Suggerimenti per evitare errori frequenti nello scritto di fisica

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1 Suggerimenti per evitare errori frequenti nello scritto di fisica Quelli che seguono sono osservazioni utili ad evitare alcuni degli errori piu frequenti registrati durante gli scritti di fisica. L elenco non e ovviamente completo. Sono state fatte delle aggiunte, sulla base di correzioni fatte sui compiti del 204. Molti degli errori gia segnalati in questo file sono stati purtroppo ripetuti. Altri errori sono segnalati. Per evidenziare le aggiunte alla versione precedente del testo, si e usato il colore rosso Equazioni sbagliate, e mancato controllo delle dimensioni Gli errori algebrici sono molto frequenti e quasi inevitabili. Alcune volte denotano pero una evidente difficolta nella manipolazione delle relazioni algebriche. Lo studente che ha di questi problemi, riprenda il suo testo di matematica delle scuole superiori e si eserciti finche non si sente sicuro. Un altra evidente difficolta, comune a molti studenti, e nell uso delle potenze di dieci e la conversione delle unita di misura. Queste difficolta sono fonte d errore in esercizi di cinematica (conversione da m/s a km/h), di dinamica dei fluidi (conversione di densita espresse in g/cm 3 a kg/m 3 ) di termodinamica (conversione di pressioni da P a a atm e volumi da m 3 a l). Nella cartella TAL204 si trovano i testi della prima prova di verifica, in cui ci sono molti esercizi di base con le relative soluzioni. Si suggerisce caldamente di fare quegli esercizi. finche non ci si sente sicuri. Vedere anche piu avanti nel testo. Un esempio concreto: nel ricavare la velocita in termini del raggio e dell accelerazione centripeta, in un moto circolare uniforme, si parte in genere dall equazione e si ricava v. La relazione corretta e a c = v2 r v = a c r ma nei compiti sono apparse relazioni sbagliate, del tipo v? = a c r Questi errori possono essere evitati controllando le dimensioni delle grandezze nell equazione. Il controllo puo essere fatto sia quando l equazione e ancora in forma algebrica, sia quando si sostituiscono i valori numerici assegnati dall esercizio. Ad esempio, nell equazione sbagliata (), ricordando che la velocita ha le dimensioni di spazio/tempo, che l accelerazione ha dimensioni di spazio/tempo 2 ed il raggio quelle di spazio, le dimensioni delle grandezze fisiche nei due membri dell equazioe non sono uguali spazio tempo (spazio/tempo2 ) spazio = tempo 2 Chi trovasse errori di scrittura testo e pregato di segnalarmeli al solito indirizzo di posta elettronica ()

2 Il controllo si puo fare anche quando si sostituiscono i valori numerici. Ad esempio supponiamo che siano assegnati i valori: a c = 5m/s 2 ed r = m, allora e fondamentale sostituire il valore numerico insieme alle sue unita di misura. Cosi nella relazione sbagliata () si otterrebbe v? = 5m/s2 m = 5 s 2 che non ha le unita di misura giuste di una velocita. Questo discorso va fatto per tutte le equazioni che si scrivono nelle soluzioni dei compiti ed aiuta enormemente ad evitare risposte sbagliate. 2 Velocita media e spostamento totale in un moto rettilineo La velocita media e semplicemente lo spostamento totale percorso diviso il tempo totale impiegato. Se il punto si e spostato di s nel tempo t, di s 2, nel tempo t 2 e di s 3 nel tempo t 3 e se non e indicato che in nessuno dei tre tratti lo spostamento sia avvenuto in verso opposto, allora la velocita media e v m = s + s 2 + s 3 t + t 2 + t 3. Se invece fosse stato indicato che, ad esempio nel secondo tratto, lo spostamento s 2 sia avvenuto in direzione opposta agli altri due, allora lo spostamento totale sarebbe e la velocita media cambierebbe di conseguenza. s s 2 + s 3 Errore frequente e confondere spostamento, cioe spazio percorso in una certa direzione, con posizione rispetto ad un punto. Se un corpo si trovava inizialmente, al tempo t, nella posizione x (rispetto ad un punto di riferimento, l origine) e successivamente, al tempo t 2, si trova nella posizione x 2 allora avra percorso uno spostamento s = x 2 x, in un tempo t = t 2 t e quindi, in accordo con la definizione precedente, la velocita media e v m = s t = x 2 x t 2 t. Altro tipo di errore rilevato e stato considerare la velocita media totale come somma o come media aritmetica (o altro) delle velocita v, v 2 dei singoli tratti, scrivendo l equazioni sbagliate de tipo v m? = v + v 2, v m? = v + v 2 2 Tutto quanto si e detto finora vale per un moto che si svolga sempre lungo una retta. Se i due moti successivi avvengono lungo due direzioni diverse, allora lo spostamento totale si ottiene sommando vettorialmente i due spostamenti ed ha quindi modulo uguale alla distanza finale dalla posizione di partenza (fate un disegno per capirlo). La velocita media totale sara diretta come lo spostamento totale ed il suo modulo e il rapporto tra il modulo dello spostamento totale ed il tempo totale impiegato (la somma dei due tempi). 2

