Prova scritta finale 19 giugno 2013
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- Giorgio Belloni
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1 Prova scritta finale 19 giugno 13 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci anno accademico 1-13 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice: AMMESSO NOTA BENE: gli smartphone devono essere tenuti spenti per tutto il corso della prova, pena l annullamento della prova Nota: per lasciare un margine di recupero, il totale dei punti a disposizione è fissato a 34 invece che a 3. 1) Un elettrone di energia E = 3 ev viaggia nella direzione positiva dell asse x (siamo in 1D) in una regione in cui l energia potenziale è nulla (regione I della figura 1). Calcolare (a) la lunghezza d onda di de Broglie associata all elettrone finché si trova in tale regione. Lungo il suo percorso, l elettrone trova a un certo punto una barriera di potenziale rettangolare di altezza U = E (ossia esattamente uguale all energia dell elettrone) e lunghezza L = 3 Å (=.3 nm). Determinare: (b) l espressione della funzione d onda nelle tre regioni I, II e III; (c) le probabilità che l elettrone venga trasmesso oltre la barriera oppure riflesso. Considerare infine il caso in cui gli elettroni incidenti sulla barriera siano due, anziché uno solo, entrambi di energia E = 3 ev, aventi lo stesso stato di spin (per esempio con numero quantico m s =+1/) e contro-propaganti, ossia con un elettrone che proviene dalla regione I e l altro dalla regione III della figura 1. In questo caso, considerando gli elettroni come non interagenti, calcolare (d) la probabilità che alla fine regione I del processo i due elettroni siano uno nella regione I e l altro nella regione III, entrambi che si allontanano dalla barriera (questo stato finale può risultare dal fatto che entrambi gli elettroni siano trasmessi ovvero entrambi riflessi) e la probabilità che invece uno degli elettroni sia trasmesso e l altro riflesso (Nota per quest ultima domanda: fate attenzione al fatto che i due elettroni sono particelle identiche). [punti: a = ; b = ; c=; d=3]. E U(x) U L Figura 1 regione II regione III x ) Considerate un sistema quantistico in due dimensioni (D) dato da una buca di energia potenziale infinita e di forma rettangolare di lati a = Å e b= a (un recinto quantico rettangolare), come rappresentato in figura a. Calcolare (a) l espressione algebrica dei livelli possibili di energia e (b) il valore numerico dell energia di punto zero espressa in ev. Calcolare quindi (c) la configurazione elettronica e la corrispondente energia se nella buca ci sono 9 elettroni in tutto, nello stato fondamentale (tenendo conto anche dei due valori possibili del numero quantico di spin degli elettroni). Infine considerate una situazione in cui di elettrone ce n è uno solo, che si trova ad un certo istante nello stato quantistico descritto dalla seguente funzione d onda (corrispondente alla regione tratteggiata in rosso nella figura b): N per < x < a / e < y < b ψ (x, y) = per x > a / fuori dalla buca In questa situazione, calcolare (d) i valori che possono risultare da una misura di energia e le corrispondenti probabilità (non è necessario dare valori numerici, solo le espressioni algebriche). [punti: a = ; b = ; c=; d=3] y U = b U = a x Figura a domande (a) (c) y x a/ Figura b domanda (d) 3) In non più di una pagina trattate uno dei seguenti due argomenti, a scelta (MA NON PIÙ DI UNO) [punti 8]: a. Enunciate l interpretazione probabilistica (o statistica) della funzione d onda, chiarendo anche la definizione ed il significato dei concetti statistici utilizzati (come ad esempio la densità di probabilità o altro). b. Discutere le proprietà quantistiche del momento angolare di una particella, dimostrandone in particolare la quantizzazione di una componente. Carica dell elettrone e = 1, C Costante di Planck ridotta ħ = 1, J s Massa dell elettrone m = 9, kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...
