Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D

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1 Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D Cognome Nome: Part time: Numero di matricola: Diurno: ISTRUZIONI: Il punteggio relativo alla prima parte dell esame viene calcolato nel seguente modo: +1 se la risposta è corretta, -1 se la risposta non è corretta, 0 se la risposta non viene data. Condizione necessaria (non sufficiente) per superare l esame è ottenere un punteggio maggiore o uguale a 5 nella prima parte. Tempo a disposizione 2 ore dalla consegna del testo d esame. Barrare con una X la risposta corretta e riportarla chiaramente in maiuscolo (A, B, C...) nella seguente tabella: Domanda Risposta 1. Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: (a) ha un numero di elementi pari a 5; (b) ha un numero di elementi pari a 6x5; (c) ha un numero di elementi pari a 6x6x6x6x6; (d) ha un numero di elementi pari a 5x5x5x5x5x5; 2. Dati due eventi A e B con 0 < P (A) < 1 e 0 < P (B) < 1: (a) P (A B) é sempre maggiore di P(A); (b) Se A é un sottoinsieme (strettamente) di B, P (A B) é maggiore di P(A); (c) P (A) é sempre maggiore di 0; (d) P(A) é sempre maggiore di P(B).

2 3. Sia X 1... X n un campione da una popolazione N(µ, σ 2 ), µ e σ incogniti; sia X n la media campionaria e S 2 la varianza campionaria corretta. Se t n (γ) indica il γ-quantile della distribuzione t-student con n gradi di libertà (è quindi il valore che lascia alla sua sinistra una probabilità pari a γ), la regione di rifiuto (regione critica) per un test d ipotesi avente probabilità di commettere un errore di primo tipo pari a γ, per le ipotesi H 0 : µ µ 0 contro H 1 : µ < µ 0 è (a) S/ n < t n 1(γ) (b) S/ n < t n 1(γ) (c) S/ n > t n 1(1 γ) (d) S/ n > t n 1(γ) 4. La distribuzione Normale standardizzata: (a) Ha sempre media 1 e varianza 0; (b) il terzo quartile è sempre maggiore della mediana; (c) il terzo quartile è sempre minore del primo quartile; (d) può essere asimmetrica positivamente. 5. La media campionaria: (a) Ha valore atteso pari alla media della popolazione divisa per n; (b) Se la popolazione é normale, ha distribuzione chi-quadrato con n-1 gradi di libertà; (c) Se la popolazione é normale, ha distribuzione normale con varianza pari alla varianza della popolazione divisa per n; (d) L insieme dei valori che puó assumere ha sempre cardinalità finita. 6. Uno stimatore non distorto di un parametro di interesse: (a) (b) (c) É sempre consistente; É sempre asintoticamente non distorto; É sempre consistente in media quadratica; (d) Puó essere consistente in media quadratica ma non consistente in senso semplice

3 7. Si commette un errore di prima specie quando: (a) Si rifiuta l ipotesi nulla H 0 quando invece é vera; (b) Non si rifiuta l ipotesi nulla H 0 quando invece é falsa; (c) Si rifiuta l ipotesi alternativa H 1 quando invece é vera; (d) Non si rifiuta l ipotesi alternativa H 1 quando invece é falsa. 8. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Bernoulliana di parametro p. Ho estratto un campione iid di ampiezza 100 e ho calcolato la media campionaria, x. Lo stimatore ottenuto con il metodo dei momenti, ˆp MM, per p è pari a : (a) ˆp MM = x (b) ˆp MM = x 100 (c) ˆp MM = 100 x (d) ˆp MM = 100x 9. Si formula un ipotesi nulla (H0) negando la tesi che si é interessati a dimostrare. Sia α il livello di significativitá fissato. (a) Se la probabilitá del valore osservato é pari o superiore ad α, non si puó rifiutare l ipotesi nulla. (b) Se la probabilitá del valore osservato é inferiore ad α, si puó rifiutare l ipotesi nulla ed accettare l ipotesi alternativa. (c) L ipotesi nulla é accettata solo nel caso in cui la probabilitá del valore osservato é pari ad α. (d) Nessuna delle precedenti. 10. Una variabile casuale discreta X: (a) Assume sempre un numero finito di valori o un infinità numerabile di valori; (b) Non puó avere valore atteso negativo; (c) Assume sempre un numero finito di valori; (d) Assume sempre piú di tre valori.

4 Seconda parte - Modalità D Svolgete gli esercizi proposti. Scrivete su tutti i fogli a destra: Nome, Cognome, se siete del Part-Time. (a) Sia dato un campione di 200 pacchi trasportati da un corriere. La tabella riporta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg di tali pacchi. Classi (peso) Num. pacchi (freq. ass.) Valori centrali 5 x x x x x i. Trovare gli intervalli di confidenza al 95% e al 99% di tutti i pacchi trasportati dal corriere.

5 (b) Un industria che produce collanti produce una nuova colla a presa rapida. Il laboratorio di test, per valutare se la colla si rapprenda effettivamente in un tempo inferiore ai 9 minuti, come sperato, raccoglie un campione di oggetti da incollare e conduce un esperimento. i. Quale tipo di test bisogna effettuare e come vanno scelte l ipotesi e l alternativa? ii. Svolgete, supponendo di prendere un gruppo composto da 30 oggetti e di avere ottenuto le seguenti statistiche cumulative: X = s x = 1.17 (dove s x = 1 n 1 (xi x)) iii. Supponendo che il laboratorio di test richieda una significativitá dell 1%, si puó affermare che la colla aderisca in meno di 9 minuti?

6 (c) In un esperimento presso un laboratorio di ricerca, 10 cavie sono state utilizzate per studiare l efficacia di un certo farmaco. Le cavie sono prima state infettate e dopo 7 giorni divise a caso in due gruppi da 5, trattati con dosi diverse del farmaco. Due giorni dopo le cavie sono state soppresse per analizzare il risultato del trattamento. Si sono ottenuti i seguenti risultati, relativamente alle due dosi, i cui numeri indicano la misura di un parametro stabilito prima dell esperimento. Si supponengo che la varianza tra le popolazioni sia la stessa cc cc i. Calcolare gli intervalli di confidenza al 95% per entrambi i campioni. ii. Dire se questi dati dimostrano che il dosaggio superiore é stato piú efficace.