Esercizi per il corso di Algoritmi, anno accademico 2014/15

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1 1 Esercizi per il corso di Algoritmi, anno accademico 2014/15 Esercizi sulle Notazioni Asintotiche 1. Esercizio: Provare le seguenti relazioni, esibendo opportune costanti c 1,c 2 ed n 0. Si assuma per semplictà che i logaritmi siano in base 2. Si giustifichino con precisione le affermazioni fatte. (a) log(n!) = Θ(nlogn) (b) log(n!/2 n ) = Θ(nlogn) (c) nlog n = Θ(nlogn) ) (d) log( n logn = Θ(logn) (e) 5n nlogn 2 +10n 2 = Θ(n 2 ). 2. Esercizio: In ciascuno dei seguenti casi, indicare se vale f(n) = O(g(n)), o se f(n) = Ω(g(n)), oppure se valgono entrambe le condizioni (in tal caso occorrerà indicare che f(n) = Θ(g(n)). (a) f(n) = n nlogn, g(n) = 5n+2 nlog 3 n (b) f(n) = 10nlog 4 n, g(n) = (n/10) 3 n (c) f(n) = 5n+10 n, g(n) = n 10 nlogn (d) f(n) = n 3/2 nlogn, g(n) = 8nlog 3 n (e) f(n) = 3logn, g(n) = logn 8 (f) f(n) = logn, g(n) = log n (g) f(n) = 6n 5 +nlogn 2 + n, g(n) = n 5 4nlogn 2 8 n (h) f(n) = n 1.01, g(n) = n(logn) 3 (i) f(n) = 7 n, g(n) = 8 n (j) f(n) = 3 log 2 n, g(n) = 2 log 3 n (k) f(n) = n4 n, g(n) = n! (l) f(n) = 3 n+2, g(n) = 3 n 3 (m) f(n) = n5 n, g(n) = 6 n (n) f(n) = n 2 n 3/2, g(n) = 7n 2 +8n 2/3 (o) f(n) = logn 8, g(n) = log 2 n 3. Esercizio: Per ciascuna delle seguenti affermazioni, fornire un adeguata dimostrazione nel caso l affermazione sia vera o un opportuno controesempio nel caso l affermazione sia falsa. Si assuma che tutte le funzioni siano positive e non devrescenti. (a) Se f(n) = O(n 2 ) e g(n) = O(n 2 ), allora f(n) g(n) = O(1).

2 2 (b) Se n f(n) > g(n), allora f(n)+g(n) = Θ(f(n)). (c) Se f(n) = Θ((n)) e g(n) = Θ(n), allora 2 f(n) = O(2 g(n) ). (d) Se f(n) = Θ(g(n)), allora f(n) g(n) = Θ(g(n)). 4. Esercizio: Date le seguenti funzioni: n nlogn,log(n!/2 n ) 4,loglog 2 n 3,n 2 +logn 2,3 n +5 n,nlog3 n,n!,4n 2 +6n n,10n+3loglog 2 n,loglogn, 4n+20logn+3 n,log(n!),5 2 n,nlog(n+2) 3,5n 2 +nlogn+n 3/2,4 logn,nlog(n+2) 3,4 n,8nlog 3 n, partizionarle in insiemi disgiunti A 1,A 2,... tali che entrambe le seguenti condizioni valgano 1. f(n),g(n) A i f(n) = Θ(g(n)) 2. f(n) A i, g(n) A j, con i < j f(n) = O(g(n)) ma f(n) Θ(g(n)) 5. Esercizio: Date le seguenti funzioni 2nlog 3 n,4 3 nlogn,logn 4,n logn,n 2 logn 3,n n,n 5,(logn) n,10 4 n,nlog 3 n,7log 3 n,n 3 3 n,10loglog 2 n, 3logn 4,n!,n 1/logn ordinarle scrivendole da sinistra a destra in modo tale che la funzione f(n) venga posta a sinistra della funzione g(n) se f(n) = O(g(n)). 6. Esercizio: Tracciare una linea da ciascuna delle cinque funzioni al centro al miglior valore Ω sulla sinistra (ovvero alla funzione sulla sinistra che cresce piú velocemente e che continua ad essere Ω di quella centrale), ed al miglior valore O sulla destra (ovvero alla funzione sulla destra che cresce meno velocemente e che continua ad essere O di quella centrale). Ω(1/n) O(1/n) Ω(1) O(1) Ω(loglogn) O(loglogn) Ω(log n) O(log n) Ω(log 2 n) O(log 2 n) Ω( 4 3 n) n O( 4 n) Ω(n/ log n) 1/(log n) O(n/ log n) Ω(n) 2n 3 3n O(n) Ω(n ) (n 3 +n)/(nlog 2 n+logn) O(n ) Ω(n 2 /log 2 n) 3 (log 3 n)3 O(n 2 /log 2 n) Ω(n 2 /logn) 4 n O(n 2 /logn) Ω(n 3/2 ) O(n 3/2 ) Ω(n 2 ) O(n 2 ) Ω(2 n ) O(2 n ) Ω(5 n ) O(5 n ) Ω(n n ) O(n n ) Ω(n n2 ) O(n n2 )

