Prova scritta finale 19 giugno 2013

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Prova scritta finale 19 giugno 2013"

Transcript

1 Prova scritta finale 19 giugno 13 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 1-13 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice: AMMESSO NOTA BENE: gli smartphone devono essere tenuti spenti per tutto il corso della prova, pena l annullamento della prova Nota: per lasciare un margine di recupero, il totale dei punti a disposizione è fissato a 34 invece che a 3. 1) Un elettrone di energia E = 3 ev viaggia nella direzione positiva dell asse x (siamo in 1D) in una regione in cui l energia potenziale è nulla (regione I della figura 1). Calcolare (a) la lunghezza d onda di de Broglie associata all elettrone finché si trova in tale regione. Lungo il suo percorso, l elettrone trova a un certo punto una barriera di potenziale rettangolare di altezza U = E (ossia esattamente uguale all energia dell elettrone) e lunghezza L = 3 Å (=.3 nm). Determinare: (b) l espressione della funzione d onda nelle tre regioni I, II e III; (c) le probabilità che l elettrone venga trasmesso oltre la barriera oppure riflesso. Considerare infine il caso in cui gli elettroni incidenti sulla barriera siano due, anziché uno solo, entrambi di energia E = 3 ev, aventi lo stesso stato di spin (per esempio con numero quantico m s =+1/) e contro-propaganti, ossia con un elettrone che proviene dalla regione I e l altro dalla regione III della figura 1. In questo caso, considerando gli elettroni come non interagenti, calcolare (d) la probabilità che alla fine regione I del processo i due elettroni siano uno nella regione I e l altro nella regione III, entrambi che si allontanano dalla barriera (questo stato finale può risultare dal fatto che entrambi gli elettroni siano trasmessi ovvero entrambi riflessi) e la probabilità che invece uno degli elettroni sia trasmesso e l altro riflesso (Nota per quest ultima domanda: fate attenzione al fatto che i due elettroni sono particelle identiche). [punti: a = ; b = ; c=; d=3]. E U(x) U L Figura 1 regione II regione III x ) Considerate un sistema quantistico in due dimensioni (D) dato da una buca di energia potenziale infinita e di forma rettangolare di lati a = Å e b= a (un recinto quantico rettangolare), come rappresentato in figura a. Calcolare (a) l espressione algebrica dei livelli possibili di energia e (b) il valore numerico dell energia di punto zero espressa in ev. Calcolare quindi (c) la configurazione elettronica e la corrispondente energia se nella buca ci sono 9 elettroni in tutto, nello stato fondamentale (tenendo conto anche dei due valori possibili del numero quantico di spin degli elettroni). Infine considerate una situazione in cui di elettrone ce n è uno solo, che si trova ad un certo istante nello stato quantistico descritto dalla seguente funzione d onda (corrispondente alla regione tratteggiata in rosso nella figura b): N per < x < a / e < y < b ψ (x, y) = per x > a / fuori dalla buca In questa situazione, calcolare (d) i valori che possono risultare da una misura di energia e le corrispondenti probabilità (non è necessario dare valori numerici, solo le espressioni algebriche). [punti: a = ; b = ; c=; d=3] y U = b U = a x Figura a domande (a) (c) y x a/ Figura b domanda (d) 3) In non più di una pagina trattate uno dei seguenti due argomenti, a scelta (MA NON PIÙ DI UNO) [punti 8]: a. Enunciate l interpretazione probabilistica (o statistica) della funzione d onda, chiarendo anche la definizione ed il significato dei concetti statistici utilizzati (come ad esempio la densità di probabilità o altro). b. Discutere le proprietà quantistiche del momento angolare di una particella, dimostrandone in particolare la quantizzazione di una componente. Carica dell elettrone e = 1, C Costante di Planck ridotta ħ = 1, J s Massa dell elettrone m = 9, kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...

2 seconda pagina - Prova scritta finale 19/6/13 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci 4) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME e NOME: MATRICOLA: a) Riportare le due relazioni di de Broglie: b) Scrivere la relazione di indeterminazione di Heisenberg tra posizione x e quantità di moto p: a) Calcolare la lunghezza d onda della radiazione elettromagnetica emessa dall atomo d idrogeno nella transizione dallo stato ψ p a quello ψ 1s, ricordando che l energia dello stato fondamentale è E 1 = 13.6 ev: _ c) Come è definito il prodotto scalare tra due funzioni d onda ψ 1 (x) e ψ (x)? _ d) Sia data una particella con funzione d onda ψ (x) = A per < x < L con L = 1 Å e ψ (x) = al di fuori dell intervallo (, L). Calcolare la probabilità che, eseguendo una misura di posizione, la particella venga trovata nell intervallo (, Å): e) Sia ψ (x) = 13L sin π x π x + 3isin la funzione d onda 1D al tempo t = di un elettrone in una buca di potenziale infinita compresa tra x = e x = L, relativamente al medesimo intervallo (al di fuori, la funzione d onda si annulla). Scrivete l espressione della funzione d onda ψ(x, t) valida anche per gli istanti di tempo t successivi: _ f) Scrivere l espressione analitica della funzione d onda di un sistema di due elettroni che occupano lo stato fondamentale n = 1 e il primo stato eccitato n = di una buca di potenziale rettangolare infinita, assumendo che abbiano lo stesso spin (o equivalentemente senza tenere conto dello spin): _ g) Scrivere la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell atomo di fluoro F (Z = 9):

3 Soluzioni degli esercizi Esercizio 1 Domanda (a). Nella regione I l energia potenziale è nulla, per cui l energia è interamente cinetica, ossia si ha E = 1 mv = p m p = me Combinando questa espressione con la relazione di de Broglie p = h/λ si ottiene la risposta a: λ = h p = h me = m = 7.1 Å A questo stesso risultato si può anche pervenire risolvendo l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo, determinando così il numero d onde k della funzione d onda nella regione I (si veda risposta successiva) e quindi usando la relazione tra numero d onde e lunghezza d onda λ = π/k. Domanda (b). Per rispondere a questa domanda è necessario risolvere l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo nelle tre regioni. Nella regione I, dove U(x) =, l equazione di S. si riduce alla seguente: d φ = Eφ (1) m dx che per E > (come nel caso nostro) ha come possibili soluzioni le onde armoniche φ(x) = Ne ±ikx () con k = 1 me (3) (che poi corrisponde alla risposta (a), in base alla relazione k = π/λ). Entrambe queste soluzioni sono valide fisicamente perché non divergono, per cui in generale dobbiamo considerare la funzione d onda data dalla combinazione lineare delle due, ossia φ(x) = φ I (x) = Ae ikx + Be ikx per x < Nella regione II, dove U(x) = E, l equazione di S. si riduce invece alla seguente equazione: d φ m dx + Eφ = Eφ d φ dx = che ammette la seguente soluzione generale φ(x) = φ II (x) = Cx + D per < x < L (4) Dato che la regione II si estende solo all intervallo limitato (, L) della coordinata x, entrambi i termini della (4) non divergono (il primo divergerebbe se l intervallo fosse infinito) e vanno perciò considerati fisicamente validi.

