La teoria delle ombre nelle proiezioni ortogonali

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1 La teoria delle ombre nelle proiezioni ortogonali Nello studio della storia dell'arte è facilmente verificabile come la luce sia sempre stata considerata un importante mezzo espressivo. Artisti di ogni epoca, infatti, per mezzo di contrasti più o meno intensi di luci e ombre sono riusciti a creare atmosfere, a comunicare sensazioni, a rendere vivo e variato il movimento delle superfici. Anche nell'osservazione della realtà ci si accorge che gli oggetti, pure i più comuni, assumono particolari aspetti visivi, grazie alla luce e al colore. La fig. 1 riproduce Speranze deluse di Giuseppe Pellizza da Volpedo, un olio su tela del 1894 conservato a Roma, in una collezione privata. La luce gioca un ruolo fondamentale nella composizione, accentuando le volumetrie che le nitide ombre producono proiettandosi a terra. In architettura la luce è stata definita quarta dimensione ed è un importante strumento progettuale poiché contribuisce a creare uno spazio o a sottolineare le valenze architettoniche. Fig Preliminari Nei disegni geometrici l'applicazione delle ombre, generate da una sorgente di luce sia artificiale sia naturale, è molto utile poiché permette di rendere più evidente la rappresentazione di un oggetto. A tale scopo si studia la teoria delle ombre, applicazione della geometria descrittiva che si occupa degli effetti prodotti dalla luce su un corpo opaco offrendone la spiegazione scientifica. La teoria delle ombre si rifa alla teoria delle proiezioni oblique elaborata da G. Monge. Pagina 1 di 17

2 Ombre portate di punti, segmenti e figure piane. Gli elementi fondamentali per costruire le ombre sono i raggi luminosi (evidenziati negli esempi in colore rosso), che partono da un punto o centro di proiezione (fonte di luce), incontrano un qualsiasi elemento e successivamente generano su un piano, o quadro, zone d'ombra chiamate ombre portate che assumono l'aspetto dell'elemento incontrato. Fig. 2 Pertanto un punto (fig. 2), un segmento (fig. 3), un poligono d'ombra (fig. 4) sono così chiamati quando l'elemento investito dai raggi è rispettivamente un punto, un segmento, un poligono. Fig. 3 Fig. 4 Pagina 2 di 17

3 La sorgente luminosa può essere naturale (Sole o Luna) o artificiale (lampada elettrica o altro mezzo). Nel caso in cui l'ombra sia prodotta dalla luce naturale (fig. 5), data la grandissima distanza del Sole (la distanza media è di km dalla Terra), i raggi luminosi sono rette parallele fra loro, per cui l'illuminazione è definita illuminazione parallela ed è quella maggiormente utilizzata nello studio della teoria delle ombre. Il centro di proiezione è all'infinito e si ha un prisma d'ombra se la figura (corpo opaco) proiettata al piano è un poligono, come nell'esempio. Si ha invece un cilindro d'ombra se il corpo opaco è un cerchio. Fig. 5 Se l'ombra è invece prodotta dalla luce artificiale (fig. 6) i raggi luminosi sono semirette che partono da un centro finito (lampadina) e risultano divergenti, per cui l'illuminazione è detta illuminazione centrale ed è impiegata limitatamente a casi particolari. Il centro di proiezione è posto a distanza finita e si ha una piramide d'ombra se la figura (corpo opaco) proiettata al piano è un poligono, come nell'esempio. Si ha invece un cono d'ombra se il corpo opaco è un cerchio. Fig. 6 Pagina 3 di 17