3 3 7. Esercizio: Provarechesef 1 (n) = O(g 1 (n))ef 2 (n) = O(g 2 (n)), alloraf 1 (n)+f 2 (n) = O(g 1 (n)+ g 2 (n)). Provare che se f 1 (n) = Ω(g 1 (n)) e f 2 (n) = Ω(g 2 (n)), allora f 1 (n)+f 2 (n) = Ω(g 1 (n)+ g 2 (n)). 8. Esercizio: Provarechesef 1 (n) = Θ(g 1 (n))ef 2 (n) = Θ(g 2 (n)), alloraf 1 (n)+f 2 (n) = Θ(g 1 (n)+ g 2 (n)). 9. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = Θ(g 1 (n)) e f 2 (n) = Θ(g 2 (n)), allora f 1 (n) + f 2 (n) = Θ(max{g 1 (n),g 2 (n)}). 10. Esercizio: Si supponga di avere due funzioni f(x) e g(x) tali che f(x) = O(g(x)). Per ciascuna delle seguenti affermazioni, di dica se essa é vera, fornendone una prova, o falsa, fornendone un contresempio. (a) logf(x) = O(logg(x)) (b) 2 f(n) = O(2 g(x) ) (c) f(n) 2 = O(g(n) 2 ) 11. Esercizio: Sisuppongachef 1 (n) = Θ(g 1 (n))echef 2 (n) = Θ(g 2 (n)). Éverochef 1(n)+f 2 (n) = Θ(g 1 (n)+g 2 (n))? É vero che f 1(n)+f 2 (n) = Θ(min{g 1 (n),g 2 (n)})? Giustificare le risposte. 12. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = O(g 1 (n)) e f 2 (n) = O(g 2 (n)), allora f 1 (n) f 2 (n) = O(g 1 (n) g 2 (n)). 13. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = Ω(g 1 (n)) e f 2 (n) = Ω(g 2 (n)), allora f 1 (n) f 2 (n) = Ω(g 1 (n) g 2 (n)). 14. Esercizio: Provare o refutare: per tutte le funzioni f(n) e g(n), o vale che f(n) = O(g(n)), oppure vale che g(n) = O(f(n)). 15. Esercizio: Provare che

4 4 (a) 2(n+2) 2 = O(n 2 ) (b) 5n 2 8nlogn+9n n = O(n 2 ) (c) 3nlogn = O(n 2 ) (d) nlogn 3n 18 = Ω(n) (e) n 3 3n 2 n n+logn 5 = Θ(n 3 ) (f) n 2 = O(2 n ) (g) n = O(2 n ) (h) cn+d = O(2 n ) per tutte le costanti c,d R + (i) cn k +d = O(2 n ) per tutte le costanti c,d,k R + (j) 3n nlogn = O(n 2 ) (k) n/(logn 4 ) = Ω( n) 16. Esercizio: Si supponga di avere un algoritmo che su di un input di una data taglia k impiega un minuto per terminare. Quanti minuti l algoritmo impiegherà su di un input di taglia 4k se il tempo di esecuzione T(n) dell algoritmo è (a) T(n) = logn (b) T(n) = n (c) T(n) = n 2 (d) T(n) = 2 n