4 Infine, nella regione III ritroviamo la stessa situazione della regione I, quindi in generale la funzione d onda sarà la stessa, eccetto per i coefficienti della combinazione lineare, ossia φ(x) = φ III (x) = Ee ikx + Fe ikx per x > L Tuttavia la condizione iniziale data nel testo del problema che l elettrone proviene inizialmente da sinistra viaggiando nella regione I ci fa concludere che nella regione III ci possa essere solo un onda trasmessa viaggiante nel verso positivo dell asse x, per cui l onda viaggiante verso destra nella regione III si deve annullare, ossia F = Raccogliendo insieme le espressioni già scritte abbiamo la seguente espressione della funzione d onda φ(x): Risposta b: φ(x) = Domanda (c). φ I (x) = Ae ikx + Be ikx per x < φ II (x) = Cx + D per < x < L φ III (x) = Ee ikx per x > L (5) Per trovare le probabilità di trasmissione e riflessione dobbiamo calcolare i valori (relativi all ampiezza A dell onda incidente) dei coefficienti che appaiono nella (5). Questo si ottiene imponendo le due condizioni di raccordo per ciascuno dei punti in cui il potenziale è discontinuo, ossia x = e x = L: φ I () = φ II () A + B = D ( ) = C φ I () = φ II () ik A B φ II (L) = φ III (L) CL + D = Ee ikl φ II (L) = φ III (L) C = ikee ikl Risolvendo le 4 equazioni per sostituzione, otteniamo in particolare le ampiezze dell onda trasmessa E e dell onda riflessa B: E = e ikl ikl A B = ikl ikl A (6) dato che le velocità di gruppo nelle regioni I e III sono uguali, le probabilità di trasmissione e riflessione si deducono semplicemente dal modulo quadro dei coefficienti: risposta c: P T = E A P R = B A = e ikl = ikl = ikl = ikl 4 ( ) ( kl) ( ) 4 + kl 4 + kl =.36 = 36.% =.638 = 63.8% Domanda (d). Si può rispondere a questa domanda con un ragionamento intuitivo molto semplice oppure con uno formale piuttosto laborioso. Iniziamo con quello intuitivo (che sarebbe stato comunque sufficiente per una valutazione piena di questa risposta). Se i due elettroni sono uno riflesso e l altro trasmesso, al termine del processo si ritrovano entrambi nello stesso pacchetto d onda, dalla stessa parte della barriera. Dato che i due elettroni sono fermioni ed hanno anche lo stesso spin, questa situazione finale è proibita dal principio di esclusione di Pauli e quindi non può

5 accadere, ossia deve necessariamente avere probabilità. Gli stati finali che si ottengono dopo che entrambi gli elettroni sono trasmessi oppure entrambi riflessi invece coincidono, per cui si ha un unica possibile situazione finale in cui un elettrone si trova in un pacchetto d onde che sta allontanandosi dalla barriera nella regione I ed un altro in un pacchetto che sta allontanandosi dalla barriera nella regione III. Dato che questa è l unica situazione finale possibile, deve avere necessariamente una probabilità del 1%. Quindi la risposta alla domanda è la seguente: risposta d: P(un elettrone in I e l altro in III) = 1% ; P(un elettrone trasmesso e l altro riflesso) = Per rispondere in modo più formale (cosa non indispensabile ai fini della valutazione), dobbiamo costruire la funzione d onda dei due elettroni a partire da quelle di singolo elettrone. La funzione d onda di un elettrone che incide sulla barriera da sinistra, ossia dalla regione I, è quella già riportata in (5). A noi però interessa il pacchetto d onde che si forma a partire da questa funzione d onda dopo che la collisione è già terminata. In questo caso sopravvivono solo l onda riflessa (con coefficiente B) e quella trasmessa al di là del gradino (con coefficiente E). Quindi la funzione d onda dell elettrone dopo la collisione può essere semplificata nella seguente espressione (dove abbiamo eliminato l onda incidente e quella dentro la barriera): φ a (x) = φ ai (x) = Be ikx per x < φ aii (x) = per < x < L φ aiii (x) = Ee ikx per x > L I coefficienti B ed E possono essere anche scritti in funzione dell ampiezza dell onda incidente A usando le espressioni già riportate in (6). Nel caso dell elettrone incidente da destra, nella regione III, la funzione d onda si può ottenere direttamente da quello del caso precedente, mediante la trasformazione di simmetria x L x. Quindi si ha la seguente espressione: φ b (x) = ik ( x L) φ biii (x) = Be per x > L φ bii (x) = per < x < L φ bi (x) = Ee ik ( x L) per x < La funzione d onda del sistema di due elettroni si ottiene ora mediante la seguente combinazione antisimmetrica, valida per il caso di due fermioni:, x ) = 1 [ φ a(x 1 )φ b (x ) φ b (x 1 )φ a (x )] (7) Calcoliamo l espressione esplicita di questa funzione d onda nel caso in cui le due particelle siano nella stessa regione, ad esempio I (cioè assumendo che x 1 < e x < :, x ) = 1 [ φ (x )φ (x ) φ (x )φ (x ) ai 1 bi bi 1 ai ] = 1 Be ikx 1 Ee ikx +ikl Ee ikx1+ikl Be ikx = Un calcolo analogo mostra che la funzione d onda si annulla se le variabili sono entrambe nella regione III. Questo conferma l impossibilità che dopo la collisione le due particelle vengano trovate entrambe nella stessa regione. Se invece calcoliamo la funzione d onda per il caso in cui la particella 1 sia nella regione I e la particella nella regione III, otteniamo la seguente espressione:, x ) = 1 [ φ ai (x 1 )φ biii (x ) φ bi (x 1 )φ aiii (x )] = 1 B e ikx 1+ikx ikl E e ikx 1+ikL+ikx = = 1 B e ikl E e +ikl e ik(x x ) 1 = A e ikl 4 + k L ( ikl) eik(x x 1 )

