Moduli Scolastici per le Scuole Secondarie di 2 grado. Prof. Claudio CANCELLI

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1 Prof. Claudio CANCELLI

2 TABELLE DI CONVERSIONE LUNGHEZZA km hm dam m dm cm mm 1 km hm dam m dm cm mm N.B. Per passare da metri a kilometro moltiplicare per -3. Esempio: m =x -3 km= - km Per passare da mm a dam moltiplicare per -4 Esempio: 0 mm=0x -4 dam= - dam SUPERFICIE m dm cm mm 1 m dm cm mm N.B. Per passare da cm a dm moltiplicare per - Esempio: 0 cm =0x - dm = 1 dm Per passare da m a cm moltiplicare per 4 Esempio 50 m = 50x 4 cm = 5 x 5 cm VOLUME E CAPACITA m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Litro (l) 1 m dm cm mm Litro (l) N.B. Per passare da dm 3 a cm 3 moltiplicare per 3 Esempio: 35 dm 3 = 35x 3 cm 3

3 Per passare da mm 3 a dm 3 moltiplicare per -6 Esempio 450 mm 3 = 450 x -6 dm 3 MASSA kg hg dag g dg cg mg 1 kg hg dag g dg cg mg N.B. Per passare da dag a mg moltiplicare per 4 Esempio: 70 dag= 70x 4 mg= 7x 5 mg Per passare da mg a kg moltiplicare per -6 Esempio: 650 mg= 650x -6 kg MASSA VOLUMICA Kg/m 3 Kg/dm 3 g/dm 3 g/cm 3 g/l Kg/l 1 Kg/m Kg/dm g/dm g/cm g/l Kg/l N.B Per passare da g/cm 3 a g/dm 3 moltiplicare per 3 Esempio 50 g/cm 3 = 50x 3 g/dm 3 Per passare da kg/m 3 a g/dm 3 moltiplicare per 1 Esempio 0 Kg/m 3 = 0 g/dm 3 TEMPO h min s 1 h min 1/60=0, s 1/3600=,77x -4 1/60=0,016 1 N.B. Per passare da ora a secondi moltiplicare per 3600 Esempio: h= x3600s= 700 s Per passare da minuti a ora dividere per 60 o moltiplicare per 0,016 Esempio: 15 min= 15/60=0,5 h=1/4 h.

4 PRESSIONE Pa Kg/m atm bar Kg/cm torr 1 Pa 1 0, 9,87x ,x -4 7,5x -3 1 Kg/m 9,81 1 9,68x -5 9,81x , atm 1,013x 5 1,033x 4 1 1,013 1, bar 5 0,x 4 0, , Kg/cm 9,81x 4 4 0,968 0, torr ,6 1,31x -3 1,33x -3 1,36x -3 1 N.B. Per passare da Pa a bar moltiplicare per -5 Esempio 0 Pa= 0x -5 bar= -3 bar Per passare da torr a bar moltiplicare per 1,33x -3 Esempio 5 torr= 5 x1,33x -3 = 33,5 x -3 bar PORTATA m 3 /s m 3 /min m 3 /h l/s l/min 1 m 3 /s ,6x 3 3 6x 4 1 m 3 /min 1,667x , m 3 /h,78x -4 1,667x - 1 0,78 16,76 1 l/s -3 0,06 3, l/min 1,667x ,06 1,667x - 1 N.B. Per passare da m 3 /h a l/s moltiplicare per 0,78 Esempio: m 3 /h= x0,78 l/s=,78 l/s Per passare da l/min a m 3 /min moltiplicare per -3 Esempio 50 l/min=50 x -3 m 3 /min=5x - m 3 /min. ENERGIA J Kgm kwh CVh Kcal 1 J 1 0,,77x -7 3,77x -7,38x -4 1 Kgm 9,81 1,7x -6 3,70x -6,34x -3 1 kwh 3,6x 6 3,67x 5 1 0, CVh,66x 6,70x 5 1, Kcal ,16x -3 1,58x -3 1 N.B. Per passare da kgm a kcal moltiplicare per,34x -3 Esempio 1 kgm=1x,34x -3 =8,08 x -3 kcal Per passare da CVh a kwh moltiplicare per 1,36 Esempio 50 CVh= 50x1,36=68 kwh