4 Ombre portate da un punto con raggio luminoso a inclinazione qualsiasi Figure assonometriche dimostrative con relative rappresentazioni geometriche di ombre portate reali e virtuali di un punto P sospeso sul primo diedro con raggio a inclinazione qualsiasi. Per la risoluzione dei vari problemi riguardanti le ombre in proiezione ortogonale si ripropongono alcuni casi già studiati nelle pagine precedenti, fra cui le condizioni di appartenenza. Nelle proiezioni ortogonali le ombre prodotte dalla sorgente luminosa naturale vengono rappresentate sui due quadri, orizzontale e verticale, per mezzo di un piano proiettante in prima, che passa per il raggio luminoso r, negli esempi in colore rosso. Questo piano proiettante si chiama piano di luce (in colore giallo negli esempi assonometrici) e, come tutti i piani rappresentati nella geometria descrittiva, viene indicato con una lettera minuscola dell'alfabeto greco (a, p, y ecc). I raggi provenienti dalla luce solare (illuminazione parallela) possono avere un'inclinazione data o un'inclinazione qualsiasi. In questi esempi il raggio luminoso naturale è considerato a inclinazione qualsiasi. Per trovare, per esempio, l'ombra del punto P situato nello spazio (fig. 7), si disegna il piano di luce a che lo contiene (piano proiettante in prima proiezione). Dopo aver trovato le proiezioni del punto P' e P", si definisce l'inclinazione della retta r passante per P che rappresenta il raggio luminoso a inclinazione qualsiasi. Esso giace sul piano α per le già note condizioni di appartenenza. Si procede quindi alla determinazione dell'ombra del punto P come per la ricerca delle tracce di una retta. Nella fig. 7 dimostrativa con relativa descrittiva, l'ombra del punto P, P, è coincidente con la traccia verticale T 2, della retta r (raggio luminoso) per cui si ha: P 2 T 2 r. Per la legge di appartenenza l'ombra del punto P si trova sulla traccia omonima t 2 α del piano di luce α e giace sul semipiano verticale positivo; prolungando la retta r (raggio di luce) si determina (come illustra la fig. 7 dimostrativa) la traccia orizzontate T 1 r del raggio che è anche l'ombra P 1 del punto P giacente sul semipiano orizzontale posteriore negativo. Esso rappresenta l'ombra irreale chiamata ombra virtuale. Fig. 7 Figura assonometrica dimostrativa Fig. 8 Rappresentazione geometrica Pagina 4 di 17

5 Le ombre virtuali, che si trovano sempre su altri diedri, sono necessaria per risolvere i problemi più complessi, come si vedrà in seguito. Nella fig. 9 dimostrativa con relativa descrittiva il piano di luce α che contiene il punto P ha la stessa direzione del piano disegnato in fig. 7. Il raggio luminoso r, essendo variamente inclinato rispetto a quello di fig. 7, proietta l'ombra del punto P, avente la stessa quota e lo stesso aggetto di fig. 7, sul semipiano orizzontale positivo, P 1 T 1 r. L'ombra virtuale, P 2 T 2 r, giace sul semipiano verticale negativo. Il grafico, simile a quello di fig. 7, rende superflui ulteriori chiarimenti. Le figg. 8 e 10 raffigurano la rappresentazione geometrica rispettivamente delle figg. 7 e 9. Fig. 9 Figura assonometrica dimostrativa Fig. 10 Rappresentazione geometrica Pagina 5 di 17