6 il cui modulo quadro può facilmente essere calcolato come pari a, x ) = A4 Questa è la densità di probabilità congiunta che la particella 1 sia nella regione I e la particella nella regione III (dopo la collisione). La densità di probabilità per il caso in cui la particella 1 sia nella regione III e quella nella regione I è identica (lo deve essere, visto che le particelle sono identiche), per cui la densità totale è pari ad A 4. Integrata sull estensione d dei due pacchetti d onda, tenendo conto della condizione di normalizzazione A d=1, questa densità ci restituisce la probabilità del 1% di trovare le due particelle una in una regione e l altra nell altra. Così risulta confermata la risposta già data con l approccio intuitivo. Esercizio Domanda (a). Si procede per separazione di variabili, riconducendo il problema a due problemi 1D, uno per la coordinata x e uno per la coordinata y, entrambi corrispondenti a buche di potenziale infinite, la prima di larghezza a e la seconda di larghezza b. Introducendo due numeri quantici, n ed m, corrispondenti alle due coordinate, otteniamo quindi la seguente espressione dei livelli di energia possibili: livelli di energia: E n,m = π ma n + π mb m = E n + m dove nella seconda espressione abbiamo introdotto l energia E = π ma = J = 9.4 ev ( ) con n = 1,, ed m = 1,, (8) e abbiamo sfruttato la relazione b = a data nel testo. Le corrispondenti autofunzioni sono date dal prodotto delle autofunzioni relative a ciascuna variabile, per cui autofunzioni: φ n,m (x, y) = nπ x mπ y sin ab a sin b Domanda (b). L energia di punto zero corrisponde all energia cinetica minima nella buca. Essendo l energia potenziale nulla nella buca, l energia cinetica coincide con quella totale, per cui si ha: energia di punto zero: E 1,1 = 3E = 8.3eV Domanda (c). La configurazione elettronica di energia più bassa per i 9 elettroni è la seguente: Configurazione elettronica stato fondamentale 9 elettroni: (1,1) (,1) (1,) (3,1) (,) 1 dove le parentesi (n,m) indicano i corrispondenti stati stazionari di numeri quantici n ed m, e gli apici il numero di elettroni presenti in tali stati. L energia corrispondente è la seguente:

7 energia stato fondamentale: E tot = 3E + 6E + 9E + 11E + 1 1E = 7 E = 659 ev Domanda (d). Per prima cosa dobbiamo normalizzare la funzione d onda data nel testo del problema imponendo la seguente condizione di normalizzazione D: + + ab dx dy ψ = dx dy N = N = 1 da cui otteniamo a/ b N = ab Per determinare le probabilità di ciascun livello di energia utilizziamo il seguente prodotto scalare: + + * c n,m = φ n,m,ψ = φ n,m (x, y)ψ (x, y)dx dy = dysin mπ y ab b dxsin nπ x a = [ ] [ 1 cos(nπ / ) ] = 1 cos(mπ ) π nm La probabilità si ottiene prendendo il modulo quadro: b a/ P n,m = c n,m = 8 π 4 n m 1 cos( mπ ) 1 cos nπ da cui deduciamo la seguente risposta d: livelli di energie possibili sono tutti quelli con m dispari ed n non multipli di 4, con probabilità se m pari se m dispari e (nmod 4) = P n,m = 3 se m dispari e (nmod 4) = 1 oppure (nmod 4) = 3 π 4 n m 64 se m dispari e (nmod 4) = π 4 n m

8 SOLUZIONI TEST a) Riportare le due relazioni di de Broglie: E = hν p = h λ oppure E = ω p = k b) Scrivere la relazione di indeterminazione di Heisenberg tra posizione x e quantità di moto p: ΔxΔp dove Δx e Δp sono le indeterminazioni definite come scarto quadratico medio b) Calcolare la lunghezza d onda della radiazione elettromagnetica emessa dall atomo d idrogeno nella transizione dallo stato ψ p a quello ψ 1s, ricordando che l energia dello stato fondamentale è E 1 = 13.6 ev: Usando E n = E n = 13.6 ev si ottiene λ = c n ν = hc ΔE = hc hc = = 4hc = 1 nm E E 1 E 1 / 4 E 1 3E 1 _ c) Come è definito il prodotto scalare tra due funzioni d onda ψ 1 (x) e ψ (x)? + ψ 1,ψ = ψ 1 * (x)ψ (x)dx _ d) Sia data una particella con funzione d onda ψ (x) = A per < x < L con L = 1 Å e ψ (x) = al di fuori dell intervallo (, L). Calcolare la probabilità che, eseguendo una misura di posizione, la particella venga trovata nell intervallo (, Å): La densità di probabilità è uniforme, per cui P( < x < Å) = ψ (x) dx = 1 = % e) Sia ψ (x) = 13L sin π x π x + 3isin la funzione d onda 1D al tempo t = di un elettrone in una buca di potenziale infinita compresa tra x = e x = L, relativamente al medesimo intervallo (al di fuori, la funzione d onda si annulla). Scrivete l espressione della funzione d onda ψ(x, t) valida anche per gli istanti di tempo t successivi: ψ (x,t) = 13L sin π x e ie 1 t/ + 3isin π x e ie t/ con E 1 = π e E ml = 4E 1 _ f) Scrivere l espressione analitica della funzione d onda di un sistema di due elettroni che occupano lo stato fondamentale n = 1 e il primo stato eccitato n = di una buca di potenziale rettangolare infinita, assumendo che abbiano lo stesso spin (o equivalentemente senza tenere conto dello spin):, x ) = 1 [ φ (x )φ (x ) φ (x )φ (x ) ] = 1 L sin π x 1 sin π x sin π x 1 sin π x _ g) Scrivere la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell atomo di fluoro F (Z = 9): SF = (1s) (s) (p) 5 Å

Prova scritta finale 19 giugno 2009

Prova scritta finale 19 giugno 2009 Prova scritta finale 9 giugno 9 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 8-9 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o di libri: NON AMMSSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta finale 16 giugno 2015

Prova scritta finale 16 giugno 2015 Prova scritta finale 6 giugno 5 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. orenzo Marrucci anno accademico 4-5 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta finale 15 giugno 2010

Prova scritta finale 15 giugno 2010 Prova scritta finale 15 giugno 1 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 9-1 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta finale 9 giugno 2005

Prova scritta finale 9 giugno 2005 Prova scritta finale 9 giugno 5 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. orenzo Marrucci anno accademico 4-5 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta finale 19 giugno 2014

Prova scritta finale 19 giugno 2014 Prova scritta finale 19 giugno 14 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 13-14 - Tempo a disposizione: 3 ore - Uso degli appunti o libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta finale 11 giugno 2004

Prova scritta finale 11 giugno 2004 Prova scritta finale giugno 4 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 3-4 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta finale 18 giugno 2003

Prova scritta finale 18 giugno 2003 Prova scritta finale 8 giugno 003 Laurea in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico 00-003 Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione: ore e 45 minuti