3 3 Usare insieme le leggi orarie per posizione e velocita per i moti rettilinei Una volta individuato il tipo di moto, sia esso rettilineo uniforme o uniformemente accelerato (o decelerato, attenzione al segno da dare all accelerazione!) scrivere subito le due leggi orarie per s e per v: Moto rettilineo uniforme s = s 0 + v 0 t, v = v 0 Moto uniformemente accelerato s = s 0 + v 0 t + 2 at2, v = v 0 + at E capitato di trovare esercizi sbagliati in cui, in caso di moto uniformemente accelerato (prodotto da forze costanti), con velocita iniziale nulla, veniva usata insieme a v = at s? = vt che e valida solo per il moto rettilineo uniforme, e da, quindi, un risultato sbagliato per lo spostamento, che viene il doppio di quello che si otterrebbe dalla formula corretta del moto uniformemente accelerato, che nel caso di velocita iniziale nulla e s = 2 at2. 4 Diagramma delle forze che agiscono su un corpo o un sistema di piu corpi, collegati tra loro Non si sottoliniera mai abbastanza l importanza di rappresentare il piu correttamente possibile i quesiti posti negli esercizi, facendo dei disegni accurati del sistema di masse e forze che agiscono su di esse. Un disegno fatto correttamente e, nella stragrande maggioranza dei casi, gia meta della soluzione del problema, perche consente di avere davanti agli occhi le grandezze essenziali, gia sistemate nel modo giusto. Questo vale in particolare per problemi di dinamica, dove intervengono tutte quantita vettoriali, forze, accelerazioni, velocita e spostamenti, che hanno direzioni e verso, e quindi angoli tra loro ben precisi tra loro. Se nel disegno quesi vengono ben rappresentati, quello che resta da determinare tramite le equazioni della dinamica, sono solo i moduli di questi vettori. Davvero, e consigliabile a chi avesse difficolta a fare disegni a mano libera, di munirsi di un righello ed abituarsi a fare disegni precisi. Se piu forze agiscono su un corpo, e consigliabile fare un disegno esplicito dei vettori che rappresentano le forze, anche se inizialmente non e noto il modulo (e quindi la lunghezza relativa) di ciascuna. Il disegno e utile per essere sicuri di sapere direzione e verso di ogni forza. Ad esempio, su qualunque corpo la forza peso e sempre diretta verso il basso, mentre la reazione del piano a cui e appoggiato e sempre in direzione perpendicolare al piano e dunque e diretta verso l alto solo se il piano e orizzontale. Anche di direzione e verso di eventuali altre forze presenti nell esercizio, occorre essere sicuri, ed il disegno aiuta. 3