6 Ombre portate da un punto con raggio inclinato a 45" Figura dimostrativa con relativa rappresentazione geometrica di un cubo avente uno spigolo sulla LT e due facce poggianti sul PO e sul PV; successiva individuazione del raggio luminoso r inclinato a 45 e coincidente quindi con la prima e la seconda proiezione della diagonale interna del solido stesso. L'illuminazione parallela è caratterizzata da raggi solari presupposti paralleli fra loro e, per il naturale movimento della Terra, variamente inclinati secondo la stagione, la latitudine, il giorno e l'ora; si è stabilito quindi per convenzione di scegliere, nella realizzazione grafica della teoria delle ombre, raggi le cui proiezioni formano un angolo di 45 con la LT. A tale scopo si traccia la retta r (in fig. 11 in rosso) che rappresenta sia il raggio luminoso sia la diagonale interna del cubo dato (in giallo). Le sue proiezioni r'e r", come si rileva dal grafico, sono anche le diagonali delle due facce del cubo che poggiano su PO e PV, pertanto formano con la LT un angolo di 45. Applicando ora il procedimento per il ritrovamento delle reali dimensioni di un segmento obliquo ai piani fondamentali, si può trovare dalle proiezioni r'e r" la reale inclinazione di un raggio luminoso rispetto alla Terra, di 35 16' circa. Osservando la figura dimostrativa assonometrica e la relativa descrittiva si può quindi concludere che con il ribaltamento sul PV della diagonale interna di un cubo è chiaramente verificabile il reale angolo di incidenza del raggio luminoso sopra citato. Prendendo ora in esame il punto P, vertice del cubo in oggetto ed equidistante pertanto da entrambi i piani di proiezione, la sua ombra orizzontale P 1 è coincidente con quella verticale P 2. L'ombra di P quindi si forma sulla LT. Pagina 6 di 17

7 Figure dimostrativa e descrittiva dell'ombra, in proiezione ortogonale, del punto P equidistante da entrambi i piani di proiezione. Per trovare l'ombra del punto P sospeso nel primo diedro e con aggetto e quota uguali, si disegna il piano di luce α che io contiene (piano proiettante in prima, in giallo in fig. 12). Dopo aver trovato le proiezioni P'e P" del punto dato si prosegue come nelle pagine precedenti, con la sola differenza che le proiezioni r'e r" del raggio luminoso r sono inclinate rispetto alla LT di 45. L'ombra del punto P, come nel caso del vertice di fig. 11, si forma sulla LT. Rappresentazioni geometriche delle ombre, in proiezione ortogonale, del punto P non equidistante dai piani di proiezione. Nella fig. 13 l'ombra del punto P si produce sul PV, perché P è più vicino a detto piano; nella fig. 14 si forma invece sul PO perché P è più vicino a quest'ultimo. I grafici con le relative ombre reali e virtuali sono realizzati con lo stesso procedimento delle pagine precedenti, con la differenza che i raggi luminosi sono inclinati rispetto alla LT di 45. Fig. 13 Fig. 14 Pagina 7 di 17

8 Ombre portate da segmenti I grafici di questa pagina rappresentano in fig. 15 la figura assonometrica dimostrativa e in fig. 16 la relativa descrittiva di ombre portate da segmenti con l'impiego del raggio luminoso inclinato a 45. Per determinare le ombre di segmenti, dopo aver tracciato, come di consueto, le loro proiezioni sul primo e sul secondo quadro, basta trovare le ombre dei punti estremi del segmento e poi congiungerle. Nella rappresentazione geometrica delle figg. 16 si può facilmente constatare che l'andamento dell'ombra portata da un corpo opaco (nell'esempio, dal segmento) è vincolato alla posizione spaziale dello stesso e si può formare interamente sia sul PO sia sul PV, oppure parte sul PO e parte sul PV. Per ottenere l'ombra di un segmento si fanno passare i raggi luminosi per le proiezioni degli estremi, utilizzando la squadra a 45. Dai punti d'incontro dei raggi con la LT si prosegue tracciando le perpendicolari alla stessa LT, essi, intersecando i corrispondenti raggi disegnati nell'altro piano, formano i punti d'ombra degli estremi che, uniti, determinano l'ombra richiesta. Per rendere più chiara l'immagine grafica, sia nella figura assonometrica dimostrativa sia nella rappresentazione geometrica, il segmento dato AB e le relative proiezioni A'B' e A"B" sono stati evidenziati in colore verde; i raggi luminosi con le relative frecce di direzione sono stati tracciati in colore rosso; i segmenti d'ombra ottenuti sono stati disegnati in colore nero. Nella fig. 16a il segmento dato AB è disposto parallelo al PO e al PV e, poiché si trova più vicino al PV, la sua ombra si forma solamente su quest'ultimo. Pagina 8 di 17

