeti supplemetari siao i segueti: propulsore WEC #7 tempo di lavorazioe 1h 31mi 1s propulsore WEC #8 tempo di lavorazioe 1h 31mi 36s propulsore WEC #9 tempo di lavorazioe 1h 3mi s

3 Qual è la decisioe (acquistare la uova macchia oppure o) che i dirigeti di ACME predoo sulla base del test codotto su 9 esemplari di propulsore WEC? Risposta: Dal risultato del test codotto co u campioe di 9 elemeti risulta possibile autorizzare l'acquisto della uova macchia i quato essa risulta ecoomicamete utile. Risoluzioe L'ipotesi fodametale resta immutata: H o µ > µ 9 Dato che il campioe è di 9 elemeti il test viee codotto co il livello di sigificatività richiesto, pari a,1, e quidi co la fiducia del 99%, utilizzado la statistica campioaria T: T che preseta ua distribuzioe di tipo "t di tudet". Dato che l'ipotesi è del tipo "µ > µ " si esegue u test di tipo "uilaterale" (o "a 1 coda") Il campioe ha 9 pertato si usa la t di tudet co 8 gradi di libertà: dalle tabelle si ricava il valore critico della T per α,1 che risulta: t c if -,896 La regioe di rifiuto della H è pertato: T < t c if Partedo dai tempi di lavorazioe del campioe si ricavao i segueti valori: x 1 91,1 x 91,4 x 3 91,6 x 4 91,7 x 5 91,8 x 6 9, x 7 91, x 8 91,6 x 9 9, e si determiao la media campioaria, la variaza campioaria corretta e la deviazioe stadard campioaria corretta: 91,6 ;,15 Dai dati del campioe si ricava quidi:,3 91,6 9 T t 3, 748 < t,3 9 Dato che t cade ella regioe di rifiuto T < t c if POO RIFIUTARE H co la fiducia richiesta: c if

4 Dato che è possibile egare che la media della variabile per l'itera popolazioe sia maggiore o uguale a 9 essa deve essere miore di tale valore pertato il test cosete di affermare che la uova macchia ha ua effettiva utilità ecoomica. Come cosegueza del rifiuto di H si può sosteere, co la sigificatività richiesta a cui corrispode il 99% di fiducia, che l'uso della uova macchia sarà utile pertato la Direzioe di ACME procede al suo acquisto. Problema 3. i idividui l itervallo di cofideza al 95% per la variaza σ popolazioe sulla base dei valori foriti dal campioe del problema 1. della riferita all itera Risposta: L'itervallo di cofideza ricercato è:,39 σ, 6. Risoluzioe Per idividuare l'itervallo di cofideza della variaza della relativa all'itera popolazioe si costruisce ua idoea variabile casuale così defiita: 1 σ ( ) che ha distribuzioe di tipo "chi quadro" co -1 gradi di libertà. i idividuao quidi i due quatili della "chi quadro" relativi alle probabilità,5 e,975 che, per 5 gradi di libertà, risultao essere: c if,831 ; c sup 1,83 Da questi valori si idividuao gli estremi dell'itervallo di cofideza cercato mediate la: ( 1) σ ( 1) c sup c if ostituedo ella espressioe i valori della variaza campioaria corretta, dei quatili della "chi quadro" e dei gradi di libertà si ottiee ifie: 5,1 1,83,39 σ,6 5,1,831 Risoluzioe alterativa Per idividuare l'itervallo di cofideza della variaza della relativa all'itera popolazioe si costruisce ua idoea variabile casuale C così defiita:

5 C σ che ha distribuzioe di tipo "C modificata di chi quadro" co -1 gradi di libertà. i idividuao quidi i due quatili della " C modificata di chi quadro" relativi alle probabilità,5 e,975 che, per 5 gradi di libertà, risultao essere: C c if,166 ; Cc sup,57 Da questi valori si idividuao gli estremi dell'itervallo di cofideza cercato mediate la: C c sup σ C c if ostituedo ella espressioe sopra riportata i valori della variaza campioaria corretta, dei quatili della " C modificata di chi quadro" e dei gradi di libertà si ottiee ifie:,1,57,39 σ,6,1,166