FAM. = 5 4 Mc2 = E C = 5 2 Mc2 1 v2. c 2. 2 M 2M) = 1 2 Mc2

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1 Serie 19: Soluzioni FAM C. Ferrari Esercizio 1 Collisione completamente anelastica Utilizziamo la conservazione dell energia e della quantità di moto (sistema isolato) in cui trattiamo A e B all inizio del processo come particelle senza interazione, il processo di interazione (sovente molto complesso) non ci interessa, e consideriamo unicamente la situazione finale. L ipotesi di non interazione è giustificata sulla base della debole portata (=raggio d azione) delle forze nucleari tra le particelle. 1. Le particelle hanno stessa massa e stessa velocità quindi stessa massa inerziale, quindi stessa energia totale e quindi stessa norma della quantità di moto, la collisione è frontale e quindi, utilizzando l estensività e la conservazione otteniamo p A + p B = 0 = p C = 0 = v C = 0 L ipotesi di non interazione iniziale tra A e B e la conservazione dell energia ci permettono di scrivere E A +E B = E C ma E A = E B e quindi E C = E A, ora E A = m A = M A = 5 4 Mc = E C = 5 Mc 1 v L energia E C corrisponde unicamente all energia di riposo e quindi M C = E C / da cui M C = 5 M. Abbiamo E cin in = (E A M A ) = ( 1 4 M A) = 1 Mc = E cin = 1 Mc M = [M C (M A +M B )] = ( 5 M M) = 1 Mc La perdita di energia cinetica corrisponde all aumento di massa, ossia all aumento dell energia di riposo. 1

2 Esercizio Disintegrazione Consideriamo il sistema di riferimento del centro di massa R CM definito da p tot = 0. Per la conservazione della quantità di moto otteniamo p CM M B = M C = M abbiamo vb CM = vcm C. Utilizzando la conservazione dell energia abbiamo B = pcm C, da cui visto che E CM A = ECM B M A = M B 1 [vcm B ] CM = vb = c 1 (M/M A ). Si ottiene la velocità rispetto ad R utilizzando la composizione delle velocità associate alle trasformazioni di Lorentz dal sistema di riferimento R al sistema di riferimento R CM con il parametro u = 0,8c (supponendo l asse x 1 sulla traiettoria delle particelle B e C): otteniamo v B = vcm B +u 1+ uvcm B 1 (M/MA ) = c +0,8 1+0,8 1 (M/M A ). Esercizio 3 Disintegrazione di un pione 1. La conservazione della quantità di moto e dell energia danno p µ + p ν = p π = 0 = p µ = p ν E µ +E ν = E π dove E µ = c p µ +Mµ, E ν = c p ν, E π = M π sostituendo ed utilizzando la conservazione della quantità di moto otteniamo p µ = (M π c p µ ) M µ c = p µ = (M π M µ )c M π e quindi sostituendo p µ possiamo trovare E µ E µ = (M π +M µ )c M π. Ora con p = E v possiamo trovare v µ :. v µ = 0,71c. v µ = M π M µ c Mπ +M µ

3 Esercizio 4 Effetto Compton. Sia E 0 = M e ed E l energia dell elettrone dopo la collisione; allora dalla conservazione dell energia abbiamo E 0 +E i = E +E f mentre la conservazione della quantità di moto dà { { (E i /c) = (E f /c)cosθ + p cosφ 0 = (E f /c)sinθ + p sinφ = [(E i /c) (E f /c)cosθ] = p cos φ [ (E f /c)sinθ] = p sin φ, da cui [E i E f cosθ] +[E f sinθ] = p = E i +E f E i E f cosθ = p. Ma e otteniamo quindi E = p +E 0 = c p = E E 0 E i +E f E i E f cosθ = E E 0. Con la conservazione dell energia si elimina E e si ottiene E i +E f E i E f cosθ = (E i E f ) +(E i E f )E 0 da cui il risultato cercato. 3. L energia del fotone diminuisce, il fotone ha ceduto una parte della sua energia per mettere in moto l elettrone. Osservazione: L effetto Compton, che corrisponde alla diffusione elastica (nel senso che non vi è trasformazione di energia cinetica in altre forme di energia) di un fotone ad opera di un elettrone, è stato ampiamente studiato negli anni da A.H. Compton utilizzando raggi X (sono dei fotoni ad alta energia), egli vinse per tale studio il Premio Nobel nel 197. Osservazione bis: Il fotone può essere considerato come una particella di luce, o più generalmente di radiazione elettromagnetica. Quest ultima è caratterizzata da una frequenza ν. L energia di un fotone è data dalla relazione di Planck E = hν h = costante di Planck = 6, Js. Dal calcolo di questo esercizio osserviamo che nella diffusione Compton la frequenza del fotone diminuisce in accordo con i risultati sperimentali di Compton. 3

