Def. Un vettore è un segmento orientato.

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1 VETTORI

2 Def. Un vettore è un segmento orientato. La freccia indica il verso del vettore. La lunghezza del segmento indica il modulo (o intensità) del vettore. La retta cui appartiene il segmento indica la direzione del vettore.

3 Un generico vettore può essere scritto in modo sintetico in vari modi. Per indicare il modulo di un vettore, occorre scrivere il simbolo tra barrette verticali o omettere la freccia. NOTA BENE

4 Osservazione: abbiamo detto che la retta su cui giace il segmento indica la direzione del vettore, ma in effetti non abbiamo detto cos è la direzione di un vettore. Def. La direzione di un vettore è l insieme delle rette parallele a quella su cui giace il vettore. I vettori in figura hanno tutti la stessa direzione, anche se giacciono su rette distinte o hanno versi opposti.

5 Def. Due segmenti orientati si dicono equivalenti se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso. I vettori sono equivalenti. Def. Chiamiamo vettore l insieme di tutti i segmenti orientati tra loro equivalenti.

6 SOMMA DI VETTORI Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma Fissato il vettore facciamo coincidere la coda del vettore con la punta del vettore Il vettore somma congiunge i due estremi liberi, seguendo il verso degli addendi. Facciamo coincidere le code dei vettori e. Costruiamo il parallelogramma di lati e e tracciamo la diagonale corrispondente, cioè il vettore.

7 SOMMA DI VETTORI - Osservazioni 1. Se i vettori addendi hanno la stessa direzione, l unico metodo che funziona è quello punta coda. Addendi paralleli ed equiversi. Addendi paralleli, ma con verso opposto. 2. Il modulo del vettore somma, in generale, non è uguale alla somma dei moduli degli addendi. Vale infatti la disuguaglianza triangolare. L uguaglianza vale solo se gli addendi paralleli ed equiversi.

8 DIFFERENZA DI VETTORI Def. Dato un vettore, chiamiamo vettore opposto il vettore - che ha stesso modulo e stessa direzione di ma verso opposto. Dati due vettori e, il vettore differenza - si ottiene come segue: 1. Costruisco il vettore = - 2. Sommo ad il vettore - con la regola del parallelogramma.

9 DIFFERENZA DI VETTORI - osservazioni 1. Come nel caso dei numeri, la differenza non è commutativa. 2. Dalla figura si vede che. 3. Se e sono equivalenti,.

10 IL VETTORE NULLO 1. Ha modulo uguale a zero. 2. Verso e direzione non sono definiti. 3. È l elemento neutro della somma.

11 SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO DUE DIREZIONI NON PARALLELE. 1. Prendiamo un vettore e due direzioni (non parallele) in modo che il punto di intersezione coincida con il primo estremo del vettore. 2. Tracciamo le parallele alle direzioni in modo da costruire un parallelogramma di cui sia diagonale. 3. I vettori in figura si chiamano vettori componenti di lungo le direzioni date. Nota che

12 VETTORI NEL PIANO CARTESIANO: SCOMPOSIZIONE Il vettore u ha un estremo nell origine degli assi e uno in un punto B. Possiamo quindi identificare il vettore con il punto di arrivo. Se scomponiamo il vettore u lungo gli assi cartesiani, possiamo identificare i vettori componenti con i punti C,D. Osserviamo che vale:

13 VETTORI NEL PIANO CARTESIANO: SOMMA Dalla figura vediamo che il vettore somma che otteniamo con il metodo del parallelogramma è lo stesso che otteniamo sommando i vettori e componente per componente.

14 VETTORI NEL PIANO CARTESIANO: DIFFERENZA Dalla figura vediamo che il vettore differenza è lo stesso che otteniamo sottraendo i vettori e componente per componente.

15 MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE. Def. Chiamiamo scalare un qualsiasi numero reale. La definizione data non spiega il nome scalare : si tratta di un sostantivo che ha che fare con le cosiddette riduzioni di scala, usate nella cartografia per produrre mappe o nelle più svariate applicazioni, quali le scatole di montaggio (sorprese Kinder, Lego, modellismo, mobili IKEA etc.)

16 MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE. Dati un vettore e un numero reale α, il vettore ha le seguenti caratteristiche:

17 MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE esempi.

18 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. Sia α l angolo convesso formato da due semirette con origine in comune. 2. Tracciamo alcune rette perpendicolari a una delle semirette. 3. Consideriamo i triangoli rettangoli che si formano. 4. Misuriamo i lati dei vari triangoli. È fondamentale che le parallele siano perpendicolari a una delle due semirette che formano l angolo α.

19 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Calcoliamo il rapporto tra i lati come illustrato: I rapporti tra lati corrispondenti sono costanti C è una relazione di proporzionalità diretta.

20 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Seno, coseno e tangente non dipendono dal particolare triangolo, ma solo dall angolo α. Possono essere calcolate facilmente con una calcolatrice.