Dettagli

Prova scritta finale del 2002 Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci

Prova scritta finale del 2002 Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Prova scritta finale del Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. orenzo Marrucci Tempo a disposizione ore e 55 minuti 1) Un elettrone si trova in una buca di potenziale 1D come quella in figura, che

Dettagli

Fondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli)

Fondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli) Fondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli) 1 MOTO LINEARE E L OSCILLATORE ARMONICO 2 EQUAZIONE DI SCHRODINGER Equazione di Schrödinger: descrive il comportamento di un insieme di particelle:

Dettagli

1. Scrivere l equazione di Schrödinger unidimensionale per una particella di massa m con energia potenziale V (x) = mω2

1. Scrivere l equazione di Schrödinger unidimensionale per una particella di massa m con energia potenziale V (x) = mω2 1 Teoria Una particella di massa m = 1 g e carica elettrica q = 1 c viene accelerata per un tratto pari a l = m da una differenza di potenziale pari av = 0 volt Determinare la lunghezza d onda di De Broglie

Dettagli

Esercizio III Data una particella di massa m in due dimensioni soggetta a un potenziale armonico

Esercizio III Data una particella di massa m in due dimensioni soggetta a un potenziale armonico Tema d esame di Elementi di MQ. Prova I Dato il potenziale monodimensionale V (x) = 2 γδ(x), con γ positivo, trovare l energia dello stato fondamentale la probabilità che una particella nello stato fondamentale

Dettagli

1D, rappresentazione delle coordinate. Funzione normalizzata. Densità di probabilità. Osservabile F(X) Valore medio

1D, rappresentazione delle coordinate. Funzione normalizzata. Densità di probabilità. Osservabile F(X) Valore medio Stato quantistico Funzione d onda 1D, rappresentazione delle coordinate + ( x) dx 1 Densità di probabilità Funzione normalizzata Osservabile F(X) Valore medio Osservabili Operatori lineari hermitiani sullo

Dettagli

Prova scritta finale 15 giugno 2012

Prova scritta finale 15 giugno 2012 Prova scritta finale 15 giugno 1 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 11-1 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice:

Dettagli

Prova scritta intercorso 2 31/5/2002

Prova scritta intercorso 2 31/5/2002 Prova scritta intercorso 3/5/ Diploma in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione ora e 45 minuti ) Un elettrone

Dettagli

Esercizi di Fisica Matematica 3, anno , parte di meccanica hamiltoniana e quantistica

Esercizi di Fisica Matematica 3, anno , parte di meccanica hamiltoniana e quantistica Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 014-015, parte di meccanica hamiltoniana e quantistica Dario Bambusi 09.06.015 Abstract Gli esercizi dei compiti saranno varianti dei seguenti esercizi. Nei compiti

Dettagli

Elettronica dello Stato Solido Lezione 5: L equazione di. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

Elettronica dello Stato Solido Lezione 5: L equazione di. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano Elettronica dello Stato Solido Lezione 5: L equazione di Schrödinger Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it Outline Argomenti qualitativi per dedurre l equazione di Schrödinger

Dettagli

La struttura elettronica degli atomi

La struttura elettronica degli atomi 1 In unità atomiche: a 0 me 0,59A unità di lunghezza e H 7, ev a H=Hartree unità di energia L energia dell atomo di idrogeno nello stato fondamentale espresso in unità atomiche è: 4 0 me 1 e 1 E H 13,

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN OTTICA E OPTOMETRIA

CORSO DI LAUREA IN OTTICA E OPTOMETRIA CORSO DI LAUREA IN OTTICA E OPTOMETRIA Anno Accademico 007-008 CORSO di FISCA ED APPLICAZIONE DEI LASERS Questionario del Primo appello della Sessione Estiva NOME: COGNOME: MATRICOLA: VOTO: /30 COSTANTI

Dettagli

Esercizio I Sia data una particella libera in tre dimensioni descritta a t = 0 dalla funzione d onda

Esercizio I Sia data una particella libera in tre dimensioni descritta a t = 0 dalla funzione d onda Compito I di MQ. Febbraio 0 Sia data una particella libera in tre dimensioni descritta a t = 0 dalla funzione d onda ψ( x = f(r (r + ix con Hamiltoniana H = µbl y determinare la funzione d onda al tempo

Dettagli

Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it Outline Buca a pareti infinite Buca a pareti finite Oscillatore armonico

Dettagli

FISICA QUANTISTICA I PROVA SCRITTA DEL 20/9/ Si consideri il moto quantistico unidimensionale di una particella soggetta al potenziale

FISICA QUANTISTICA I PROVA SCRITTA DEL 20/9/ Si consideri il moto quantistico unidimensionale di una particella soggetta al potenziale FISICA QUANTISTICA I PROVA SCRITTA DEL 0/9/013 1. Si consideri il moto quantistico unidimensionale di una particella soggetta al potenziale V (x) = V 0 θ(x) αδ(x), V 0, α > 0, (1) con la funzione a gradino

Dettagli

8π c 3 ν2. dx x 2 /(e x 1) fotoni/m 2 /sec,

8π c 3 ν2. dx x 2 /(e x 1) fotoni/m 2 /sec, Corso di Introduzione alla Fisica Quantistica (f) Prova scritta 8 Giugno 7 - (tre ore a disposizione) Soluzione 1.) Una stazione radio trasmette emettendo una potenza di un kilowatt alla frequenza di 9

Dettagli

Università degli Studi dell Aquila Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Chimiche e dei Materiali Corso di Fisica della Materia Prof. L.

Università degli Studi dell Aquila Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Chimiche e dei Materiali Corso di Fisica della Materia Prof. L. Università degli Studi dell Aquila Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Chimiche e dei Materiali Corso di Fisica della Materia Prof. L. Lozzi Testi degli esercizi svolti in aula Corpo Nero 1. Il corpo

Dettagli

Compito di recupero del giorno 27/11/2015

Compito di recupero del giorno 27/11/2015 Compito di recupero del giorno 27/11/2015 Esercizio n. 1 Una particella di massa m e spin 1/2 si muove in due dimensioni nel piano xy ed è soggetta alla seguente Hamiltoniana: H = 1 2m (p2 x + p 2 y) +

Dettagli

Equazione di Schrödinger

Equazione di Schrödinger Equazione di Schrödinger dualità onda- particella particella libera come onda piana de Broglie Einstein NB - 1 derivata temporale: Equazione di Schrödinger derivata 2^ spaziale: 2 Equazione di Schrödinger

Dettagli

mvr = n h e 2 r = m v 2 e m r v = La configurazione elettronica r = e 2 m v 2 (1) Quantizzazione del momento angolare (2) 4 πε.