4 Esercizio 5 Collisione elastica di due protoni. Indichiamo con l indice in le variabile del protone incidente, con l indice out le variabili dei due protoni dopo la collisione (per ipotesi identiche per entrambi i protoni). La conservazione dell energia e della quantità di moto ci danno(per la quantità di moto proietta sugli assi x 1 e x ) E in +M p = E out p in = p out cos θ = cos θ = p in p out e abbiamo pure le relazioni p in = E in M pc 4 p out = E out M pc 4 che possono essere riscritte come p in =(Ein cin +M p ) Mp 4, =Ein cin (M p +Ein cin ) p out =(E cin out +M p ) M pc 4 =Ecin out (M p +Eout cin ) =Ein cin (M p +Ein cin /4) dove abbiamo utilizzato che Eout cin = 1/Ecin (conseguenza della conservazione dell energia e dell ipotesi che l urto è elastico). Otteniamo quindi cos θ = p in 4 p out = M p +Ein cin 4M p +E cin utilizzando la relazione cosθ = cos θ 1 otteniamo il risultato cercato. 3. Abbiamo ) 1/ E cin /M = (1 v 1 per v/c 1 otteniamo E cin /M 1, il limite non relativistico in termini di energia corrisponde a E cin M. Al contrario, per v c abbiamo E cin /M 1 ed il limite ultrarelativistico corrisponde a E cin M. L angolo tra i due protoni emessi ha il seguente comportamento: Limite NR: cosθ 1 ossia θ π ; questo risultato lo si ottiene anche con la meccanica newtoniana (verficalo!). Limite UR: cosθ 0 ossia θ Abbiamo M p = 938,79MeV/. Caso 1: θ = 89,9 o ; è un caso di limite NR. Caso : θ = 63,63 o ; è un caso relativistico. 4 in

5 Caso 3: θ = 8,13 o ; è un caso che si avvicina al limite UR. 5. Prima figura: limite NR, angolo di circa 90 o. Seconda figura: caso R, angolo inferiore a 90 o. Osservazione: La verifica sperimentale della compressione dell angolo di diffusione θ è stata osservata per la prima volta nel 193 da F.C. Champion con degli elettroni relativistici. Esercizio 6 Soglia di reazione per la produzione di particelle In questo esercizio è necessario utilizzare l estensività e la conservazione del tetravettore p e l invarianza della forma quadratica q η applicata al tetravettore p. L estensività di p permette di scrivere ( ) Eπ /c+e p in = p /c p π + p p e ( ) EK /c+e p fin = Λ /c p K + p Λ rispetto a ogni sistema di riferimento inerziale. La conservazione di p permette di scrivere p in = p fin. L invarianza di q η (p) permette di scrivere q η (p) = q η (p ). 1. Utilizzando le ultime due uguaglianze otteniamo Sia R R CM. Applicando (??) otteniamo utilizzando q η (p in ) = q η (p in ) = q η(p fin ). (1) (E π +E p ) / + p π = (E K +E Λ) / S/ p π = E π M π c4 possiamo determinare l energia minima del pione E π = S (M pc 4 +M πc 4 ) M p = (M K +M Λ ) (M pc 4 +M πc 4 ) M p. L energia cinetica del pione vale quindi E cin π = E π M π.. E π = 906MeV e E cin π = 767MeV. 5

6 3. Abbiamo da cui v π = 0,988c. v π = 1 M π c4 E π 4. Basta adattare la formula ottenuta qui sopra E A = (M C +M D ) (M A +M B ) M B. Esercizio 7 Soglia di reazione per la produzione di coppie e e + 1. Il principio di conservazione della carica elettrica impone la produzione di una particella di carica positiva ed una di carica negativa. La conservazione della carica elettrica è un altro principio di conservazione fondamentale.. Supponendo trascurando la variazione di energia del nucleo la conservazione dell energia dà E γ = ( E cin e +M e c) + ( E cin e + +M e +c) e l energia minima corrisponde alla situazione in cui E cin e = E cin e + = 0, quindi E γ M e = E γ 1,0MeV. Osservazione: La scoperta del positrone risale al 193 ad opera di C.D. Anderson che osservò delle particelle con stessa massa dell elettrone, ma carica elettrica opposta. Il fisico teorico Dirac aveva previsto l esistenza del positrone nel 197. Esercizio 8 Confronto collisione in BF e in CF 1. Modalità bersaglio fisso (BF): dall ultima relazione dell esercizio 13 abbiamo S = (M A +M B )c4 +E A M B = M (M +E), nella modalità collisione frontale(cf), viste le ipotesi R Lab = R CM, otteniamo semplicemente S = EA +E B = E.. Utilizzando le relazioni qui sopra e E = p +m c 4 otteniamo: modalità BF: S S p c = 4M c S = 1 4 M S 4M c 4 modalità CF: p c = S 4 M c 4 = 1 S 4M c 4. 6

7 3. Abbiamo S p BF = p CF M quindi per un valore fissato di S la quantità di moto richiesta nella modalità BF è S volte quella richiesta nella modalità CF. È preferibile utilizzare la M modalità CF quando S 1. Ciò dipende dalla masse delle particelle da M scontrare e dalle masse delle particelle da creare. 4. Abbiamo S = p +M p c4 = 630GeV, Nella modalità CF per ottenere lo stesso valore di S p dovrebbe valere 1TeV/c, ossia i protoni dovrebbero essere 670 volte di più energetici di quelli nella modalità CF. 5. Grandi masse corrispondono ad un valore di S molto grande, e di conseguenza delle quantità di moto molto grandi, cosa tecnicamente non disponibile agli inizi della ricerca delle particelle subatomiche (anni 30). 7