2 seconda pagina - Prova scritta finale 19/6/13 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci 4) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME e NOME: MATRICOLA: a) Riportare le due relazioni di de Broglie: b) Scrivere la relazione di indeterminazione di Heisenberg tra posizione x e quantità di moto p: a) Calcolare la lunghezza d onda della radiazione elettromagnetica emessa dall atomo d idrogeno nella transizione dallo stato ψ p a quello ψ 1s, ricordando che l energia dello stato fondamentale è E 1 = 13.6 ev: _ c) Come è definito il prodotto scalare tra due funzioni d onda ψ 1 (x) e ψ (x)? _ d) Sia data una particella con funzione d onda ψ (x) = A per < x < L con L = 1 Å e ψ (x) = al di fuori dell intervallo (, L). Calcolare la probabilità che, eseguendo una misura di posizione, la particella venga trovata nell intervallo (, Å): e) Sia ψ (x) = 13L sin π x π x + 3isin la funzione d onda 1D al tempo t = di un elettrone in una buca di potenziale infinita compresa tra x = e x = L, relativamente al medesimo intervallo (al di fuori, la funzione d onda si annulla). Scrivete l espressione della funzione d onda ψ(x, t) valida anche per gli istanti di tempo t successivi: _ f) Scrivere l espressione analitica della funzione d onda di un sistema di due elettroni che occupano lo stato fondamentale n = 1 e il primo stato eccitato n = di una buca di potenziale rettangolare infinita, assumendo che abbiano lo stesso spin (o equivalentemente senza tenere conto dello spin): _ g) Scrivere la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell atomo di fluoro F (Z = 9):
3 Soluzioni degli esercizi Esercizio 1 Domanda (a). Nella regione I l energia potenziale è nulla, per cui l energia è interamente cinetica, ossia si ha E = 1 mv = p m p = me Combinando questa espressione con la relazione di de Broglie p = h/λ si ottiene la risposta a: λ = h p = h me = m = 7.1 Å A questo stesso risultato si può anche pervenire risolvendo l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo, determinando così il numero d onde k della funzione d onda nella regione I (si veda risposta successiva) e quindi usando la relazione tra numero d onde e lunghezza d onda λ = π/k. Domanda (b). Per rispondere a questa domanda è necessario risolvere l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo nelle tre regioni. Nella regione I, dove U(x) =, l equazione di S. si riduce alla seguente: d φ = Eφ (1) m dx che per E > (come nel caso nostro) ha come possibili soluzioni le onde armoniche φ(x) = Ne ±ikx () con k = 1 me (3) (che poi corrisponde alla risposta (a), in base alla relazione k = π/λ). Entrambe queste soluzioni sono valide fisicamente perché non divergono, per cui in generale dobbiamo considerare la funzione d onda data dalla combinazione lineare delle due, ossia φ(x) = φ I (x) = Ae ikx + Be ikx per x < Nella regione II, dove U(x) = E, l equazione di S. si riduce invece alla seguente equazione: d φ m dx + Eφ = Eφ d φ dx = che ammette la seguente soluzione generale φ(x) = φ II (x) = Cx + D per < x < L (4) Dato che la regione II si estende solo all intervallo limitato (, L) della coordinata x, entrambi i termini della (4) non divergono (il primo divergerebbe se l intervallo fosse infinito) e vanno perciò considerati fisicamente validi.
4 Infine, nella regione III ritroviamo la stessa situazione della regione I, quindi in generale la funzione d onda sarà la stessa, eccetto per i coefficienti della combinazione lineare, ossia φ(x) = φ III (x) = Ee ikx + Fe ikx per x > L Tuttavia la condizione iniziale data nel testo del problema che l elettrone proviene inizialmente da sinistra viaggiando nella regione I ci fa concludere che nella regione III ci possa essere solo un onda trasmessa viaggiante nel verso positivo dell asse x, per cui l onda viaggiante verso destra nella regione III si deve annullare, ossia F = Raccogliendo insieme le espressioni già scritte abbiamo la seguente espressione della funzione d onda φ(x): Risposta b: φ(x) = Domanda (c). φ I (x) = Ae ikx + Be ikx per x < φ II (x) = Cx + D per < x < L φ III (x) = Ee ikx per x > L (5) Per trovare le probabilità di trasmissione e riflessione dobbiamo calcolare i valori (relativi all ampiezza A dell onda incidente) dei coefficienti che appaiono nella (5). Questo si ottiene imponendo le due condizioni di raccordo per ciascuno dei punti in cui il potenziale è discontinuo, ossia x = e x = L: φ I () = φ II () A + B = D ( ) = C φ I () = φ II () ik A B φ II (L) = φ III (L) CL + D = Ee ikl φ II (L) = φ III (L) C = ikee ikl Risolvendo le 4 equazioni per sostituzione, otteniamo in particolare le ampiezze dell onda trasmessa E e dell onda riflessa B: E = e ikl ikl A B = ikl ikl A (6) dato che le velocità di gruppo nelle regioni I e III sono uguali, le probabilità di trasmissione e riflessione si deducono semplicemente dal modulo quadro dei coefficienti: risposta c: P T = E A P R = B A = e ikl = ikl = ikl = ikl 4 ( ) ( kl) ( ) 4 + kl 4 + kl =.36 = 36.