Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi di misure non decimali

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1 Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi di misure non decimali Misurare una grandezza significa, dopo aver prefissato una unità di misura, calcolare quante volte tale unità è contenuta nella grandezza in esame. Il numero che esprime il rapporto fra una certa grandezza e l unità si dice misura. Il nostro sistema di misura è il Sistema Metrico Decimale. Metrico perché ha come unità fondamentale il metro. Decimale perché i multipli e i sottomultipli del metro si ottengono da questo moltiplicando e dividendo per 10, 100, 1000, In tale sistema oltre all unità di misura fondamentale, il metro, si considerano anche le unità di superficie, di volume, di capacità e di peso che sono rispettivamente: il metro quadrato, il metro cubo, il litro e il grammo. Accanto alle unità fondamentali sono da considerare le unità secondarie, ovvero i multipli e i sottomultipli di queste grandezze. Misure di lunghezza L unità di misura delle lunghezze è il metro (m). Multipli del metro Decametro (dam) = 10 m Ettometro (hm) = 100 m = 10 dam Chilometro (km) = 1000 m = 100 dam = 10 hm Miriametro (Mm) = m = 1000 dam = 100 hm = 10 km Sottomultipli del metro Decimetro (dm) = 0,1 m Centimetro (cm) = 0,01 m = 0,1 dm Millimetro (mm) = 0,001 m = 0,01 dm = 0,1 cm Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura, espressa mediante una certa unità, alla stessa misura, espressa nell unità immediatamente seguente, bisogna moltiplicare o dividere per 10. In generale: date le unità di misura scritte in ordine decrescente, per passare dalla misura, espressa in una unità, alla misura espressa in una unità maggiore o minore di quella, si sposta, a sinistra o a destra rispettivamente, la virgola di tanti posti quanti sono gli spazi che separano le due unità nella serie decrescente delle unità: Mm Km hm dam m dm cm mm 31,7 m = 317 dm = 3170 cm = 3,17 dam = 0,317 hm = 0,0317 km = 0,00317 Mm PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 1

2 Misure di superficie L unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m 2 ). Multipli del metro quadrato Decametro quadrato (dam 2 ) = 100 m 2 Ettometro quadrato (hm 2 ) = m 2 = 100 dam 2 Chilometro quadrato (km 2 ) = m 2 = dam 2 = 100 hm 2 Miriametro quadrato (Mm 2 ) = m 2 = dam 2 Sottomultipli del metro quadrato Decimetro quadrato (dm 2 ) = 0,01 m 2 Centimetro quadrato (cm 2 ) = 0,0001 m 2 = 0,1 dm 2 Millimetro quadrato (mm 2 ) = 0, m 2 = 0,0001 dm 2 = 0,01 cm 2 Il fattore di conversione è 100, cioè per passare da una misura ad un altra si applica la stessa regola indicata per le misure di lunghezza. In questo caso bisogna spostare la virgola di un numero di posti doppio. In generale: date le unità di misura scritte in ordine decrescente, per passare dalla misura, espressa in una unità, alla misura espressa in una unità maggiore o minore di quella, si sposta, a sinistra o a destra rispettivamente, la virgola il doppio di tanti posti quanti sono gli spazi che separano le due unità nella serie decrescente delle unità: Mm 2 Km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 31,7 m 2 = 3170 dm 2 = cm 2 = 0,317 dam 2 Misure agrarie L unità di misura agraria è l ara (a), cioè un quadrato di lato un decametro. Multipli dell ara Ettaro (ha) = 100 a = m 2 Sottomultipli dell ara Centiara (ca) = 1 m 2 Il fattore di conversione è a = 72,34 ha PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 2