5 5 Esercizi sull Analisi di Algoritmi 1. Esercizio: Si consideri la seguente equazione di ricorrenza per la funzione T(n): T(n) = T(c 1 n)+t(c 2 n)+...+t(c k n)+θ(n), per costanti positive c 1,...,c k tali che c c k < 1. Si provi che T(n) = Θ(n), usando il metodo induttivo. 2. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 1;s 0 while k n do for j 1 to n do s j k k 2 k 3. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 0;s 0,t 0 while k n do for j 1 to n do s j k t t+1 k t+k 4. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 0;s 0,t 0,j 1 while k n do while j n do t t+1 s j k j 2 j k t+k

6 6 5. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 1;s 0,t 0,j 1 while k n do while j n do s j k j 2 j t t+1 k 2 k 6. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo i 1;r 0 while i n do for j 1 to n i do r r +i i i 2 7. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Algoritmo B(n) x 1 if n = 1 or n = 2 then do x x+1 else B(n 2); for i = 1 to n do x x+1 B(n 2) Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessità dell algoritmo B(n), e la si risolva, usando il metodo di iterazione.

7 7 8. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo Algorithm(n) che prende in input un intero n 0 e che effettua le seguenti operazioni: Algorithm(n) if n 1 then esegue 2 operazioni e si ferma Esegue n/6 operazioni Algorithm(n/6) Esegue n/6 operazioni Algorithm(n/6) Esegue n/2 operazioni Algorithm(n/3) Detto T(n) il tempo di esecuzione di Algorithm(n) sull input n, scrivere una equazione di ricorrenza per T(n). Trovare una costante c tale che T(n) cn, per ogni n 1. Si assuma che ogni operazione elementare costi Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: if n = 1 then return(0) else Algoritmo(n/2) x 0; i 0 while x n do x x+(2i+1) i i+1 Si esprima la complessitá di mediante una equazione di ricorrenza e se ne dia una soluzione in termini della notazione Θ. 10. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Arcanum(X[i...j]) if j = i then return (X[i]) else m = (i+j)/2 x Arcanum(X[i...m]) y Arcanum(X[m+1...j]) if x y then return (x) else return (y) (a) Cosa calcola l algoritmo, una volta chiamato su di un array X[1...n] di n interi? (b) derivare una equazione di ricorrenza per la complessitá dell algoritmo e risolverla. Giustifcare le affermazioni fatte.

8 11. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Alg(n) r 0 for j 1 to n do i n while i j do r r +i i i 1 return (r) Valutare la complessitá dell algoritmo mediante la notazione Θ, in funzione del parametro n. 12. Esercizio: Sia T(1) = 1. Risolvere le seguenti equazioni di ricorrenza, usando (eventualmente) i teoremi visti a lezione (a) T(n) = 2T(n/2)+5n 3 (b) T(n) = T(9n/10)+2n (c) T(n) = 16T(n/4)+8n 2 (d) T(n) = 7T(n/3)+12n 2 (e) T(n) = 7T(n/2)+6n 2 (f) T(n) = 2T(n/4)+4 n (g) T(n) = T(n 1)+n (h) T(n) = T( n) Esercizio: Sia A un algoritmo la cui complessità T(n) è esprimibile attraverso la relazione di ricorrenza T(n) = 8T(n/2) + n 2, e sia B un algoritmo la cui complessità T (n) è esprimibile attraverso la relazione di ricorrenza T (n) = at (n/4)+n 2, dove a è un numero intero positivo. Si determini il più grande valore di a per cui l algoritmo A è più veloce di A. 14. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Algoritmo S(n) if n = 1 then return(0) else S(n/3) x 0 while x 3n 3 do x x+3 S(n/3) Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessità dell algoritmo S(n), e la si risolva. 8

9 9 15. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Algoritmo S(n) if n = 1 then return(0) else x 0 while x 9 n do x x+3 Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessità dell algoritmo S(n), e la si risolva. 16. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Algoritmo S(n) if n = 1 then return(0) else x 0 while x 3n 2 do x x+3 y 0 while y 3n do y y +3 z 0 while z logn do z z +3 S(n/5) Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessità dell algoritmo S(n), e la si risolva, in termini della notazione O.