mvr = n h e 2 r = m v 2 e m r v = La configurazione elettronica r = e 2 m v 2 (1) Quantizzazione del momento angolare (2) 4 πε. La configurazione elettronica Modello atomico di Bohr-Sommerfeld (1913) Legge fondamentale della meccanica classica F = m a. F Coulomb = 1 4 πε. q q ' F r centrifuga = m v r ε =8.85*10-1 Fm-1 (costante

Dettagli

Equazioni differenziali - Applicazioni

Equazioni differenziali - Applicazioni Equazioni differenziali - Applicazioni Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova Equazione di Schrödinger 1D - 1 Equazione di Schrödinger i ψ(x, t) = Ĥ ψ(x, t) t al tempo t = 0 la funzione è definita

Dettagli

Esame scritto di fisica moderna

Esame scritto di fisica moderna Esame scritto di fisica moderna Traccia di soluzione 4 luglio 01 Esercizio 1. hamiltoniana data è quella di una buca di potenziale infinita, le cui autofunzioni sono date da due famiglie, dispari ψ n x

Dettagli

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 17 Luglio Traccia di soluzione., e α una fase globale inosservabile. Per il secondo sistema

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 17 Luglio Traccia di soluzione., e α una fase globale inosservabile. Per il secondo sistema ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA 7 Luglio 04 Traccia di soluzione ) Per il primo sistema la funzione d onda è x φ = x k = φ(x) = Ce iα e ik x () dove con k si è indicato l-autostato dell impulso, C è una

Dettagli

Meccanica quantistica (5)

Meccanica quantistica (5) Meccanica quantistica (5) 0/7/14 1-MQ-5.doc 0 Oscillatore armonico Se una massa è sottoposta ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento da un posizione di equilibrio F = kx il potenziale (

Dettagli

Modelli atomici Modello atomico di Rutheford Per t s d u i diare la t s rutt ttura t a omica Ruth th f or (

Modelli atomici Modello atomico di Rutheford Per t s d u i diare la t s rutt ttura t a omica Ruth th f or ( Modello atomico di Rutheford Per studiare la struttura tt atomica Rutherford (1871-1937) 1937) nel 1910 bombardòb una lamina d oro con particelle a (cioè atomi di elio) Rutherford suppose che gli atomi

Dettagli

p e c = ev Å

p e c = ev Å Corso di Introduzione alla Fisica Quantistica (f) Soluzioni Esercizi: Giugno 006 * Quale la lunghezza d onda di de Broglie di un elettrone che ha energia cinetica E 1 = KeV e massa a riposo m 0 = 9.11

Dettagli

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA FISICA MODERNA anno accademico 007-008 () Sia dato un sistema che può trovarsi in tre stati esclusivi,, 3, e si supponga che esso si trovi nello stato

Dettagli

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l altro, l inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell autore

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l altro, l inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell autore Particelle della presente identiche. opera. Principio di Pauli. 1 Particelle identiche: sommario Finora: proprietà di particella singola. Volendo ottenere il comportamento di più particelle, è necessario

Dettagli

Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio

Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio Descrizione del metodo Il metodo detto variazionale è un metodo approssimato che si usa per ottenere una stima dell energia dello stato fondamentale

Dettagli

- Dati sperimentali: interazione luce / materia spettri caratteristici

- Dati sperimentali: interazione luce / materia spettri caratteristici - Thomson: evidenza sperimentale per elettrone misura e/m e - Millikan: misura la carica dell elettrone e ne ricava la massa e = 1,60 x 10-19 C - Rutherford: stima le dimensioni atomiche struttura vuota

Dettagli

Esercizio III Data a tempo t = 0 una particella di spin uno con Hamiltoniana

Esercizio III Data a tempo t = 0 una particella di spin uno con Hamiltoniana Compitino I di MQ. Dicembre 04 Risolvere due dei seguenti esercizi (tempo: due ore Esercizio I Siano date due particelle di massa m interagenti col potenziale V (x, x = mω ( 5x + 5x + 8x x trovare i livelli

Dettagli

Comune ordine di riempimento degli orbitali di un atomo

Comune ordine di riempimento degli orbitali di un atomo Comune ordine di riempimento degli orbitali di un atomo Le energie relative sono diverse per differenti elementi ma si possono notare le seguenti caratteristiche: (1) La maggior differenza di energia si

Dettagli

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA FISICA MODERNA anno accademico 2011-2012 Si consideri un sistema che può trovarsi in uno di tre stati esclusivi 1, 2, 3, e si supponga che esso si trovi

Dettagli

Esercitazione del 6 Dicembre 2011

Esercitazione del 6 Dicembre 2011 Facoltà di Ingegneria dell Università degli Studi di Firenze CdS in Ingegneria per l Ambiente, le Risorse ed il Territorio Complementi di Analisi Matematica A.A. 11/1 Esercitazione del 6 Dicembre 11 Attenzione:

Dettagli

CRISI DELLA FISICA CLASSICA e FISICA DEI QUANTI Esercitazione

CRISI DELLA FISICA CLASSICA e FISICA DEI QUANTI Esercitazione ! ISTITUTO LOMBARDO ACCADEMIA DI SCIENZE E LETTERE Ciclo formativo per Insegnanti di Scuola Superiore - anno scolastico 2017-2018 Prima lezione - Milano, 10 ottobre 2017 CRISI DELLA FISICA CLASSICA e FISICA

Dettagli

A Z. L'atomo Entità subatomiche Carica elettrica Massa (u.m.a) Protone Neutrone elettrone. +1e e.

A Z. L'atomo Entità subatomiche Carica elettrica Massa (u.m.a) Protone Neutrone elettrone. +1e e. L'atomo Entità subatomiche Carica elettrica Massa (u.m.a) Protone Neutrone elettrone +1e 0-1e e = Carica elettrica elementare 1.60 10-19 u.m.a.= Unità di Massa Atomica 1.6605 10-4 Il Nuclide A Z Nu Coulomb

Dettagli

raggio atomico: raggio del nucleo: cm cm

raggio atomico: raggio del nucleo: cm cm raggio atomico: raggio del nucleo: 10 10 8 1 cm cm Modello di Rutherford: contrasto con la fisica classica perché prima o poi l elettrone avrebbe dovuto cadere sul nucleo irradiando Energia. Le leggi valide

Dettagli

La buca di potenziale di. e altri problemi di trasmissione e riflessione

La buca di potenziale di. e altri problemi di trasmissione e riflessione La buca di potenziale di altezza della presente finita opera. e altri problemi di trasmissione e riflessione 1 Buca di potenziale finita: caso classico v Non è permessa, in particolare, la riproduzione

Dettagli

Effetto Stark (1) H 0 nlm > = E n nlm > (4) Ricordiamo che. E n = me4 2 h 2 n 2 = E 1

