Stabilità di sistemi di controllo con feedback. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

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1 Stabilità di sistemi di controllo con feedback Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada 1

2 Stabilità Hp: asintoticamente stabili tutte FdT attraverso cui i disturbi entrano nel sistema facciamo riferimento allo schema w + - L(s) y Hp: mettendo in evidenza la funzione di trasferimento d anello L(s) = R(s) G(s) L(s) funzione di trasferimento di un sistema dinamico strettamente proprio. se, nel formare L(s), vi sono cancellazioni tra R(s) e G(s) esse devono essere asintoticamente stabili perché il sistema complessivo sia asintoticamente stabile. Quindi: se G(s) ha un polo (zero) a parte reale maggiore o uguale a zero, esso non può essere cancellato da uno zero (polo) di R(s). Obiettivo: studiare la stabilità del sistema in anello chiuso, supposta nota L(s) 2

3 Stabilità Utilizzeremo tre criteri per studiare la stabilità dei sistemi di controllo in anello chiuso: Analisi diretta del polinomio caratteristico Criterio di Nyquist Criterio di Bode 3

4 Analisi del polinomio caratteristico Analisi diretta dei poli del sistema in anello chiuso. ( s) L = ( s) ( ) N D s La funzione di trasferimento, ad esempio, da w a y assume l espressione (ma qualsiasi fdt tra qualunque ingresso e qualunque uscita del sistema in anello chiuso ha il medesimo denominatore D(s)!) : N( s) y( s) L( s) D( s) N( s) = = ( ) ( ) N ( s ) = w s 1+ L s 1+ N( s) + D( s) D s ( ) polinomio caratteristico in anello chiuso : χ ( s ) = N( s) + D( s) Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici di χ(s) hanno parte reale negativa. La condizione di stabilità può essere valutata o calcolando direttamente le radici oppure con il criterio di Routh. 4

5 Analisi del polinomio caratteristico L analisi diretta del polinomio caratteristico è complessa però da utilizzare quando si debba mettersi in ottica di progetto di R(s), che quindi cambierà presumibilmente via via che si fanno i successivi tentativi per arrivare al regolatore definitivo. 5

6 Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist è un criterio grafico di stabilità per sistemi con feedback, nota L(s) Il Criterio di Nyquist si basa sul tracciamento del Diagramma di Nyquist associato a L(s) in base alle seguenti definizioni: Diagramma di Nyquist: diagramma polare della risposta in frequenza di L(s), orientato nel senso delle ω crescenti, cui si aggiunge il simmetrico rispetto all asse reale del piano complesso P: numero di poli a parte reale strettamente positiva di L(s) N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist intorno al punto 1 dell asse reale, contati positivamente se in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto 1, N si dice non definito Mi limiterò a dare l enunciato del Criterio (senza dimostrazione): Criterio di Nyquist: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e risulta N = P Osservazione: se N< il sistema non può essere asintoticamente stabile in anello chiuso! condizione necessaria e sufficiente! 6

7 Esempio Analisi del polinomio caratteristico L ( s) = µ ( 1+ s) 3 ( s) = s 3 + 3s s + 1 µ χ + Criterio di Routh µ 3 1+ µ 1+ µ Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se 8 µ > 1 + µ > 1 < µ < 8 7

8 Criterio di Nyquist L ( s) = µ ( 1+ s) 3 Esempio P = Se µ>, il diagramma di Nyquist qualitativo è: Imaginary Axis P Nyquist Diagram punto (-1,) 1. se P è a sinistra del punto -1, il diagramma compie 2 giri in senso orario intorno al punto -1 N=-2 2. se P è nel punto -1 N non definito 3. se P è a destra del punto -1, il diagramma non compie giri intorno al punto -1 N= Real Axis La condizione N=P è soddisfatta solo in quest ultimo caso. 8

9 Esempio Determinazione del punto P. Vi sono 2 strade, infatti P è associato alla pulsazione ω P Im( L( jωp ) = : L( jωp ) = 18 In questo caso è più comodo seguire la seconda strada: µ L( jω ) = = 3atan( ω ) = π ω = 3 P ( 1+ jω ) P P P 3 La distanza del punto P dall origine è il modulo di L in jω P : µ L( j 3) = 3 = µ ( 1+ j 3) 8 µ 8 la condizione è quindi: < 1 µ < 8 9

10 Esempio Se µ<, il diagramma di Nyquist qualitativo è: Imaginary Axis A Nyquist Diagram punto (-1,) 1. se il punto iniziale A del diagramma è a sinistra del punto -1, il diagramma compie 1 giro orario intorno al punto -1 N=-1 2. se A è a destra del punto -1 N= Real Axis Poiché il punto A è il numero reale µ, dovrà essere µ > 1 µ quindi, il sistema è asintoticamente stabile se e solo se 1 < < 8 1

11 Esempio Si studi la stabilità in anello chiuso del sistema con funzione di trasferimento d anello: utilizzando il criterio di Nyquist. L ( s) 1 = s 1 5 Nyquist Diagram Imaginary Axis punto (-1,) Poiché N=1 e P=1 il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile Real Axis 11

