Esercizio (tratto dal Problema 1.3 del Mazzoldi)

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1 Esercizio tratto dal Problema.3 del Mazzoldi) In un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel minor tempo possibilie un tratto d Km, partendo ed arrivando da fermo. Le caratteristiche dell auto sono tali che l accelerazione massima è a.5 m/s, mentre il sistema di freni permette una decelerazione massima a 3.8 m/s. Supponendo che il moto sia rettilineo, determinare il tempo t f ottenuto nella prova.

2 SOLUZIONE DATI INIZIALI d 000 m a.5 m/s a 3.8 m/s Per poter minimizzare il tempo, il pilota accelera al massimo finché è possibile, fino ad un certo istante t ancora ignoto) per poi frenare in modo da poter arrivare al traguardo con velocità nulla, come richiesto. Denotando con t f l istante finale di arresto ancora ignoto), osserviamo che il moto si compone di due fasi: fase : 0 t t moto uniformemente accelerato con accelerazione a ) fase : t t t f moto uniformemente accelerato con accelerazione a negativa) Scegliamo l origine x 0 nel punto di partenza dell auto. Possiamo risolvere il problema in due modi:. PRIMO MODO a) Scriviamo la legge oraria dell automobile per ciascuna delle due fasi del moto: Fase Si tratta di un moto uniformemente accelerato con accelerazione a, di cui sappiamo che l auto parte dall origine e da ferma con velocità nulla). Pertanto abbiamo xt) a t vt) a t at) a 0 t t ) da cui possiamo ricavare la posizione e la velocità dell auto all istante t istante finale di questa prima fase del moto), ossia x xt ) a t 3) v vt ) a t Fase Si tratta di un moto uniformemente accelerato con accelerazione a, che inizia all istante t in cui l auto si trova alla posizione x ed ha velocità v. Pertanto abbiamo xt) x + v t t ) + a t t ) vt) v + a t t ) t t t f 4) at) a Sostituendo le espressioni per x e v trovati nella 3) otteniamo in particolare xt) a t + a t t t ) + a t t ) t t t f 5) vt) a t + a t t )

3 3 La legge oraria delle due fasi è rappresentata in Fig., in cui la prima fase ) è descritta da una parabola con concavità verso l alto e la seconda fase 4) da un tratto parabolico con concavità verso il basso. x d x t t f t Figure : Grafico della legge oraria della posizione, composta dalle due fasi del moto ) e 4). b) Sappiamo ora che, all istante finale t f della seconda fase, l auto si trova alla posizione d e che ha velocità nulla. Pertanto imponiamo che xt f ) d 6) vt f ) 0 ossia, usando la 5) e sostituendovi come input l istante t t f : xt f ) a t + a t t f t ) + a t f t ) d vt f ) a t + a t f t ) 0 7) che è un sistema di due equazioni nelle due incognite t e t f mentre tutti gli altri sono dati noti). c) Per risolvere il sistema 7), ricaviamo dalla seconda equazione e lo sostituiamo nella prima delle 7) t f t a t a 8) a t a t a t + a a a a t d 9) a t a t a d 0) a t a ) a d )

4 4 da cui otteniamo Dalla 8) ricaviamo ora t f d t ) ) a a a a ) a t a ) d ) a a a a d a ) a a 3) e ricordando che a a si ha t f d + a ) a a 4) Sostituendo ora i dati t f 000 m/.5 m/ +.5 m ) / s 3.8 m / s s 000 s s 5). SECONDO MODO a) Scriviamo le leggi orarie della velocità nelle due fasi del moto a t 0 t t vt) t t t f 6) v a t t ) t t t f rappresentata graficamente in Fig.. Dal significato di accelerazione come pendenza della legge oraria della velocità ricaviamo a v t v a t Uguagliando le espressioni per v si ottiene a v t f t v a t f t ) 7) a t a t f t ) 8) a + a ) t a t f 9) t a a + a t f 0)

5 5 v v t t f t Figure : Grafico della legge oraria della velocità, composta dalle due fasi del moto ) e 4). 3. Sfruttiamo ora il significato geometrico dell area sottesa dalla legge oraria della velocità tf vt) dt 0 }{{} area sottesa xt f ) x0) }{{} spazio percorso ) Sfruttando l espressione dell area del triangolo otteniamo t f v t f a t d [uso la prima delle 7)] d t f a a a + a t f d [inserisco la 0)] t f d a + a a a d t f + a ) a a ) che coincide col risultato 4) trovato nel primo modo.