9 Nella fig. 16b il segmento dato AB è disposto parallelo al PV e obliquo al PO ed è più vicino al PO, per cui la sua ombra cade interamente su quest'ultimo. La fig. 16c mostra il segmento AB perpendicolare e tangente con l'estremo B al PV, e più vicino a quest'ultimo; la sua ombra, pertanto, cade interamente sul PV e l'estremo B, essendo tangente al PV, non aggetta ombra; si ha quindi B B 2. Pagina 9 di 17

10 Nella fig. 16d il segmento dato AB è perpendicolare al PO e ha distanze tali dai quadri fondamentali da aggettare ombra sia sul PO, dove segue la direzione del raggio, che sul PV, dove risulta parallelo ad A"B". Inoltre in quest'ultimo esercizio proposto è chiaramente riscontrabile che, per ogni segmento perpendicolare ai quadri di proiezione la cui ombra cade su entrambi i piani, non è necessario l'impiego dell'ombra virtuale (A ",) nell'esempio. Pagina 10 di 17

11 Ombra portata da un segmento con l'impiego del raggio luminoso inclinato a 45 Figure assonometriche dimostrative con relativa rappresentazione geometrica di un segmento aggettante ombra in parte sul semipiano orizzontale positivo e in parte sul semipiano verticale positivo. Fig. 17 In fig. 17 il segmento dato AB è obliquo al PV e parallelo al PO. Per determinare la sua ombra il procedimento iniziale è analogo a quello degli esercizi proposti nel paragrafo precedente. Continuando a operare ci si accorge però che le ombre degli estremi A e B non cadono su uno stesso piano. Infatti in questo esercizio, come si può osservare sia nella figura spaziale sia nella relativa descrittiva, l'ombra dell'estremo A, A 2, cade sul semipiano verticale positivo, PV+ e quella dell'estremo B, B0,, si proietta sul semipieno orizzontale positivo PO+. Chiaramente i due punti d'ombra, A 2 e B 1 non si possono congiungere direttamente, poiché si trovano su piani diversi. Fig. 18 Occorre, quindi, ricercare l'ombra virtuale di uno dei due estremi, nell'esempio dell'estremo B, che è situata sul semipiano verticale negativo in (B 2). I due punti d'ombra, quello reale A 2 e l'altro virtuale (B 2 ), poiché si trovano su uno stesso piano verticale, si possono congiungere intersecando la LT nel punto 1. Unendo le due ombre reali A 2 e B 1 degli estremi con il punto d'intersezione 1 si ottiene l'ombra richiesta del segmento AB. In fig. 18 il segmento dato AB è inclinato rispetto a entrambi i piani. Per determinare la sua ombra si procede come negli esercizi proposti nelle pagine precedenti e nell'esempio di fig. 17. Anche in questo caso è necessario l'impiego dell'ombra virtuale, poiché le ombre portate dagli estremi A e B si trovano su piani diversi. Il grafico rende superflui ulteriori chiarimenti. Pagina 11 di 17