5 POTENZA W CV Kcal/h Kcal/s kgm/s 1 W 1 1,36x x -3,38x -4 x -3 1 CV x Kcal/h 1,16 1,58x -3 1,77x -4 1,18x - 1 Kcal/s ,68 3,6x kgm/s 9,81 1,33x - 84,7,34x -3 1 N.B. Per passare da CV a W moltiplicare per 736 Esempio: 50 CV=50x736 W= W Per passare da Kcal/h a Kcal/s moltiplicare per,77x -4 Esempio: 35 Kcal/h = 35x,77x -4 =650,95 x -4 Kcal/s Multipli e sottomultipli nel Sistema Internazionale fattore di moltiplicazione prefisso simbolo valore 4 yotta Y zetta Z exa E peta P tera T giga G mega M chilo k etto h 0 1 deca da -1 deci d centi c milli m micro µ nano n pico p femto f atto a zepto z yocto y

6 COMPENDIO DI MATEMATICA ELEVAMENTO A POTENZA Tavola di alcune potenze di 0 = 1 1 = = x=0 3 = xx= = xxx= = xxxx= = xxxxx= = = 0,1 1 = = = = 0, = = 0, Per moltiplicare due potenze di base uguale si sommano i loro esponenti a a = a = a 3 = + 3 = = 7 3 = ( 4 )( ) = 8 = 8 4 Per dividere una potenza per un altra di uguale base, si sottraggono gli esponenti a a = a = a 3 5 = 5 = 3 8 = 6 = = 6 6 = 4 8 Qualsiasi numero si può esprimere come una potenza intera di, o come il prodotto di due numeri uno dei quali è una potenza intera di 400 =, = 7, 0,00306 = 3, ,0545 = 5, = 4,54 0, = 5 7 Qualunque espressione il cui esponente è zero, è uguale a 1 a = 1 = ( 3 ) = 1 7 = 7 = 5 N.B. Un qualunque numero o espressione elevata a zero è uguale a 1; basta osservare che: n a n n n n 0 0 = 1 a a = a = a a = 1 n a

7 Qualunque potenza si può trasferire dal numeratore al denominatore di una frazione, o viceversa, cambiando il segno del suo esponente = 5 = = 7 5a = 4 5 a ALFABETO GRECO alfa A a eta H? ni N? tau T t beta B ß theta T?,? xi?? ipsilon Y? gamma G? iota I? omicron O o psi?? delta? d kappa K? pi? p,? chi?? epsilon E e lambda L l ro R? phi F?,f zeta Z? mu,mi M µ sigma S s omega O?

8 REGOLE PER SCRIVERE CORRETTAMENTE UNA MISURA Il DPR 1/08/198 n. 80 detta quali sono le unità di misura legali per esprimere grandezze fisiche. Per indicare le unità di misura si devono usare esclusivamente le denominazioni e i simboli previsti. Tali prescrizioni si applicano anche nelle attività economiche, nelle operazioni di carattere amministrativo e nelle indicazioni di grandezza espresse in unità di misura. Le principali regole da seguire nella scrittura di un dato numerico associato ad una unità di misura 1. I simboli delle unità di misura non vanno seguiti dal punto, non essendo abbreviazioni.. I simboli delle unità di misura devono seguire l'indicazione numerica, separati da uno spazio. 3. I simboli delle unità sono scritti con lettere minuscole. Fanno eccezione quelli derivanti da un nome proprio che hanno l'iniziale maiuscola (es. J per l'energia da Joule; W per la potenza da Watt; Pa per la pressione da Pascal). 4. Il prefisso indicante i multipli delle unità fanno uso di caratteri MAIUSCOLI, mentre i sottomultipli fanno uso di caratteri minuscoli (es. km e non Km o ancora peggio il diffuso KM; 1 mg = 0,001 g mentre 1 Mg = kg). 5. Tra prefisso e simbolo dell'unità non si inserisce alcuno spazio (es. 1 µm e non 1 µ m). 6. Il prodotto tra unità si scrive introducendo uno spazio o un punto a mezz'altezza fra i simboli (es. 5 J = 5 N m o 5 J = 5 N m). 7. Il rapporto tra unità si scrive introducendo una linea obliqua fra i simboli o utilizzando l'esponente negativo (es. la velocità si esprime in m/s o m s-¹). 8. Il quadrato o il cubo di una unità si scrive utilizzando gli esponenti o 3 e così via (es. la superficie di una abitazione si scrive 90 m² e non 90 mq o peggio 90 MQ o Mq; il volume di una fornitura 50 m³ e non 50 mc o peggio 50 MC). 9. I prefissi e i nomi delle unità vanno scritti per esteso quando questi non sono accompagnati da un valore numerico, utilizzando l'iniziale minuscola in ogni caso anche quando derivi da un nome proprio ( es. joule pur derivando dal nome Joule). Il plurale si usa per le sole unità: metro, secondo, grammo, radiante, candela e relativi multipli.