12 Casi particolari del Criterio di Nyquist Caso 1. w + - k G(s) y L ( s) = kg( s) Tracciare invece: Diagramma di Nyquist di G P: numero di poli a parte reale strettamente positiva di G(s) (uguali a quelli di L(s)) N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist di G intorno al punto ( 1/k,) dell asse reale, contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto, N è non ben definito Criterio di Nyquist: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e risulta N = P 12

13 Casi particolari del Criterio di Nyquist Caso 2. w + + retroazione positiva L (s) y schemi a blocchi equivalenti w + retroazione negativa L (s) y 1 L() s = L'() s = kl'() s k = 1 (cfr. Caso 1) Diagramma di Nyquist: di L P: numero di poli a parte reale strettamente positiva di L N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist di L intorno al punto (+1,) dell asse reale, contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto critico (+1,), N non è ben definito Criterio di Nyquist: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e risulta N = P 13

14 Criterio di Bode Torniamo al sistema retroazionato negativamente standard w + - L(s) y introduciamo le seguenti ipotesi su L(s): L(s) non ha poli a parte reale positiva il diagramma di Bode di L(jω) interseca l asse a db una e una sola volta dall alto verso il basso 14

15 Criterio di Bode Per applicare il criterio occorre introdurre delle nuove grandezze IMPORTANTI: Pulsazione critica ω c : ω: L(jω) = 1 Fase critica ϕ c : ϕ c = L(jω c ) db 2 Diagramma di Bode - Modulo ω c Margine di fase ϕ m : ϕ m = 18 ϕ c Guadagno d anello µ L : guadagno di L(s) gradi Diagramma di Bode - Fase -1 ϕ c ϕ m Criterio di Bode: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se: Dimostrazione semplice perché caso particolare del criterio di Nyquist (P=, esprime le condizioni per cui sia N = ) µ L > ϕ > m condizione necessaria e sufficiente! se valgono le ipotesi di applicabilità 15

16 Criterio di Bode Dimostrazione Il criterio di Bode è di fatto l applicazione del criterio di Nyquist al caso particolare in cui P= dà le condizioni per cui il diagramma di Nyquist di L(s) non compia giri intorno al punto (-1,) cioè sia N=. µ L ϕ m ω c Le due condizioni espresse dal criterio (µ L >,ϕ m >) garantiscono che N= e quindi N=P Il vantaggio nell uso del Criterio di Bode, rispetto all applicazione diretta del Criterio di Nyquist, consiste nel fatto che il margine di fase può essere determinato facilmente dai diagrammi di Bode, molto più semplice da tracciare del diagramma di Nyquist. 16

17 Criterio di Bode L ( s) = 1 ( 1+ s) 2 Esempio 3 Ipotesi di applicabilità soddisfatte µ L > si legge ω c dal diagramma di Bode asintotico (calcolarla analiticamente solo se richiesto!) 2 1 ω c 3 rad/s ω c 3 rad/s db -1 si calcola analiticamente il margine di fase ϕ m (mai dedurlo dal diag. di Bode della fase!) ω (rad/s) ( ) = 2 72 = ϕ = 2arctan ϕ c m = 18 ϕ = 36 > c sistema completo, con la retroazione, è asintoticamente stabile 17

18 Verifica con il criterio di Nyquist Nyquist Diagram circonferenza con centro l origine e raggio unitario Imaginary Axis -2 ϕ m Real Axis 18

19 Criterio di Bode ω c L 2 rad/s ( s) = 1 ( 1+ s) 3 db -5 5 Esempio Ipotesi di applicabilità soddisfatte µ L > Diagramma di Bode - Modulo ω c 2 rad/s ϕ c ( 2) = 2 72 = 19. = 3arctan 5 Diagramma di Bode - Fase ϕ m = 18 ϕ = 1.5 < c gradi -1-2 ϕ m < sistema completo, con la retroazione, è instabile 19

20 Verifica con il criterio di Nyquist 8 Nyquist Diagram ϕ m Imaginary Axis Real Axis 2

21 Esempio L ( s) = 1 ( 1 s) 2 Ipotesi di applicabilità NON soddisfatte µ L > Criterio di Bode non applicabile 21

22 Osservazione 1 sul Criterio di Bode La pulsazione critica ω c può essere letta dal diagramma di Bode asintotico del modulo di L(s), a meno che non vi siano rilevanti cambi di pendenza nelle vicinanze del taglio dell asse a db 4 Diagramma di Bode - Modulo db ω c ω c vera approx pulsazione Fare attenzione anche al caso di poli/zeri complessi coniugati. Se lo smorzamento è basso il diagramma asintotico può discostarsi molto da quello vero. 22

23 Osservazione 2 sul Criterio di Bode Si ricorda che un sistema LTI si dice a fase minima se: ha guadagno positivo non ha poli a parte reale positiva non ha zeri a parte reale positiva non ha ritardi Il diagramma di Bode asintotico della fase si ottiene da quello del modulo, in ogni tratto: 2 fase = (pendenza normalizzata diagramma del modulo) 9 Diagramma di Bode - Modulo db -2-4 ω c Diagramma di Bode - Fase se il diagramma del modulo di L(s) taglia l asse a db con pendenza 1 in un ampio tratto, in quel tratto la fase sarà prossima al valore 9 gradi ω (rad/s) Il sistema in anello chiuso avrà ϕ c -9 e ϕ m 9 e quindi sarà asintoticamente stabile 23