Effetto Stark (1) H 0 nlm > = E n nlm > (4) Ricordiamo che. E n = me4 2 h 2 n 2 = E 1 Effetto Stark Studiamo l equazione di Schrödinger per l atomo di idrogeno in presenza di un campo elettrico costante e diretto lungo l asse z, E = E k. La hamiltoniana di Schrödinger per l atomo di idrogeno

Dettagli

DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE. 1 exp(i k x) + f

DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE. 1 exp(i k x) + f 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE 0/ DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE Nel caso di diffusione da un potenziale centrale V x) = V r), l ampiezza di diffusione f Ω) = f x) che specifica la dipendenza

Dettagli

Esercizi di Fisica Matematica 3, anno

Esercizi di Fisica Matematica 3, anno Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 01-013 Dario Bambusi, Andrea Carati 5.06.013 Abstract Tra i seguenti esercizi verranno scelti gli esercizi dell esame di Fisica Matematica 3. 1 Meccanica Hamiltoniana

Dettagli

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. PRIMA PARTE anno accademico

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. PRIMA PARTE anno accademico PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA PRIMA PARTE anno accademico 015-016 (1) Si consideri una particella che può colpire uno schermo diviso in tre zone, indicate dai ket 1,, 3, e si supponga

Dettagli

Metalli come gas di elettroni liberi

Metalli come gas di elettroni liberi Metalli come gas di elettroni liberi I metalli sono caratterizzati da elevata conducibilità elettrica e termica. La conducibilità elettrica in particolare (o il suo inverso, la resistività) è una delle

Dettagli

Elettronica dello Stato Solido Lezione 5: L equazione di Schrödinger. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

Elettronica dello Stato Solido Lezione 5: L equazione di Schrödinger. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano Elettronica dello Stato Solido Lezione 5: L equazione di Schrödinger Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 05 Outline Argomenti qualitativi

Dettagli

L equazione di Schrödinger unidimensionale: soluzione analitica e numerica

L equazione di Schrödinger unidimensionale: soluzione analitica e numerica Chapter 3 L equazione di Schrödinger unidimensionale: soluzione analitica e numerica In questo capitolo verrà descritta una metodologia per risolvere sia analiticamente che numericamente l equazione di

Dettagli

L equazione di Schrödinger

L equazione di Schrödinger 1 Forma dell equazione L equazione di Schrödinger Postulato - ψ r, t 0 ) definisce completamente lo stato dinamico del sistema al tempo t 0. L equazione che regola l evoluzione di ψ r, t) deve essere:

Dettagli

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 22 giugno Traccia di soluzione

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 22 giugno Traccia di soluzione ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA giugno 08 Traccia di soluzione ) Ponendo α = /σ ), il valore medio della posizione è + ψ ˆx ψ = dx ψ ˆx x x ψ = dx ψ x)xψx) = α + dx x e αx x 0), ) e con un semplice cambio

Dettagli

Introduzione alla meccanica quantistica. Vincenzo Barone

Introduzione alla meccanica quantistica. Vincenzo Barone Accademia delle Scienze di Torino 9 novembre 2017 Introduzione alla meccanica quantistica Vincenzo Barone barone@to.infn.it Parte I: Le basi della meccanica quantistica (questioni didattiche) Parte II:

Dettagli

Esame Scritto di Meccanica Quantistica Traccia di soluzione

Esame Scritto di Meccanica Quantistica Traccia di soluzione Esame Scritto di Meccanica Quantistica Traccia di soluzione 7 Giugno 7. Per esprimere la hamiltoniana data H = P 4m + p m + mω X + x ) in termini di x e x si esegue il cambiamento di coordinate ) X = x

Dettagli

Lavoisier (1770) Legge della conservazione della massa in una trasf. chimica es. C + O 2 CO 2 Dalton (1808) Teoria atomica

Lavoisier (1770) Legge della conservazione della massa in una trasf. chimica es. C + O 2 CO 2 Dalton (1808) Teoria atomica ATOMO Democrito IV secolo A.C. Lavoisier (1770) Legge della conservazione della massa in una trasf. chimica es. C + O 2 CO 2 Dalton (1808) Teoria atomica E=mc 2 Avogadro (1811) Volumi uguali di gas diversi

Dettagli

Rappresentazione dell atomo. Rutherford (1911) : modello planetario con il nucleo al centro e gli elettroni che ruotano.

Rappresentazione dell atomo. Rutherford (1911) : modello planetario con il nucleo al centro e gli elettroni che ruotano. Rappresentazione dell atomo Rutherford (1911) : modello planetario con il nucleo al centro e gli elettroni che ruotano. Informazioni importanti circa la dimensione dell atomo e la distribuzione della massa

Dettagli

Generalità delle onde elettromagnetiche

Generalità delle onde elettromagnetiche Generalità delle onde elettromagnetiche Ampiezza massima: E max (B max ) Lunghezza d onda: (m) E max (B max ) Periodo: (s) Frequenza: = 1 (s-1 ) Numero d onda: = 1 (m-1 ) = v Velocità della luce nel vuoto

Dettagli

Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano Elettronica dello Stato Solido Lezione 7: Particelle confinate Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 07 Outline Buca a pareti infinite

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Giugno 6 Cognome: Nome: Matricola: Es.: 9 punti Es.: 9 punti Es.: 6 punti Es.4: 9 punti Totale. Si consideri

Dettagli

Fisica Moderna: Corso di Laurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/06/2017

Fisica Moderna: Corso di Laurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/06/2017 Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/6/17 Problema 1 Una particella di spin 1/ è soggetta ad un campo magnetico uniforme B = B ẑ diretto lungo l asse delle z. operatore

Dettagli

1 3 STRUTTURA ATOMICA

1 3 STRUTTURA ATOMICA 1 3 STRUTTURA ATOMICA COME SI SPIEGA LA STRUTTURA DELL ATOMO? Secondo il modello atomico di Rutherford e sulla base della fisica classica, gli elettroni dovrebbero collassare sul nucleo per effetto delle

Dettagli

Fisica Quantistica III Esercizi Natale 2009

Fisica Quantistica III Esercizi Natale 2009 Fisica Quantistica III Esercizi Natale 009 Philip G. Ratcliffe (philip.ratcliffe@uninsubria.it) Dipartimento di Fisica e Matematica Università degli Studi dell Insubria in Como via Valleggio 11, 100 Como

Dettagli

Esame di Fisica Matematica 2, a.a (5/6/2012)

Esame di Fisica Matematica 2, a.a (5/6/2012) Esame di Fisica Matematica 2, a.a. 2-22 (5/6/22) Tempo a disposizione: TRE ORE. Svolgere tutti gli esercizi. Scrivere chiaramente nome, cognome e numero di matricola. Non e consentito l uso di libri, appunti