3 Misure di volume L unità di misura di volume è il metro cubo (m 3 ), cioè il cubo avente lo spigolo di un metro. Multipli del metro cubo Decametro cubo (dam 3 ) = 1000 m 3 Ettometro cubo (hm 3 ) = m 3 = 1000 dam 3 Chilometro cubo (km 3 ) = 10 9 m 3 = 10 6 dam 3 = 10 3 hm 3 Miriametro cubo (Mm 3 ) = 1000 km 3 Sottomultipli del metro cubo Decimetro cubo (dm 3 ) = 0,001 m Centimetro cubo (cm 3 ) = 0, m 3 = 0,001 dm 3 Millimetro cubo (mm 3 ) = 0, dm 3 = 0,001 cm 3 Il fattore di conversione è 1000, cioè per passare da una misura ad un altra si applica la stessa regola indicata per le misure di lunghezza. In questo caso bisogna spostare la virgola di un numero di posti triplo. Mm 3 Km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 31,7 m 3 = dm 3 = 0,0317 dam 3 Misure di capacità L unità di misura di capacità è il litro (l), che è la capacità di un dm 3, cioè un cubo avente lo spigolo di un dm. Decalitro (dal) Ettolitro (hl) Multipli del litro = 10 l = 100 l = 10 dal Sottomultipli del litro Decilitro (dl) = 0,1 l Centilitro (cl) = 0,01 l = 0,1 dl Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura ad un altra si ripete esattamente quanto detto per le misure di lunghezza. hl dal l dl cl 31,7 l = 3,17 dal = 0,317 hl PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 3

4 Misure di peso L unità principale di misura dei pesi è il grammo (g), che è il peso di un cm 3 di acqua distillata a 4 C, cioè il peso dell acqua distillata contenuta in un cubo avente lo spigolo di un cm. Multipli del grammo Decagrammo (dag) = 10 g Ettogrammo (hg) = 100 g = 10 dag Chilogrammo (kg) = 10 hg = 100 dag = 1000 g Miriagrammo (Mg) = 10 kg = 100 hg = 1000 dag Quintale (q) = 10 Mg = 100 kg = 1000 hg Tonnellata (t) = 10 q = 100 Mg = 1000 kg Sottomultipli del grammo Decigrammo (dg) = 0,1 g Centigrammo (cg) = 0,01 g = 0,1 dg Milligrammo (mg) = 0,001 g = 0,01 dg = 0,1 cg Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura ad un altra si procede come visto per le misure di lunghezza. t q Mg kg hg dag g dg cg mg Peso specifico Il peso specifico di un corpo è il peso dell unità di volume di una sostanza. Esprime quindi quanti grammi pesa un cm 3 della sostanza di cui è fatto il corpo, o quanti chilogrammi pesa un dm 3 oppure quante tonnellate pesa un m 3. Ad esempio il peso specifico dell argento è 10,5. Si intende dire che: 1 cm 3 di argento ha un peso di 10,5 g 1 dm 3 di argento ha un peso di 10,5 kg 1 m 3 di argento ha un peso di 10,5 t Il peso specifico ps di un corpo si ottiene dividendo il suo peso P espresso in g per il suo volume V espresso in cm 3 o il suo peso in kg per il suo volume in dm 3 oppure il suo peso in t per il suo volume in m 3. p s = P V P = p s V V = P p s PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 4

5 Tavola dei pesi specifici di alcuni corpi Calcolare il peso P di 22,5 mm 3 di oro. L oro ha peso specifico ps = 19,3. Trasformiamo i mm 3 in cm 3. 22,5 mm 3 = 0,0225cm 3 P = p s V P = 19,3 0,0225 = 0,4275 g PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 5