24 Osservazione 3 sul Criterio di Bode Cosa succede se la funzione d anello presenta anche un ritardo? Ipotesi di applicabilità 1 sτ L( s) = e, τ > soddisfatte ( 1+ s)( 1+ 1s) µ L > 2 ω c 1rad/s db ω (rad/s) ϕ c = arctan arctan ωcτ τ = τ.1 1 π ϕ m = 18 ϕc = 18 ( τ ) = τ sistema in anello chiuso asintoticamente stabile per τ <.89 24

25 Robustezza della stabilità: margine di fase Vi sono degli indicatori del grado di stabilità, ossia di quanto il sistema è lontano dall essere instabile! Margine di fase già introdotto per il Criterio di Bode. Nel caso P=, esso è di norma un buon indice di lontananza dall instabilità. ϕ m ω c µ L infatti è il massimo sfasamento negativo aggiuntivo (ritardo) tollerabile nel sistema di controllo perché il diagramma di Nyquist di L(s) non giri intorno al punto (-1,) 25

26 Robustezza della stabilità: margine di fase L ( s) = L nom Inoltre, se sτ ( s) e e ϕ margine di fase di L ( s) m nom lo sfasamento negativo dovuto al ritardo è ω τ c (rad) il valore massimo del ritardo per non perdere la stabilità asintotica è ω τ c max 18 = ϕm π τ max ϕm π = ω 18 c Significato pratico del margine di fase: è un indicatore di robustezza rispetto a incertezze sul ritardo nell anello 26

27 Robustezza della stabilità margine di fase: situazione critica Vi sono tuttavia situazioni in cui il margine di fase non è un buon indicatore di stabilità In questo caso ϕ m 9 ma la stabilità asintotica del sistema in anello chiuso è veramente robusta? No, la stabilità non è robusta perché il diagramma di Nyquist di L(s) passa molto vicino al punto (-1,), col rischio che, se il modello del sistema non fosse del tutto esatto, il diagramma potrebbe circondarlo a seguito di incompletezza del modello L( jω) 27

28 Robustezza della stabilità: margine di fase situazioni anomale Intersezioni multiple ϕ m Mancanza di intersezione Poiché un ritardo, anche elevato, non può mai destabilizzare il sistema si dice che ϕ m = + Teorema del piccolo guadagno 28

29 Robustezza della stabilità: margine di guadagno E un altro indicatore di robustezza della stabilità Hp: P= e il diagramma di L(s) attraversa il semiasse reale negativo in un solo punto a Il sistema completo con retroazione è as. stabile se A è a destra di (-1,) un indice di robustezza è allora la lontananza di A da (-1,) il margine di guadagno è k m 1 1 = = con L( jωπ ) = 18 a L( jω ) π 29

30 Robustezza della stabilità: margine di guadagno Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se k m >1 e lo è in maniera tanto più robusta quanto maggiore è k m Inoltre, se L ( s) = kl nom ( s) e k margine di guadagno di L ( s) m nom significato pratico del margine di guadagno: è il massimo fattore per cui è consentito moltiplicare il guadagno d anello senza perdere la stabilità. Quindi, è un indicatore di robustezza rispetto a incertezze sul guadagno d anello 3

31 Robustezza della stabilità: margine di guadagno Anche il margine di guadagno può essere valutato direttamente dai diagrammi di Bode 2 Diagramma di Bode - Modulo L ( s) = 5 ( 1+ s) 3 db -2-4 k m db ω π (dai diagrammi di Bode) pulsazione con fase -18 : ω π 2 L( jω ) k m = π = db = 5 k = 1.78 m db = 5 gradi Diagramma di Bode - Fase Il calcolo analitico porta invece al seguente risultato: k m = 1 L( jω ) π 1+ = jω 5 π 3 = 3 ( 1+ 4) = sistema di controllo con retroazione è asintoticamente stabile 31

32 Robustezza della stabilità: margine di guadagno situazione critica Anche il margine di guadagno può rivelarsi, in alcun casi, un cattivo indice di robustezza: per L 2 (s) il margine di guadagno è elevato e anche il margine di fase per L 1 (s), invece, vi è lo stesso margine di guadagno, e quindi diremmo che la stabilità in anello chiuso è molto robusta, ma se calcoliamo anche il margine di fase esso è molto piccolo! L 1 (s) L 2 (s) Raramente la considerazione congiunta del margine di guadagno e del margine di fase conduce a errori. I due margini sono comunque estremamente utili nel progetto del controllore basato sui diagrammi di Bode 32

33 Robustezza della stabilità: margine di guadagno situazioni anomale Intersezioni multiple km si valuta in base ad A 1 Mancanza di intersezione Poiché un fattore moltiplicativo del guadagno d anello comunque elevato non destabilizza il sistema, si dice che k m = + Teorema della piccola fase 33