% =.638 = 63.8% Domanda (d). Si può rispondere a questa domanda con un ragionamento intuitivo molto semplice oppure con uno formale piuttosto laborioso. Iniziamo con quello intuitivo (che sarebbe stato comunque sufficiente per una valutazione piena di questa risposta). Se i due elettroni sono uno riflesso e l altro trasmesso, al termine del processo si ritrovano entrambi nello stesso pacchetto d onda, dalla stessa parte della barriera. Dato che i due elettroni sono fermioni ed hanno anche lo stesso spin, questa situazione finale è proibita dal principio di esclusione di Pauli e quindi non può
5 accadere, ossia deve necessariamente avere probabilità. Gli stati finali che si ottengono dopo che entrambi gli elettroni sono trasmessi oppure entrambi riflessi invece coincidono, per cui si ha un unica possibile situazione finale in cui un elettrone si trova in un pacchetto d onde che sta allontanandosi dalla barriera nella regione I ed un altro in un pacchetto che sta allontanandosi dalla barriera nella regione III. Dato che questa è l unica situazione finale possibile, deve avere necessariamente una probabilità del 1%. Quindi la risposta alla domanda è la seguente: risposta d: P(un elettrone in I e l altro in III) = 1% ; P(un elettrone trasmesso e l altro riflesso) = Per rispondere in modo più formale (cosa non indispensabile ai fini della valutazione), dobbiamo costruire la funzione d onda dei due elettroni a partire da quelle di singolo elettrone. La funzione d onda di un elettrone che incide sulla barriera da sinistra, ossia dalla regione I, è quella già riportata in (5). A noi però interessa il pacchetto d onde che si forma a partire da questa funzione d onda dopo che la collisione è già terminata. In questo caso sopravvivono solo l onda riflessa (con coefficiente B) e quella trasmessa al di là del gradino (con coefficiente E). Quindi la funzione d onda dell elettrone dopo la collisione può essere semplificata nella seguente espressione (dove abbiamo eliminato l onda incidente e quella dentro la barriera): φ a (x) = φ ai (x) = Be ikx per x < φ aii (x) = per < x < L φ aiii (x) = Ee ikx per x > L I coefficienti B ed E possono essere anche scritti in funzione dell ampiezza dell onda incidente A usando le espressioni già riportate in (6). Nel caso dell elettrone incidente da destra, nella regione III, la funzione d onda si può ottenere direttamente da quello del caso precedente, mediante la trasformazione di simmetria x L x. Quindi si ha la seguente espressione: φ b (x) = ik ( x L) φ biii (x) = Be per x > L φ bii (x) = per < x < L φ bi (x) = Ee ik ( x L) per x < La funzione d onda del sistema di due elettroni si ottiene ora mediante la seguente combinazione antisimmetrica, valida per il caso di due fermioni:, x ) = 1 [ φ a(x 1 )φ b (x ) φ b (x 1 )φ a (x )] (7) Calcoliamo l espressione esplicita di questa funzione d onda nel caso in cui le due particelle siano nella stessa regione, ad esempio I (cioè assumendo che x 1 < e x < :, x ) = 1 [ φ (x )φ (x ) φ (x )φ (x ) ai 1 bi bi 1 ai ] = 1 Be ikx 1 Ee ikx +ikl Ee ikx1+ikl Be ikx = Un calcolo analogo mostra che la funzione d onda si annulla se le variabili sono entrambe nella regione III. Questo conferma l impossibilità che dopo la collisione le due particelle vengano trovate entrambe nella stessa regione. Se invece calcoliamo la funzione d onda per il caso in cui la particella 1 sia nella regione I e la particella nella regione III, otteniamo la seguente espressione:, x ) = 1 [ φ ai (x 1 )φ biii (x ) φ bi (x 1 )φ aiii (x )] = 1 B e ikx 1+ikx ikl E e ikx 1+ikL+ikx = = 1 B e ikl E e +ikl e ik(x x ) 1 = A e ikl 4 + k L ( ikl) eik(x x 1 )