Dettagli

Si arrivò a dimostrare l esistenza di una forma elementare della materia (atomo) solo nel 1803 (John Dalton)

Si arrivò a dimostrare l esistenza di una forma elementare della materia (atomo) solo nel 1803 (John Dalton) Atomi 16 Si arrivò a dimostrare l esistenza di una forma elementare della materia (atomo) solo nel 1803 (John Dalton) 17 Teoria atomica di Dalton Si basa sui seguenti postulati: 1. La materia è formata

Dettagli

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l altro, l inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell autore

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l altro, l inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell autore Indeterminazione Finora si sono considerate le proprietà ondulatorie, lavorando sulla fase di una (per ora non meglio specificata) funzione. Si sono ricavate o ipotizzate relazioni per: - lunghezza d onda

Dettagli

Esame di Fisica Matematica 2, a.a (8/9/2014)

Esame di Fisica Matematica 2, a.a (8/9/2014) Esame di Fisica Matematica 2, a.a. 213-214 (8/9/214) Tempo a disposizione: DUE ORE. Svolgere tutti gli esercizi, che hanno lo stesso nel determinare il voto finale. Scrivere chiaramente e a stampatello

Dettagli

DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE. 1 exp(i k x) + f

DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE. 1 exp(i k x) + f 7/4 URTO SU UN POTENZIALE CENTRALE /2 DIFFUSIONE DA UN POTENZIALE CENTRALE Nel caso di diffusione da un potenziale centrale V x) = V r), l ampiezza di diffusione f Ω) = f x) che specifica la dipendenza

Dettagli

(d) mostrare che l energia meccanica si conserva; (e) utilizzando la conservazione dell energia calcolare l altezza massima dal suolo;

(d) mostrare che l energia meccanica si conserva; (e) utilizzando la conservazione dell energia calcolare l altezza massima dal suolo; 1 Esercizio Un sasso di massa m.5 Kg viene lanciato dalla cima di una torre alta h 2 m con velocità iniziale di modulo v 12 m/s, ad un angolo ϕ 6 o rispetto all orizzontale. La torre si trova in prossimità

Dettagli

L ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA. (Plank Einstein)

L ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA. (Plank Einstein) L ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA POSTULATO DI DE BROGLIÈ Se alla luce, che è un fenomeno ondulatorio, sono associate anche le caratteristiche corpuscolari della materia

Dettagli

Corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A Chimica Fisica II. Esame scritto del 25 Febbraio P = i.

Corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A Chimica Fisica II. Esame scritto del 25 Febbraio P = i. 1 Corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A. 212-213 Chimica Fisica II Esame scritto del 25 Febbraio 213 Quesiti d esame: 1. Definire gli operatori componente del momento cinetico P x e del

Dettagli

Teoria Atomica Moderna. Chimica generale ed Inorganica: Chimica Generale. sorgenti di emissione di luce. E = hν. νλ = c. E = mc 2

Teoria Atomica Moderna. Chimica generale ed Inorganica: Chimica Generale. sorgenti di emissione di luce. E = hν. νλ = c. E = mc 2 sorgenti di emissione di luce E = hν νλ = c E = mc 2 FIGURA 9-9 Spettro atomico, o a righe, dell elio Spettri Atomici: emissione, assorbimento FIGURA 9-10 La serie di Balmer per gli atomi di idrogeno

Dettagli

Struttura Elettronica degli Atomi Meccanica quantistica

Struttura Elettronica degli Atomi Meccanica quantistica Prof. A. Martinelli Struttura Elettronica degli Atomi Meccanica quantistica Dipartimento di Farmacia 1 Il comportamento ondulatorio della materia 2 1 Il comportamento ondulatorio della materia La diffrazione

Dettagli

LE ORIGINI DELLA TEORIA QUANTISTICA

LE ORIGINI DELLA TEORIA QUANTISTICA LE ORIGINI DELLA TEORIA QUANTISTICA LEZIONE N.4 CONDUZIONE NEI SOLIDI L. Palumbo - Fisica Moderna - 2017-18 1 MODELLO ATOMICO DI BOHR Sono ammesse solo le orbite stazionarie, l energia può essere assorbita

Dettagli

Soluzione i) possiamo cotruire una analoga tabella in funzione della frequenza ricordando che. Hz)

Soluzione i) possiamo cotruire una analoga tabella in funzione della frequenza ricordando che. Hz) Corso di Introduzione alla Fisica Quantistica (f) Soluzioni Prova scritta 19 Giugno 2006 1.) In tabella è riportato il valore del potenziale di arresto (V A ) per diverse lunghezze d onda incidenti su

Dettagli

1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata)

1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata) 1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata) Se la parete di energia potenziale non ha altezza infinita e E < V, la funzione d onda non va rapidamente a zero all interno della parete stessa. Di conseguenza,

Dettagli

EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER STAZIONARIA: Buche di Potenziale

EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER STAZIONARIA: Buche di Potenziale Capitolo 6 EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER STAZIONARIA: Buche di Potenziale Consideriamo lo studio di stati stazionari di sistemi elementari. Il sistema più semplice è quello di una particella libera, la cui

Dettagli

Fisica Generale T2 - Prof. Mauro Villa CdL in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 11 Gennaio 2018 Scritto - Onde

Fisica Generale T2 - Prof. Mauro Villa CdL in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 11 Gennaio 2018 Scritto - Onde Fisica Generale T - Prof. Mauro Villa CdL in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 11 Gennaio 018 Scritto - Onde Esercizi: 1) Un onda armonica viaggia lungo una corda, lunga L = 3.7 m e di massa m

Dettagli

La Teoria dell Atomo di Bohr Modello di Bohr dell atomo di idrogeno:

La Teoria dell Atomo di Bohr Modello di Bohr dell atomo di idrogeno: La Teoria dell Atomo di Bohr Modello di Bohr dell atomo di idrogeno: Vedi documento Atomo di Bohr.pdf sul materiale didattico per la derivazione di queste equazioni Livelli Energetici dell Atomo di Idrogeno

Dettagli

La buca di potenziale di altezza infinita.