12 Ombre portate da figure piane con l'impiego del raggio luminoso inclinato a 45 Figure assonometriche dimostrative con relative rappresentazioni geometriche di ombre portate da un rettangolo parallelo al PO. Per determinare le ombre portate da figure piane si procede trovando le ombre portate dai singoli vertici della figura e successivamente congiungendo tali ombre. L'operazione è quindi identica a quella eseguita per ottenere le ombre di segmenti (esercizi proposti nelle pagine precedenti). In fig. 19 il rettangolo dato ABCD (evidenziato in colore verde assieme alla sua proiezione) è disposto parallelo al PO e, poiché si trova più vicino a questo piano, la sua ombra (evidenziata in colore grigio) si forma solamente sul PO e risulta parallela e uguale alla figura stessa. L'ombra del rettangolo A, B, C,D, è quindi uguale alla figura data ABCD e alla sua prima proiezione A'B'C'D'. In fig. 20 il rettangolo ABCD è uguale a quello di fig. 19 e, come esso, è parallelo al PO: la sola differenza è che i lati BC e AD sono rispettivamente l'uno più vicino al PV e l'altro più vicino al PO. Pertanto, l'ombra della figura cade su entrambi i piani di proiezione. Infatti, come mostrano la figura spaziale e la relativa descrittiva, il lato BC proietta la sua ombra sul PV e il lato AD proietta la sua ombra sul PO. I punti d'ombra B 2, C 2 e A 1, D 1 dei vertici, pur cadendo su due piani diversi, possono essere uniti fra loro senza l'impiego dell'ombra virtuale (C 1 nell'esempio) perché, come per i segmenti perpendicolari a uno dei quadri (fig. 16d), i due lati DC e AB del rettangolo, aggettanti ombra su entrambi i piani, sono perpendicolari al PV. Fig. 19 Fig. 20 Pagina 12 di 17

13 Figure assonometriche dimostrative con relative rappresentazioni geometriche di ombre portate da un rettangolo parallelo al PV. Le proiezioni dell'ombra portata dai rettangoli ABCD delle figg. 21 e 22, paralleli al PV (evidenziati in colore verde assieme alle relative proiezioni), sono determinate come quelle della pagina precedente. Come nei precedenti esercizi, i raggi luminosi inclinati a 45, assieme alle relative frecce di direzione, sono tracciati in rosso e le ombre ottenute sui piani di proiezione sono evidenziate in colore grigio. Fig. 21 Fig. 22 Pagina 13 di 17

14 Rappresentazioni geometriche di ombre portate da un triangolo equilatero, da un esagono e da un pentagono regolari paralleli al PO. In fig. 23 l'ombra A 1, B 1, C 1, cade interamente sul PO (in grigio) ed è stata ottenuta con procedimento analogo a quello usato per la fig. 19 con due sole differenze: i raggi luminosi sono inclinati in direzione opposta (v. anche fig. 25), e nessun lato del triangolo è parallelo alla LT (v. anche figg. 24 e 25). Fig. 23 In fig. 24 l'ombra dell'esagono regolare ABCDEF, parallelo al PO e con i lati obliqui al PV, risulta proiettata su entrambi i piani di proiezione; pertanto, come si può osservare nel grafico, è necessario l'impiego delle ombre virtuali dei vertici B e D, ossia (B 1 ) e (D 2 ) che, unite rispettiva-mente con le ombre reali A 1 e C 2 dei vertici A e C, determinano sulla LT i punti 1 e 2; congiungendo 1 con B 2 (ombra reale di B) e 2 con D 1 (ombra reale di D) si individua l'ombra portata dall'esagono. Fig. 24 Fig. 25 In fig. 25 l'ombra del pentagono regolare, parallelo al PO, con il vertice D sul PV e con i lati obliqui allo stesso PV, cade su piani diversi; quindi anche in questo caso occorre determinare le ombre virtuali, nell'esempio (D 1 ) e (E 1 ) dei vertici D ed E che, come nell'esercizio precedente, individuano sulla LT punti 1 e 2; essi, uniti rispettivamente alle ombre reali E 2 e D 2 (quest'ultima coincidente con la seconda proiezione D ), determinano l'ombra portata dal pentagono. Pagina 14 di 17