4 Le forze vanno sempre disegnate partendo dal corpo o dal punto materiale o dall oggetto che si puo considerare tale. Nel caso sia presente un corpo rigido, allora e necessario disegnare ogni forza a partire dal punto di applicazione. Ad esempio se una sbarra orizzontale e poggiata su un fulcro, la reazione del fulcro, che impedisce alla sbarra di cadere, va disegnata a partire dal punto di contatto tra la sbarra e il fulcro e diretta verso l alto. Se invece si ha una carrucola di forma circolare, le tensioni dovute alle corde inestensibili vanno disegnate a partire dai punti in cui le corde si distaccano dalla carrucola, hanno direzioni lungo le corde e versi che si allontanano dalla carrucola. Come si vede dalla lunghezza della frase precedente, un disegno sarebbe stato molto piu chiaro. Se il corpo non si muove, la somma vettoriale di tutte le forze e nulla, e quindi sono nulle le somme delle componenti delle forze lungo qualunque direzione scelta, ossia lungo due qualsiasi direzioni perpendicolari tra loro. Se un corpo si muove solo in una certa direzione, facciamo il caso in orizzontale, allora la somma delle componenti delle forze in direzione perpendicolare al moto, in questo caso la direzione verticale, e nulla. In sistemi, come ad esempio una carrucola, od un treno di piu vagoni trainato da una locomotiva, le funi che connettono le diverse masse creano, con la tensione, coppie di azione e reazione tra le coppie di masse da loro connesse. Le funi ovviamente producono solo tensioni nella direzione della fune stessa. 5 La sfiducia nella conservazione dell energia meccanica Come suggerimento generale: se in un esercizio, sono presenti solo forze conservative (ricordare che le reazioni vincolari, non compiono generalmente lavoro) e non vengono chiesti tempi, ma si parla solo di spazi percorsi e velocita, allora e quasi certo che si possano risolvere usando la conservazione dell energia meccanica, o se ci sono anche forze d attrito, tenendo conto anche del lavoro fatto da queste ultime. Ovviamente questi esercizi si possono risolvere, ottenendo risultati corretti, cosi come e avvenuto in alcuni compiti, usando leggi orarie per determinare tempi e poi calcolare spazi e velocita, ma questo richiede piu tempo, piu equazioni da risolvere ed in definitiva maggiore possibilita di errori algebrici. Se pero lo studente si sente sicuro nell applicare le leggi orarie, vada pure avanti in questo modo, molti lo fanno ed arrivano ai risultati corretti. L energia meccanica si conserva, trasformandosi in varie forme. In presenza di piu forze conservative, ad esempio la forza peso e la forza elastica, si ha E = E cin + E pot,p eso + E pot,elastica = 2 mv2 + mgh + 2 kx2 dove i vari simboli dovrebbero essere noti a chi legge. Supponiamo che in un esercizio una massa m, sia inizialmente a contatto con una molla, di costante elastica nota k, mantenuta compressa di una lunghezza x 0 rispetto alla posizione di equilibrio, che venga poi rilasciata. La massa dopo aver percorso un tratto orizzontale, arriva ai piedi di una collina (tipicamente un piano inclinato) ed inizia a salire. Supponiamo che l esercizio chieda a quale altezza massima h max puo arrivare la massa, supponendo che durante tutto il moto non ci sia attrito. Siano assegnati i valori di m, k ed x 0. 4

5 In tutte le fasi del moto l energia meccanica si conserva: inizialmente e puramente potenziale elastica 2 kx2 0 dove x 0 e la compressione iniziale della molla. Ai piedi della collina e tutta cinetica 2 mv2 dove v e la velocita della massa sul piano orizzontale. Nel punto di massima altezza h max in cui puo arrivare sulla collina, la massa ha velocita nulla e l energia e tutta potenziale della forza peso: mgh max. Ai fini dell esercizio, basta uguagliare le due espressioni iniziale e finale dell energia, ottenendo un unica equazione da cui ricavare h max : 2 kx2 0 = mgh max. Il valore della velocita della massa sul tratto orizzontale non serve a risolvere il problema (a meno che non sia richiesto in un altro quesito), tuttavia, osservando compiti in cui erano assegnati problemi analoghi, si vede la tendenza ad applicare la conservazione dell energia solo nel moto sul tratto orizzontale. Cosi l esercizio verrebbe risolto ricavando prima il valore di v usando la conservazione dell energia (correttamente) 2 mv2 = 2 kx2 0 e poi utilizzandolo come valore iniziale della velocita nel moto uniformemente decelerato di salita sul piano inclinato. In questo modo il problema puo essere comunque risolto correttamente, ma in modo molto piu dispendioso. 6 Le quattro fasi del moto armonico Quanto tempo impiega una massa m a comprimere una molla di costante elastica k?. La risposta sbagliata e la risposta esatta e t? = T 2 t = T 4, dove T = 2π m/k e il periodo di oscillazione del moto armonico. Infatti, supponiamo che la molla venga compressa verso destra, abbiamo quattro fasi del moto armonico, prima che un oscillatore armonico torni nella situazione iniziale.. dalla posizione di equilibrio alla massima compressione (velocita diretta verso destra con modulo in diminuzione dal massimo valore a zero) 5