6 Sistemi di misura non decimali I sistemi non decimali sono caratterizzati dal fatto che il rapporto fra l unità di misura e i suoi sottomultipli o i suoi multipli non è 10 o un multiplo di 10, come nei sistemi decimali, ma un numero diverso da dieci, e neppure costante, che si chiama modulo del numero non decimale. In molti paesi di lingua inglese si fa uso di sistemi non decimali. In Italia l uso di essi è rimasto solo per le misure del tempo e degli angoli. Misura del tempo L unità fondamentale per la misura del tempo è il giorno solare, definito come il tempo impiegato, dalla terra per compiere una rotazione completa intorno al proprio asse. Non tutti i mesi sono composti dallo stesso numero di giorni. Per ragioni commerciali si è convenuto di considerare tutti i mesi di 30 giorni; di conseguenza l anno commerciale è di 360 giorni anche se l anno si compone di 365 giorni, 5 ore, 48 minuti e 46 secondi. Nello specchietto che segue vengono riportate le unità di misura, i multipli e i sottomultipli con i relativi fattori di conversione Anno commerciale = 360 giorni Mese commerciale = 30 giorni giorno (g) ora (h) = 1/24 di giorno Minuto primo (m) = 1/60 di ora Minuto secondo (s) = 1/60 di minuto primo Misura degli angoli L unità di misura degli angoli è il grado, definito come la novantesima parte dell angolo retto o la trecentosessantesima parte dell angolo giro. Il fattore di conversione che ricorre in tale sistema è 60, da cui il nome sistema sessagesimale. Del grado si considerano solo i sottomultipli: il primo sessagesimale, pari a 1/60 di grado, e il secondo sessagesimale, pari a 1/60 di primo. Grado ( ) Primo ( ) Secondo ( ) = 1/90 di angolo retto = 1/60 di grado = 1/60 di primo PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 6

7 Misure inglesi In Inghilterra sono ancora in uso sistemi di misura non decimali. Presentiamo i più importanti di essi perché si possono incontrare in taluni settori del mondo della tecnica e del commercio. Misure di lunghezza miglio terrestre yard (yd) piede (ft) Pollice (inch) = 1760 yarde = 1609,344 m unità fondamentale = 0,9144 m = 1/3 yarda = 30,48 cm = 1/36 di yarda = 2,54 cm Misure di superficie yard quadrata (sq. yd) unità fondamentale = 0,8361 m 2 piede quadrato (sq. ft) = 1/9 di sq. yd = 929,03 cm 2 Pollice quadrato (sq. in) = 1/1296 di sq. yd = 6,4516 cm 2 Misure di volume yard cubica (cu. yd) unità fondamentale = 0,7645 m 3 piede cubica (cu. ft) = 1/27 di cu. yd = 28,32 cm 3 Pollice cubico (cu. in) = 1/46656 di cu. yd = 16,387 cm 3 Misure di capacità gallone quarto pinta gill unità fondamentale = 4,55 l = ¼ di gallone = 1,1375 l = 1/8 di gallone = 0,569 l = 1/32 di gallone = 0,142 l Misure di peso ton. cwt. libbra oncia = 20 cwt. = 10,17 q = 112 libbre = 50,848 kg unità fondamentale = 0,454 kg = 1/16 di libbra = 28,35 g Sistema monetario Sterlina (Lst) Scellino (sc) unità fondamentale = 1/20 di sterlina PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 7

8 Pence (p) Farthing (far) = 1/12 di scellino = 1/4 di pence Trasformazioni e operazioni con le misure non decimali Si dice che una misura non decimale è in forma normale, quando i numeri delle singole unità non superano i fattori di conversione fra le stesse e quelle immediatamente superiori. Ad esempio la misura non decimale 5 h 27 m 18 s è in forma normale perché 18 è minore di 60, che è il fattore di conversione tra minuto secondo e minuto primo; 27 non supera 60, fattore di conversione tra primo e ora; 5 è minore di 24, fattore di conversione tra ora e giorno. La misura non decimale 29 h 85 m 94 s non è invece in forma normale. Riduzione a forma normale Ridurre a forma normale la misura non decimale 1 g 23 h 137 m 78 s. Ragionamento: dividendo 78 s per 60 otteniamo 1 m con resto 18 s. Sommando il minuto ottenuto ai 137 m si ottengono 138 m. Dividendo 138 m per 60 otteniamo 2 h con resto 18 m. Sommiamo le 2 h alle 23 h ottenendo 25 h che sono un giorno con il resto di un ora. Il numero dei giorni così diventa 2. Otteniamo, così, la misura in forma normale di 2 g 1 h 18 m 18 s. Procedimento numerico: 1 g 23 h 137 m 78 s 1 g 23 h 137 m (1 m + 18 s ) 1 g 23 h (137 m + 1 m )18 s 1 g 23 h 138 m 18 s 1 g 23 h (2 h + 18 m )18 s 1 g (23 h + 2 h )18 m 18 s 1 g 25 h 18 m 18 s 1 g (1 g + 1 h )18 m 18 s (1 g + 1 g )1 h 137 m 78 s 2 g 1 h 18 m 18 s PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 8