6 il cui modulo quadro può facilmente essere calcolato come pari a, x ) = A4 Questa è la densità di probabilità congiunta che la particella 1 sia nella regione I e la particella nella regione III (dopo la collisione). La densità di probabilità per il caso in cui la particella 1 sia nella regione III e quella nella regione I è identica (lo deve essere, visto che le particelle sono identiche), per cui la densità totale è pari ad A 4. Integrata sull estensione d dei due pacchetti d onda, tenendo conto della condizione di normalizzazione A d=1, questa densità ci restituisce la probabilità del 1% di trovare le due particelle una in una regione e l altra nell altra. Così risulta confermata la risposta già data con l approccio intuitivo. Esercizio Domanda (a). Si procede per separazione di variabili, riconducendo il problema a due problemi 1D, uno per la coordinata x e uno per la coordinata y, entrambi corrispondenti a buche di potenziale infinite, la prima di larghezza a e la seconda di larghezza b. Introducendo due numeri quantici, n ed m, corrispondenti alle due coordinate, otteniamo quindi la seguente espressione dei livelli di energia possibili: livelli di energia: E n,m = π ma n + π mb m = E n + m dove nella seconda espressione abbiamo introdotto l energia E = π ma = J = 9.4 ev ( ) con n = 1,, ed m = 1,, (8) e abbiamo sfruttato la relazione b = a data nel testo. Le corrispondenti autofunzioni sono date dal prodotto delle autofunzioni relative a ciascuna variabile, per cui autofunzioni: φ n,m (x, y) = nπ x mπ y sin ab a sin b Domanda (b). L energia di punto zero corrisponde all energia cinetica minima nella buca. Essendo l energia potenziale nulla nella buca, l energia cinetica coincide con quella totale, per cui si ha: energia di punto zero: E 1,1 = 3E = 8.3eV Domanda (c). La configurazione elettronica di energia più bassa per i 9 elettroni è la seguente: Configurazione elettronica stato fondamentale 9 elettroni: (1,1) (,1) (1,) (3,1) (,) 1 dove le parentesi (n,m) indicano i corrispondenti stati stazionari di numeri quantici n ed m, e gli apici il numero di elettroni presenti in tali stati. L energia corrispondente è la seguente:
7 energia stato fondamentale: E tot = 3E + 6E + 9E + 11E + 1 1E = 7 E = 659 ev Domanda (d). Per prima cosa dobbiamo normalizzare la funzione d onda data nel testo del problema imponendo la seguente condizione di normalizzazione D: + + ab dx dy ψ = dx dy N = N = 1 da cui otteniamo a/ b N = ab Per determinare le probabilità di ciascun livello di energia utilizziamo il seguente prodotto scalare: + + * c n,m = φ n,m,ψ = φ n,m (x, y)ψ (x, y)dx dy = dysin mπ y ab b dxsin nπ x a = [ ] [ 1 cos(nπ / ) ] = 1 cos(mπ ) π nm La probabilità si ottiene prendendo il modulo quadro: b a/ P n,m = c n,m = 8 π 4 n m 1 cos( mπ ) 1 cos nπ da cui deduciamo la seguente risposta d: livelli di energie possibili sono tutti quelli con m dispari ed n non multipli di 4, con probabilità se m pari se m dispari e (nmod 4) = P n,m = 3 se m dispari e (nmod 4) = 1 oppure (nmod 4) = 3 π 4 n m 64 se m dispari e (nmod 4) = π 4 n m
8 SOLUZIONI TEST a) Riportare le due relazioni di de Broglie: E = hν p = h λ oppure E = ω p = k b) Scrivere la relazione di indeterminazione di Heisenberg tra posizione x e quantità di moto p: ΔxΔp dove Δx e Δp sono le indeterminazioni definite come scarto quadratico medio b) Calcolare la lunghezza d onda della radiazione elettromagnetica emessa dall atomo d idrogeno nella transizione dallo stato ψ p a quello ψ 1s, ricordando che l energia dello stato fondamentale è E 1 = 13.6 ev: Usando E n = E n = 13.6 ev si ottiene λ = c n ν = hc ΔE = hc hc = = 4hc = 1 nm E E 1 E 1 / 4 E 1 3E 1 _ c) Come è definito il prodotto scalare tra due funzioni d onda ψ 1 (x) e ψ (x)? + ψ 1,ψ = ψ 1 * (x)ψ (x)dx _ d) Sia data una particella con funzione d onda ψ (x) = A per < x < L con L = 1 Å e ψ (x) = al di fuori dell intervallo (, L). Calcolare la probabilità che, eseguendo una misura di posizione, la particella venga trovata nell intervallo (, Å): La densità di probabilità è uniforme, per cui P( < x < Å) = ψ (x) dx = 1 = % e) Sia ψ (x) = 13L sin π x π x + 3isin la funzione d onda 1D al tempo t = di un elettrone in una buca di potenziale infinita compresa tra x = e x = L, relativamente al medesimo intervallo (al di fuori, la funzione d onda si annulla). Scrivete l espressione della funzione d onda ψ(x, t) valida anche per gli istanti di tempo t successivi: ψ (x,t) = 13L sin π x e ie 1 t/ + 3isin π x e ie t/ con E 1 = π e E ml = 4E 1 _ f) Scrivere l espressione analitica della funzione d onda di un sistema di due elettroni che occupano lo stato fondamentale n = 1 e il primo stato eccitato n = di una buca di potenziale rettangolare infinita, assumendo che abbiano lo stesso spin (o equivalentemente senza tenere conto dello spin):, x ) = 1 [ φ (x )φ (x ) φ (x )φ (x ) ] = 1 L sin π x 1 sin π x sin π x 1 sin π x _ g) Scrivere la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell atomo di fluoro F (Z = 9): SF = (1s) (s) (p) 5 Å
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