15 Rappresentazioni geometriche di ombre portate da un triangolo equilatero, da un esagono e da un pentagono regolari paralleli al PV. In fig. 26 l'ombra del triangolo equilatero, parallelo al PV e con i lati obliqui al PO, si proietta su piani diversi; pertanto, dopo aver trovato le ombre reali A 1 e C 1 dei vertici A e C che cadono sul PO e l'ombra reale B 2 del vertice B che cade sul PV, occorre individuare l'ombra virtuale dello stesso vertice B, ossia (B 1 ), che unito con A 1 e C 1 interseca la LT nei punti 1 e 2. Essi, congiunti con l'ombra reale B 2, completano le proiezioni del contorno dell'ombra portata appartenente al PO e al PV del triangolo ABC. Fig. 26 Fig. 27 In fig. 27 l'ombra dell'esagono regolare, parallelo al PV, con i lati obliqui al PO e tangente con un vertice allo stesso PO, si proietta su entrambi i piani di proiezione; pertanto, è necessario individuare le ombre virtuali dei vertici A e D, ossia (A 1 ) e (D 2 ), che, unite rispettivamente con le ombre reali F 1 e C 2 dei vertici A e C, determinano sulla LT i punti 1 e 2. Si procede come per le figg. 24 e 25 e si individua l'ombra portata dall'esagono. In fig. 28 l'ombra portata dal pentagono ABCDE si forma interamente sul PV: si procede, quindi, come per la fig. 23 (triangolo equilatero). Fig. 28 Pagina 15 di 17

16 Ombre portate da un cerchio con l'impiego del raggio luminoso inclinato a 45 Le ombre di cerchi, che sono casi particolari di ombre portate da figure piane, possono risultare cerchi uguali alle figure date, ellissi, oppure in parte cerchi e in parte ellissi. Rappresentazioni geometriche di ombre portate da un cerchio parallelo al PO. In fig. 29, dato un cerchio (in colore verde) parallelo e più vicino al PO, la sua ombra si proietta completamente sul piano orizzontale e per determinarla basta trovare la proiezione dell'ombra del centro O e disegnare, con raggio uguale a quello della figura data, il cerchio ombra (evidenziato in colore grigio). Fig. 29 Fig. 30 In fig. 30, dato il cerchio (in colore verde) parallelo al PO, la sua ombra è proiettata su entrambi i piani. Per determinarla si procede per punti. Si inizia a trovare la parte di ombra che cade sul PO, a cui il cerchio è parallelo. A tale scopo è necessario ricercare l'ombra 0 1 del centro O che, in questo caso, si trova sul PO e tracciare poi, con lo stesso raggio del cerchio dato, la circonferenza che incontra nei punti A e B la LT e delinea l'ombra sul PO. Per completare l'altra parte di ombra che cade sul PV è sufficiente raccordare, con curve ellittiche, A e B alle ombre 2 2, 3 2, 4 2 dei punti 2, 3, 4. Per ottenere con più precisione la curva ellittica dell'ombra proiettata sul PV si possono trovare, come mostra l'esempio grafico, le ombre virtuali (1 2 ) e (5 2 ) dei punti 1 e 5 che, nel raccordarli rispettivamente con le ombre reali 2 2 e 4 2 dei punti 2 e 4, devono passare esattamente per i punti trovati A e B. Si può quindi osservare che, a operazione compiuta, l'ombra giace, in questo caso, in parte sul PO, dove conserva la forma e la dimensione del cerchio dato, e in parte sul PV, dove assume l'aspetto di un'ellisse il cui centro è individuato dall'ombra virtuale (0 2 ) di O. Pagina 16 di 17

17 Rappresentazioni geometriche di ombre portate da un cerchio parallelo al PV. Per queste figure il procedimento è analogo a quello degli esempi precedenti, con la sola differenza che in questi due casi, essendo il cerchio parallelo al PV, la sua ombra risulta nella fig. 31 proiettata completamente sul PV e nella fig. 32 in parte sul PV, dove conserva la forma e la dimensione del cerchio dato e il cui centro è individuato nell'ombra virtuale (0 2 ) di O, e in parte sul PO, dove assume l'aspetto di un'ellisse. Fig. 31 Fig. 32 Bibliografia: Franco Formisani, Spazio immagini volume B, 3 edizione, Loescher, ISBN B pagg. B2-B13 Appunti a servizio dei miei studenti frequentanti: il corso Grafica e Comunicazione all istituto Meroni di Lissone. Marzo 2013 Pagina 17 di 17