9 Riduzione di una misura non decimale all unità di ordine inferiore e superiore Ridurre la misura non decimale 2 h 20 m 13 s in minuti secondi e in ore. 2 h 20 m 13 s = = 8413 s 2 h 20 m 13 s = = = ( )h Riduzione a misura non decimale di una misura di unità di un dato ordine Ridurre in misura non decimale, la misura di un angolo di secondi. Dividendo per 60 si ottiene 3585 come quoziente e 38 come resto. Il resto rappresenta i secondi del numero non decimale. Dividendo ulteriormente 3585 per 60 si ottiene 59 come quoziente, che sono i gradi, e 45 come resto che sono i primi. Pertanto si ha: " = " Riduzione di una misura non decimale in misura decimale Qualche volta, soprattutto in problemi di meccanica, si ha la necessità di esprimere una misura non decimale con una decimale. Ad esempio vogliamo calcolare la velocità media di un corpo che compie 180 km in 2 h 37 m 16 s. Sappiamo che la velocità di un corpo è data dallo spazio diviso il tempo. Pertanto per fare tale rapporto è necessario trasformare la misura non decimale del tempo in una decimale La velocità del corpo sarà: 2 h 37 m 16 s = = 2,621 v = 180 km 2,621h = 68,676km/h PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 9

10 Operazioni elementari con le misure non decimali a) Addizione Date due o più misure non decimali, per addizionarle, si incolonnano e si addizionano le unità dello stesso ordine. Il numero non decimale ottenuto si trasforma in forma normale se non lo è. 3 g 21 h 35 m 44 s + 7 g 16 h 51 m 18 s = 10 g 37 h 86 m 62 s forma non normale 11 g 14 h 27 m 2 s forma normale b) Sottrazione Date due misure non decimali, per trovare la loro differenza, si incolonna il sottraendo sotto il minuendo e si sottrae da ogni numero delle unità del minuendo il numero corrispondente del sottraendo eventualmente prendendo a prestito una unità immediatamente superiore = c) Moltiplicazione di un numero non decimale per un numero intero Si moltiplica il numero intero per i numeri delle singole unità della misura non decimale. Il numero non decimale ottenuto si trasforma in forma normale se non lo è. 5 g 13 h 37 m 12 s x 7 = 35 g 91 h 259 m 84 s forma non normale 38 g 23 h 20 m 24 s forma normale PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 10

11 Per moltiplicare due misure non decimali bisogna convertire le due misure all unità inferiore, moltiplicare i due numeri ottenuti e riconvertire il prodotto nella forma normale della misura non decimale. d) Moltiplicazione di un numero non decimale per un numero intero Si dividono i numeri delle unità della misura non decimale per il numero intero, cominciando dall unità maggiore, tenendo presente che i resti della divisione, moltiplicati per i relativi fattori di conversione, vanno sommati ai numeri delle unità inferiori. 7 g 13 h 47 m 56 s : 6 6g 1 g 6 h 17 m 59 s 1X24 = 24 h 37 h 36 h 1X60 = _60 m 107 m 102 m 5X60 = _300 s _ 356 s 354 s 2 s Talvolta occorre conoscere il rapporto tra due angoli o fra due intervalli di tempo espresso in forma non decimale. Per fare ciò è opportuno convertire i numeri all unità inferiore ed eseguire la divisione con l approssimazione desiderata ottenendo un numero razionale. Determinare il rapporto tra gli angoli e Convertiamo all unità inferiore: = (67x x ) = = (12x x ) = PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 11

12 Facciamo quindi la divisione fra i numeri trovati: : = 5,423 Bibliografia: C. Bettella A. Marri Corso di Matematica vol. 1 PROF. GIUSEPPE FRASSANITO 12