9 GRANDEZZE FISICHE Le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale sono 7 Grandezza Nome Simbolo Lunghezza metro m Massa kilogrammo kg Tempo secondo s Intensità di corrente elettrica ampere A Temperatura termodinamica* kelvin K Intensità Luminosa candela cd Quantità di sostanza mole mol *Temperatura Celsius t C = (T- 73,15) kelvin grado Celsius C Altre grandezze (cosiddette derivate) del Sistema Internazionale di uso più frequente Grandezza Nome Simbolo * 1 Forza newton N (kg m /s²) Pressione pascal Pa (N/m²) Energia joule J (N m) Potenza watt W (J/s) Quantità di elettricità coulomb C (s A) Tensione elettrica volt V (W/A) Resistenza elettrica ohm? (V/A) *simbolo in unità riconducibili alle unità fondamentali SI

10 Unità speciali, autorizzate, di uso più frequente multipli e sottomultipli di unità SI Grandezza Nome Simbolo * Volume litro L o l 1 L=1 dm³ = ³ m³ Massa tonnellata t 1 t = ³ kg Pressione bar bar 1 bar = Pa Tempo minuto min 1 min = 60 s ora h 1 h = 3600 s giorno d 1 d = s Area delle superfici agrarie ara a 1 a = 0 m² Massa delle pietre preziose carato metrico ct 1 ct =0, g * fattore di conversione in unità SI

11 CIFRE SIGNIFICATIVE E ARROTONDAMENTO Regole per la determinazione il numero delle cifre significative Conteggio delle cifre significative 1. Tutti i valori non nulli (DIVERSI DA ZERO ) rappresentano cifre significative.. Gli zeri compresi tra CIFRE non nulle sono cifre significative. Esempio: gli zeri sottolineati in verde, tra la cifra 5 e la cifra 6 e tra la cifra 6 e la cifra, sono significativi Gli zeri che precedono la prima cifra significativa (cifra non nulla) non sono cifre significative. Esempio: in 0.001, gli zeri (sottolineati in rosso) che precedono le cifre 1 e non sono cifre significative (il numero in questione ha due sole cifre significative) 4. Gli zeri finali sono significativi anche se non è presente la virgola (o punto decimale in inglese). Esempio: in gli zeri in rosso dopo la cifra 9 sono significativi, e in tutti gli zeri dopo le cifre 1, 3, 9 (sottolineati in verde) sono significativi Regole per addizioni e sottrazioni Il numero risultante ha lo stesso numero di cifre decimali del numero a minor numero di cifre decimali. Esempio: ( cifre decimali) Regole per moltiplicazione e divisione Il numero risultante (prodotto) ha lo stesso numero di cifre significative del fattore con il minor numero di cifre significative. Esempio: 15.3 x (3 cifre significative)

12 Regole per l'arrotondamento Moduli Scolastici per le Scuole Secondarie di grado 1. Per semplicità, nei calcoli intermedi mantenere tutti le cifre e arrotondare i valori finali al numero richiesto (corretto) di cifre significative.. L'arrotondamento va effettuato, di norma, prendendo in considerazione solamente la prima cifra oltre l'ultima significativa (chiamiamola "extra"). o se tale cifra è minore o uguale a 4, il valore dell'ultima cifra significativa rimane inalterato. o se è maggiore di 5, il valore dell'ultima cifra significativa deve essere incrementato di una unità. o se è 5 seguito da un numero maggiore di zero si opera come il caso precedente. Se il cinque è seguito da un certo numero di zeri, caso estremamente particolare, il valore precedente viene arrotondato al numero pari più vicino. o se è 5 seguito solo da un certo numero di zeri senza altre cifre, caso estremamente particolare, il valore precedente viene arrotondato al numero pari più vicino. Esempi: (In verde le cifre significative, in blu la cifre "extra", in rosso le cifre da ignorare.) Arrotondare a 3 cifre significative Il risultato dell'arrotondamento: 1.5 Arrotondare a 3 cifre significative Il risultato dell'arrotondamento: 1.6 Arrotondare a 3 cifre significative Il risultato dell'arrotondamento:1.56

