η % NPSH [m]

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1 8 gennaio 010 Esercizio n 1 (punti 5) L impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito dalle pompe P1 e P, tra di loro in parallelo e in serie con la pompa P3. Le pompe hanno le seguenti curve caratteristiche: P1 e P: H α1 β1 Q con α 1 m, β 1 90 m/(m 3 /s) essendo H in m, e Q in m 3 /s. Il rendimento e l NPSH richiesto sono: Q [m 3 /s] η % NPSH [m] P3: H α β Q con α 15 m, β 0 m/(m 3 /s) essendo H in m, e Q in m 3 /s. Il rendimento e l NPSH richiesto sono: Q [m 3 /s] η % NPSH [m] Il serbatoio A, in pressione, è posizionato alla quota Z A 5 m ed al suo interno vi è una pressione pari a 0.60 kpa. Il serbatoio, a pelo libero, è posizionato alla quota Z 5 m Le perdite di carico possano essere approssimate dalla relazione: H ( Kc + Km) Q essendo H in m, Q in m 3 /s, K c 0 m/(m 3 /s) il coefficiente delle perdite di carico nel tratto di chiamata e K m 5 m/(m 3 /s) il coefficiente delle perdite di carico nel tratto di mandata. Si considerino trascurabili le perdite di carico tra le pompe P1 e P e la pompa P3. Calcolare il consumi energetico per sollevare 5000 m 3 d acqua al giorno dal serbatoio A, al serbatoio (N.. Ricavare analiticamente le portate sollevate dalle singole pompe e le corrispondenti prevalenze e disegnare le curve caratteristiche delle pompe e dei rendimenti evidenziando i punti di funzionamento) Calcolare le quote massime a cui potrebbero essere posizionate le pompe evitando la cavitazione assumendo una pressione di vapore dell acqua di 1.7 kpa e la pressione atmosferica kpa. Z 5 m A P1 P3 Z A 5 m Chiamata K c 0 Mandata K m 5 P Pagina 1 di 3

2 8 gennaio 010 Esercizio n (punti 5) Si considerino le seguenti pompe: Pompa D n Curva caratteristica H α β Q [mm] [giri/s] α [m] β [m/(m 3 /s) ] Quali sono le condizioni affinché due pompe appartengano alla medesima famiglia? Quali sono le proprietà dei coefficienti dimensionali Ψ e Φ di due pompe appartenenti alla medesima famiglia? Appoggiandosi a quest ultima considerazione, identificare quali pompe potrebbero appartenere alla medesima famiglia Per ciascuna famiglia identificata, tracciare infine la curva caratteristica adimensionale Ψ f(φ). Esercizio n 3 (punti 5) Ad una stazione pluviometrica sono state registrate le seguenti altezze di pioggia massime annuali (mm) per le durate di 1, 3, 6, 1 e ore: Durate Anno Pagina di 3

3 8 gennaio 010 Si valutino: a) i parametri della curva di possibilità climatica per un tempo di ritorno di 5 anni; b) l intensità (mm/h) di una precipitazione di durata ore e 30 minuti con tempo di ritorno di 5 anni. Spiegare la procedura e commentare i passaggi effettuati per ricavare i parametri a ed n illustrandone il significato Formule: Distribuzione di Gumbel ( ) ( x u) F x x exp exp ; α Modello lineare y a + bx ; a y bx ; 1 65α ; µ u α ; σ. b xiyi nxy ; x n x i ( ) Domande (punti 3 ciascuna) 1. Le curve caratteristiche delle pompe: illustrare perché il legame h u -Q presenta generalmente un andamento parabolico con concavità rivolta verso il basso.. Spiegare perché le palettature delle pompe assiali hanno tipicamente un andamento svirgolato, ovvero l inclinazione della pala varia al variare della distanza dal mozzo. 3. Illustrare il procedimento per il dimensionamento della lunghezza di un raccordo di un pluviale con una grondaia.. Definire il concetto di tempo di corrivazione. Mostrare qual è la durata di precipitazione critica nell ipotesi di area contribuente lineare. 5. Metodo cinematico: Q ϕ i A. Illustrare cosa rappresenta e come si stima ciascuno dei termini dell equazione. Nel caso di una fognatura bianca, ovvero se Q rappresenta la portata massima, in che rapporto deve stare Q con la portata a sezione piena del collettore e perché? Pagina 3 di 3

4 Esercizio n 1 Il serbatoio A è in pressione. Il carico assoluto, in metri di colonna d acqua in corrispondenza del serbatoio A è: 060 HA m Il carico assoluto, in metri di colonna d acqua in corrispondenza del serbatoio è: H m Dal momento che le pompe P1 e P lavorano in parallelo e sono tra di loro uguali, la curva caratteristica delle due pompe in parallelo è: α1 H Q β1 ovvero Q H α1 β 1 Mettendole quindi in serie con la pompa P3 si ha: β1 H ( α1+ α) + β Q Per determinare il punto di funzionamento, si pone a sistema tale equazione con l equazione della curva dell impianto, così definita: H H g + k Q dove: H g H -H A ( ) 9.67m; 5 k kchiam + kmand 9s m ; Il punto di funzionamento è quindi: 3 1 Q 0.36m s H ( 0.36) 7.1m In particolare, le pompa P1 e P operano a: 3 1 Q1, 0.18m s H1, 19.73m η 1, 73% la pompa P3 opera a: 3 1 Q3 0.36m s H3 7.1m η 3 77% Dato il volume medio giornaliero da sollevare dal serbatoio A al serbatoio, si ricava il n di ore di lavoro delle pompe: N ore V h Q La potenza assorbita P a dalle pompe è quindi:

5 Pa γ Q H γ Q H η η , 1, , 3 die Pa Pa N 99 kwh / die potenza assorbita al giorno ore kwh L NPSH richiesto dalle pompe P1 e P quando sollevano Q 1, 0.18 m 3 /s è 6.9 m. Le perdite di carico ya tra il serbatoio A e le pompe P1 e P sono pari a: ya kcq 7.59 m La pompa potrà quindi essere posizionata alla quota massima di p p serb vap Z 1 Z + A ya NPSH γ γ m L NPSH richiesto dalla pompa P3 quando soleva Q0.36 m 3 /s è 9.1 m. (vedi Tabella testo) Le perdite di carico ya tra il serbatoio A e la pompa P3 sono pari a: ya kcq 7.59 m Le pompe P1 e P poste a monte della pompa P3 forniscono una prevalenza H 1, m. La pompa potrà quindi essere posizionata alla quota massima di p p serb vap Z 1 Z + A ya H1, NPSH γ γ m P1 e P P3 P1//P Impianto P3 serie P1//P η1 η

6 Esercizio n Se due pompe appartengono alla stessa famiglia quindi si può applicare il Principio di similitudine fluidodinamica: 3 Q n D QA na DA da cui 3 n D Q QA na DA e H n D HA na DA da cui n D H HA na DA Data la curva caratteristica di una pompa A: H αa βaq sostituendo si può quindi ricavare analiticamente la curva caratteristica della pompa appartenente alla stessa famiglia ma avente diametro D e operante al numero di giri n : n D D A H αa βa Q na DA D Considero la pompa P Date le caratteristiche della pompa P1 ricavo i coefficienti della curva caratteristica della pompa appartenente alla medesima famiglia ma avente diametro D e operante al numero di giri n n D α 1 n1 D D1 β 1 D 60 Confrontando i valori dei coefficienti ottenuti con quelli della pompa P si vede che sono diversi, per cui la pompa P non appartiene alla medesima famiglia della pompa P1. Per semplicità indichiamo con A la famiglia della pompa P1 e con quella della pompa P. Considero la pompa P3 Date le caratteristiche della pompa P1 ricavo i coefficienti della curva caratteristica della pompa appartenente alla medesima famiglia ma avente diametro D 3 e operante al numero di giri n 3 α n3 D3 1 3 n1 D 1

7 D1 β 1 D3 6.9 Confrontando i valori dei coefficienti ottenuti con quelli della pompa P3 si vede che sono uguali, per cui la pompa P3 appartiene alla medesima famiglia della pompa P1. Considero la pompa P La pompa P non può appartenere alla stessa famiglia della pompa P1 avendo gli stessi D e n ma diversa curva caratteristica. Verifico se appartiene alla famiglia della pompa P. Date le caratteristiche della pompa P ricavo i coefficienti della curva caratteristica della pompa appartenente alla medesima famiglia ma avente diametro D e operante al numero di giri n n D α n D 15.3 D β D 50. Confrontando i valori dei coefficienti ottenuti con quelli della pompa P si vede che sono diversi, per cui la pompa P non appartiene neanche alla medesima famiglia della pompa P. Per semplicità indichiamo con C la famiglia della pompa P. Considero la pompa P5 Date le caratteristiche della pompa P1 ricavo i coefficienti della curva caratteristica della pompa appartenente alla medesima famiglia ma avente diametro D 5 e operante al numero di giri n 5 α n5 D n1 D 1 D1 β 1 D3 6.9 Confrontando i valori dei coefficienti ottenuti con quelli della pompa P5 si vede che sono uguali, per cui la pompa P5 appartiene alla medesima famiglia della pompa P1. Considero la pompa P6 Date le caratteristiche della pompa P1 ricavo i coefficienti della curva caratteristica della pompa appartenente alla medesima famiglia ma avente diametro D e operante al numero di giri n n D α n1 D

8 D1 β 1 D6 39. Confrontando i valori dei coefficienti ottenuti con quelli della pompa P6 si vede che sono diversi, per cui la pompa P6 non appartiene alla medesima famiglia della pompa P1. Verifico se appartiene alla famiglia della pompa P. Date le caratteristiche della pompa P ricavo i coefficienti della curva caratteristica della pompa appartenente alla medesima famiglia ma avente diametro D 6 e operante al numero di giri n 6 n D α 6 6 n D 7.3 D β D6 3.9 Confrontando i valori dei coefficienti ottenuti con quelli della pompa P6 si vede che sono uguali, per cui la pompa P6 appartiene alla medesima famiglia della pompa P. I valori dei coefficienti adimensionali Φ e Ψ si ottengono da: Q Φ 3 nd e gh Ψ nd Nel seguito sono riportate per diversi valori di portate le prevalenze fornite dalla pompe ed i corrispondenti valori dei coefficienti adimensionali con i relativi grafici: Q H1 H H3 H H5 H P1 P3 P5 ΦΑ ΨΑ ΦΑ ΨΑ ΦΑ ΨΑ

9 P P6 ΦΒ ΨΒ ΦΒ ΨΒ P ΦC ΨC famiglia A psi fi

10 famiglia psi fi famiglia C psi fi

11 Esercizio n Media var u alfa T h t logh ymedio.067 xymedio logt xmedio n xiyi Sommaxiyi 36.3 xi Sommaxi 0.69 n 0.70 A 3.60 a hcalc h h 30' i h 30' mm 1.67 mm/h