Esercitazioni del 09/06/2010

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1 Esercitazioni del 09/06/2010 Problema 1) Un anello di massa m e di raggio r rotola, senza strisciare, partendo da fermo, lungo un piano inclinato di un angolo α=30 0. a) Determinare la legge del moto. b) Se µ=0,3 e il coefficiente di attrito, quale e il massimo angolo α di inclinazione oltre il quale l anello comincia a scivolare? Si trascuri l attrito volvente. Soluzione a) Possiamo operare in due modi 1) Conservazione dell energia L unica forza che fa lavoro e la forza peso. Scriviamoci la conservazione dell energia: Il rotolamento perfetto implica che e. Il momento di inerzia di un anello vale. Inoltre il dislivello h e collegato alla coordinate x da. Dunque Per ottenere l accelerazione deriviamo l espressione rispetto al tempo da cui 2) Equazioni cardinali Scegliamo come polo un punto O sul piano lungo la traiettoria. La coppia di forze (uguali), costituita dalla componente della forza peso perpendicolare al piano e la reazione vincolare, ha braccio nullo, quindi non compaiono nella seconda equazione cardinale.

2 Il momento angolare del disco rispetto al polo e Sostituendo come sopra. b) Usando la seconda delle equazioni cardinali scritte in precedenza abbiamo: La forza di attrito statico soddisfa la seguente relazione Combinando abbiamo Sostituendo l espressione per a ottenuta in a): Problema 2) Due masse identiche, collegate da una sbarretta rigida di massa trascurabile, poggiano, in quiete, su un piano orizzontale privo di attrito. Una terza massa, identica alle prime due, scivolando sul piano con velocita ortogonale alla sbarretta, urta una delle due masse e vi resta saldata. Si calcoli la percentuale dell energia meccanica iniziale che viene dissipata nell urto. Soluzione

3 Il sistema e isolato ( ) e quindi sia la quantita di moto che il momento angolare si conservano. La velocita del CM e e per la conservazione della quantita di moto essa rimane invariata dopo l urto. Per il calcolo del momento angolare possiamo scegliere come polo un punto che giace sulla retta che descrive la traiettoria del CM. Le distanze delle due masse da tale polo (e dunque dal CM) proiettate nella direzione ortogonale al vettore sono Se dunque imponiamo la conservazione del momento angolare otteniamo Calcoliamo ora l energia cinetica prima e dopo l urto. Dunque l energia cinetica si dimezza. E interessante notare come l energia cinetica rotazionale dipende da dove la massa colpisce la sbarretta, mentre la velocita del CM (come e ovvio) no. Infatti, se ad esempio colpiamo la sbarretta nel CM, allora non vi sara alcuna rotazione (il momento angolare era nullo prima dell urto).

4 Soluzione: a) La sbarretta e soggetta alla forza peso. Il CM si comporta come un grave in caduta libera. Al momento dell urto la sbarretta e caduta di un altezza. La velocita del CM quindi vale verticale e verso il basso. b) La reazione vincolare che agisce durante l urto e perpendicolare al piano e parallelo alla velocita del CM. L impulso ceduto e anche esso parallelo alla velocita. L unica forza impulsiva che agisce durante l urto e proprio il vincolo. Percio la velocita del CM dopo l urto rimarra parallela alla velocita iniziale. Per risolvere il problema possiamo scegliere poli differenti per il calcolo dei momenti. Se scegliamo il punto Ω, che corrisponde al punto dove l' estremo B della sbarretta urta con il piano, allora le forze impulsive esterne hanno momento nullo. Si conserva percio il momento angolare. Possiamo dunque scrivere il momento angolare rispetto ad Ω prima e dopo l urto. In generale vale. Prima e dopo l urto abbiamo percio Uguagliando e usando otteniamo

5 Allo stesso risultato si giungeva ponendo il polo nel CM. In questo caso il vincolo non ha momento nullo e il momento angolare non si conserva. Se J e l impulso ceduto dal vincolo abbiamo quindi Il momento angolare calcolato rispetto al CM vale dell urto la sbarretta non ruota otteniamo. Poiche prima che coincide con il risultato precedente. L urto e elastico e l energia si conserva. Quindi Le due equazioni sono dunque che combinate danno c) Dopo l urto il CM si muove di moto uniformemente accelerato e la sbarretta ruota di velocita angolare. La sbarretta raggiunge la posizione orizzontale quando A tale tempo la distanza del CM della sbarretta dal piano e Problema 4) Un rocchetto e costituito da un cilindro omogeneo pesante di massa m=100g e raggio r=5cm e da due pareti laterali circolari di raggio R=10cm e di massa trascurabile solidali e coassiali con il cilindro. Sul cilindro e avvolto un filo sottile, inestensibile e di massa trascurabile con le spire situate in un piano perpendicolare all asse del rocchetto. Il

6 rocchetto e appoggiato su un piano orizzontale e all estremita libera P del filo viene applicata una forza che lo tende ed e perpendicolare all asse del rocchetto. a) Nell ipotesi che il piano sia scabro, se il filo e avvolto come in figura a) e la forza e parallela al piano e pari a F=1N, determinare l accelerazione del CM del sistema con rotolamento puro. b) Sempre nell ipotesi che il piano sia scabro se il filo e avvolto come in figura b), determinare l angolo α tra la forza applicata e la verticale per il quale il rocchetto si puo muovere di moto traslatorio uniforme. c) La forza F sia ora verticale e orientata verso l alto e il rocchetto sia inizialmente fermo. Con quale accelerazione si deve muovere l estremita del filo affinche il rocchetto si possa muovere di moto puramente rotatorio attorno al suo asse lambendo il piano (senza toccarlo) sempre nello stesso punto? Soluzione a) Se scegliamo come polo un punto che giace sulla traiettoria descritta dal CM, cioe a distanza R dal piano sulla verticale, le equazioni cardinali si scrivono come: Nel caso di rotolamento perfetto e. Eliminando otteniamo: Si poteva giungere allo stesso risultato usando il teorema dell energia cinetica con l accortezza di scrivere lo spostamento del punto di applicazione della forza (P) come somma della traslazione del CM del rocchetto e dello srotolamento del filo. b)

7 Usiamo lo stesso polo per scrivere le equazioni cardinali pero in questo caso i versi del momento della forza F e di quello della forza di attrito sono discordi. Tenendo conto dell angolo α e del fatto che dobbiamo imporre che l accelerazione sia nulla, otteniamo: Combinando la prima e la terza equazione abbiamo c) Se il rocchetto lambisce il piano significa che la risultante delle forze sulla verticale e nulla e che la reazione vincolare e anche essa nulla. Dunque Se il rocchetto lambisce il piano senza toccarlo non c e forza di attrito e quindi la seconda equazione cardinale si scrive come: che da