La buca di potenziale di altezza infinita. La buca di potenziale di altezza infinita. Un caso semplice, ma interessante per le implicazioni, anche intuitive, che ne derivano, è quello della particella quantistica in una buca di potenziale. Consideriamo

Dettagli

Prova scritta di metà corso martedì 7 aprile 2009

Prova scritta di metà corso martedì 7 aprile 2009 Prova scritta di metà corso martedì 7 aprile 29 Laurea in Scienza e ngegneria dei Materiali anno accademico 28-29 stituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione: 1 ora

Dettagli

Le Caratteristiche della Luce

Le Caratteristiche della Luce 7. L Atomo Le Caratteristiche della Luce Quanti e Fotoni Spettri Atomici e Livelli Energetici L Atomo di Bohr I Modelli dell Atomo - Orbitali atomici - I numeri quantici e gli orbitali atomici - Lo spin

Dettagli

(Alcune) APPLICAZIONI di MECCANICA QUANTISTICA

(Alcune) APPLICAZIONI di MECCANICA QUANTISTICA Università degli Studi di Cagliari Facoltà di Ingegneria e Architettura Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica anno accademico 2016/2017 (Alcune) APPLICAZIONI di MECCANICA QUANTISTICA

Dettagli

L atomo di idrogeno (1) H T = p2 1 2m 1. + p2 2 2m 2. + V ( r 1 r 2 ) (2) Definiamo le nuove variabili: 1. La massa totale M M = m 1 + m 2 (3)

L atomo di idrogeno (1) H T = p2 1 2m 1. + p2 2 2m 2. + V ( r 1 r 2 ) (2) Definiamo le nuove variabili: 1. La massa totale M M = m 1 + m 2 (3) L atomo di idrogeno Il problema dell atomo di idrogeno é un problema esattamente risolubili ed i suoi risultati possono essere estesi agli atomi idrogenoidi, in cui solo c é solo un elettrone sottoposto

Dettagli

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA FISICA MODERNA anno accademico 2013-2014 (1) Si consideri un sistema che può trovarsi in uno di tre stati esclusivi 1, 2, 3, e si supponga che esso si

Dettagli

Note sulla Buca/Barriera di Potenziale Introduzione alla Meccanica Quantistica A.A Prof. G. Martinelli

Note sulla Buca/Barriera di Potenziale Introduzione alla Meccanica Quantistica A.A Prof. G. Martinelli Note sulla Buca/Barriera di Potenziale Introduzione alla Meccanica Quantistica A.A. 2004 2005 Prof. G. Martinelli Soluzione dell Equazione di Schrödinger Sia data una particella di massa m che si muove

Dettagli

n(z) = n(0) e m gz/k B T ; (1)

n(z) = n(0) e m gz/k B T ; (1) Corso di Introduzione alla Fisica Quantistica (f) Prova scritta 4 Luglio 008 - (tre ore a disposizione) [sufficienza con punti 8 circa di cui almeno 4 dagli esercizi nn. 3 e/o 4] [i bonus possono essere

Dettagli

dualismo onda corpuscolo

dualismo onda corpuscolo dualismo onda corpuscolo Gli effetti che abbiamo visto finora sono manifestazioni della natura corpuscolare della radiazione elettromagnetica (e quindi della luce) Naturalmente la natura corpuscolare non

Dettagli

, con x =, y. 3. Si disegni il grafico delle curve di livello sul piano delle fasi (x, ẋ) al variare di E e si discuta la natura qualitativa del moto.

, con x =, y. 3. Si disegni il grafico delle curve di livello sul piano delle fasi (x, ẋ) al variare di E e si discuta la natura qualitativa del moto. 7 o tutorato - MA - Prova Pre-Esonero - 8/4/5 Esercizio Una massa puntiforme m è vincolata a muoversi nel piano verticale xy (con x l asse orizzontale e y l asse verticale orientato verso l alto), su una

Dettagli

Esercizio: pendoli accoppiati. Soluzione

Esercizio: pendoli accoppiati. Soluzione Esercizio: pendoli accoppiati Si consideri un sistema di due pendoli identici, con punti di sospensione posti alla stessa quota in un piano verticale. I due pendoli sono collegati da una molla di costante

Dettagli

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. MECCANICA QUANTISTICA anno accademico

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. MECCANICA QUANTISTICA anno accademico PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA MECCANICA QUANTISTICA anno accademico 2012-2013 (1) Per un sistema n-dimensionale si scrivano: (a) gli elementi di matrice dell operatore posizione x

Dettagli

Capitolo 8 La struttura dell atomo

Capitolo 8 La struttura dell atomo Capitolo 8 La struttura dell atomo 1. La doppia natura della luce 2. La «luce» degli atomi 3. L atomo di Bohr 4. La doppia natura dell elettrone 5. L elettrone e la meccanica quantistica 6. L equazione

Dettagli

Esame del giorno 17 Febbraio Scrivere chiaramente e in stampatello in testa all elaborato:

Esame del giorno 17 Febbraio Scrivere chiaramente e in stampatello in testa all elaborato: Corso di Biomatematica (G. Gaeta) Esame del giorno 17 Febbraio 2016 Scrivere chiaramente e in stampatello in testa all elaborato: Nome, Cognome, numero di matricola. Tempo a disposizione: DUE ORE. Non

Dettagli

Programma della I parte

Programma della I parte Programma della I parte Cenni alla meccanica quantistica: il modello dell atomo Dall atomo ai cristalli: statistica di Fermi-Dirac il modello a bande di energia popolazione delle bande livello di Fermi

Dettagli

ATOMO. Legge della conservazione della massa Legge delle proporzioni definite Dalton

ATOMO. Legge della conservazione della massa Legge delle proporzioni definite Dalton Democrito IV secolo A.C. ATOMO Lavoisier Proust Legge della conservazione della massa Legge delle proporzioni definite Dalton (808) Teoria atomica Gay-Lussac volumi di gas reagiscono secondo rapporti interi

Dettagli

FISICA GENERALE I - 10/12 CFU NP II appello di Febbraio A.A Cognome Nome n. matr.

FISICA GENERALE I - 10/12 CFU NP II appello di Febbraio A.A Cognome Nome n. matr. FISICA GENERAE I - / CFU NP II appello di Febbraio A.A. - 5..4 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti crediti crediti Esercizio n. Due masse puntiformi scivolano senza attrito su un

Dettagli

Fisica 2 per biotecnologie: Prova scritta 9 Settembre 2014

Fisica 2 per biotecnologie: Prova scritta 9 Settembre 2014 Fisica 2 per biotecnologie: Prova scritta 9 Settembre 2014 Scrivere immediatamente, ED IN EVIDENZA, sui due fogli protocollo consegnati (ed eventuali altri fogli richiesti) la seguente tabella: NOME :...

Dettagli

Compito di MQ. Gennaio Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore)

Compito di MQ. Gennaio Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore) Compito di MQ. Gennaio 0 Vecchio Ordinamento o Applicativo: Risolvere gli esercizi I e II (tempo: due ore Siano date due particelle (non identiche di spin /. A t =0lospindellaprimapunti nella direzione

Dettagli