6 2. dalla massima compressione alla posizione di equilibrio (velocita diretta verso sinistra con modulo in aumento da zero al massimo valore) 3. dalla posizione d equilibrio la massimo allungamento (velocita diretta verso sinistra con modulo in diminuzione dal massimo valore a zero) 4. dal massimo allungamento alla posizione d equilibrio (velocita diretta verso destra con modulo in aumento da zero al massimo valore) A quel punto la molla e tornata alla posizione di partenza, anche la velocita ha lo stesso modulo e verso di partenza ed e passato un tempo pari al periodo T,. La massima compressione e solo la prima delle quattro fasi e si compie in t = T/4. Una possibile fonte di confusione e il fatto che se la massa non e attaccata alla molla essa si distaccherebbe alla fine della fase 2, ma questo non cambia il fatto che le prime due fasi sono quelle di un moto armonico, ognuna di durata pari ad un quarto del periodo. 7 Fattori di conversione In alcuni esercizi l unica difficolta (che non dovrebbe esserci) e la conversione tra unita di misura. Ad esempio, se un cubo ha lato di 0cm e la densita del materiale di cui e fatto e di 500kg/m 3 occorre riportare tutto alle stesse unita, ad esempio scrivendo il volume in metri cubi V = (0cm) 3 = (0 m) 3 = 0 3 m 3 Notare come l uso delle potenze di dieci renda il calcolo piu sicuro che scrivere numeri con virgola e (molti) zeri. Occorre essere sicuri su questi passaggi facendo esercizi. 8 Temperature in liberta Se due sistemi con calori specifici diversi e temperature iniziali T e T 2 sono messi in contatto termico, la temperatura d equilibrio e : T e = m c T + m 2 c 2 T 2 m c + m 2 c 2, con il valore di T e sempre intermedio tra le temperature iniziali massima e minima. Cioe, se ad esempio T < T 2, allora T < T e < T 2 (2) Non controllare questo fatto, e non accorgersi che, a causa di un errore, le tre temperature non verificano le disuguaglianze (8), rende l esercizio sbagliato. Ci sono due osservazioni che possono facilitare i calcoli. Come si vede, l espressione per T e contiene la combinazione massa calore specif ico sia a numeratore che a denominatore. Per cui qualunque scelta consistente di unita, ad esempio scrivere tutte le masse in grammi o tutte in kilogrammi, non altera il risultato perche l unita di massa, g o kg, si semplifica tra numeratore e denominatore. Inoltre si puo sostituire il valore delle temperature indipendentemente in gradi Celsius o Kelvin. Si otterra rispettivamente il valore corretto in Celsius o in Kelvin (provare per credere). 6

7 9 Le unita della costante dei gas R Le unita piu usate per R sono J R = 8, 3 molk = l atm molk = 2 cal molk. Quale espressione scegliere dipende dalle unita usate per le altre grandezze termodinamiche. Per non sbagliare, come si e gia detto in precedenza, Si devono sempre sostituire i valori numerici delle grandezze fisiche insieme alle loro unita di misura. Questo eliminerebbe gli errori seguenti, in problemi che riguardano gas ideali: Temperatura di un gas ideale dati volume e pressione rispettivamente in litri e atmosfere rispettivamente n = mol, V = 4l; p = atm, T = pv? = 4 nr 8.3 = 0.48K Notare il non aver esplicitato le unita di misura di V, p ed R vicino ai valori numerici e l aggiunta a mano di K al risultato finale sbagliato. Evidentemente l espressione corretta della temperatura e T = 4L atm mol 0.082L atm/(molk) = 48.7K dove le unita di misura di litri ed atmosfere si semplificano ed il risultato finale e effettivamente una temperatura in gradi Kelvin. Lavoro in un isoterma con T = 00K da V a V 2 = 2V. Ancora non esplicitando le unita di misura si rischia di sbagliare prendendo l espressione errata per R ed ottenendo L = nrt ln ( ) V2 V? = 0, ln 2 = 8.2 ln 2 = 5.7J dove ancora una volta l unita di misura J e aggiunta a mano alla fine (o addirittura viene omessa). Il risultato corretto e ( ) V2 J L = nrt ln = mol K ln 2 = 575J molk V In quest ultimo esempio occorre segnalare una fonte d errore numerico: il logaritmo che appare in ln 2 e il cosiddetto logaritmo naturale, mentre nelle calcolatrici e presente anche il logaritmo in base dieci, indicato con log, che non va usato altrimenti si ottiene un valore sbagliato in quanto ln 2 = 0, 7 log 2 = 0, 3. Si e notata nelle correzioni un ulteriore curiosa variante al problema della scelta corretta delle unita della costante dei gas, che consiste nell usare nel calcolo di lavoro e calore il valore di R in l atm/(moli K) e di scrivere il risultato finale in unita l atm. Anche se alla fine il risultato e corretto, sarebbe meglio convertirlo nelle ben piu usuali unita di Joule o di calorie 7