13 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI In fisica, il valore x di una qualsiasi grandezza X si esprime nella forma: x = x 0 ±?x ❶ dove x 0 rappresenta la migliore stima della misura, mentre? x è l errore assoluto, e a, della misura, chiamato anche incertezza o semidispersione. La scrittura l = (,4 ± 0,03) cm, per esempio, vuol dire che il valore della lunghezza è compreso nell intervallo da,1 cm a,7 cm. Quindi, l espressione ❶ in realtà rappresenta un intervallo di valori e non semplicemente un numero. Il valore vero (con precisione infinita) della grandezza fisica X non è misurabile mentre se ne può prevedere l intervallo dei valori entro il quale la misura può rientrare. L errore relativo, associato alla misura x, si intende il rapporto tra l'errore assoluto?x e la migliore stima x 0 e r =? x/ x 0 Per l esempio precedente, vale e a = 0,03/,4 = 0,0013, con l errore relativo percentuale pari a 0,13 % 1. Quando due o più stime, x 0, y 0, sono sommate o sottratte tra di loro, il risultato sarà "realistico", se verrà arrotondato al minor numero di cifre decimali presenti nei valori addizionati o sottratti. Esempio 1: Si effettui la somma tra 58,0 cm, 0,0038 cm e 0,00004 cm. Il risultato è pari a 58,00384 cm. In realtà il risultato realistico è 58,0 cm. (Infatti, l'errore sulla somma, uguale alla somma degli errori assoluti, è: 0,1 cm + 0,0001 cm + 0,00001 cm uguale, arrotondando a una sola cifra diversa da zero, a 0,1 cm ; pertanto, sarebbe illusorio scrivere, come risultato, 58,00384 cm che vorrebbe dire (58,00384 ± 0,00001) cm. Esempio : 4,0 kg + 1,653 kg + 0,015 kg = 5,8673 kg? 5,87 kg. Quando due o più stime, x 0, y 0,. sono moltiplicate o divise tra di loro il risultato sarà "realistico", se verrà arrotondato a un numero di cifre significative pari al numero di cifre significative del fattore che ne possiede di meno. Esempio 1: A = p r dove p = 3, ed r = 8 m. Il minor numero di cifre significative è 1, quindi il risultato della calcolatrice 01,0619 va ricopiato con una sola cifra significativa: m. L area sarà quindi compresa tra 0 e 300 m. Esempio :,1 m 0,3 m = 0,7 m Esempio 3: 7,88 kg 0,6 m/s = 65,8 kg m/s

14 3. Quando una grandezza G (g o,? g) si ottiene dalla somma o dalla differenza di due grandezze x (x o,? x) e y (y o,? y), l errore assoluto ad essa relativo? g può essere calcolato sommando gli errori assoluti di x e y, rispettivamente? x e?y. Esempio: Sia data una lastra rettangolare di lati b = (1,3 ± 0,1) cm, h = (5,3 ± 0,) cm. Determinare la misura del perimetro della lastra. SOLUZIONE: Si tratta di addizionare le lunghezze dei lati, quindi, in osservanza della legge di propagazione degli errori assoluti, gli errori assoluti si sommano. Perciò, la migliore stima del perimetro è P0 = 1,3 + 1,3 + 5,3 + 5,3 = 35, cm. E l'errore assoluto è 0,1 + 0,1 + 0, + 0, = 0,6 cm. Di conseguenza: P = (35, ± 0,6) cm. 4. Quando una grandezza G (g o,? g), si ottiene dal prodotto o dal quoziente di due grandezze x (x o,? x) e y (y o,? y), l errore relativo ad essa relativo,? g/g o si ottiene sommando gli errori relativi associati alle grandezze x e y, rispettivamente? x/x o e? y/y o. Esempio: Sia data una lastra rettangolare di lati b = (1,3 ± 0,1) cm, h = (5,3 ± 0,) cm. Determinare la misura dell area della lastra. SOLUZIONE: Si tratta di moltiplicare le lunghezze dei lati, ottenendo il valore di 6,519 cm. Calcolando quindi i rispettivi errori relativi, si ottiene per il lato b, 0,1/1,3 = 0,00813 e per il lato a, 0,/5,3 = 0,0377. Sommando gli errori relativi si ottiene 0,0458, da cui l errore assoluto associato alla misura dell area 6,519*0,0458 = 0,98 cm. Con le dovute approssimazioni, risulta A = 6,5 +/- 0,3 cm.