Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura

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1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura V Appello corso di Geometria a.a. / Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere la MATRICOLA NON SCRIVERE NE NOME NE COGNOME In TIPOLOGIA scrivere Geometria indifferentemente 8, 9 o CFU, Geometria 5 CFU oppure Geometria 5 CFU Geometria = svolgere gli Esercizi,, e 5 in ore e min Geometria = svolgere gli Esercizi, e in ore Geometria = svolgere gli Esercizi, 5 e 6 in ore AVVISI IMPORTANTI: GIUSTIFICARE CHIARAMENTE passaggi ed affermazioni. Motivare le strategie di risoluzione. Senza giustificazioni precise, anche formule giuste NON POSSONO essere considerate a punteggio pieno. Consegnare ESCLUSIVAMENTE i seguenti fogli. Non verranno presi fogli di brutta copia ne tantomeno aggiuntivi personali. Una volta iniziato l esame scritto, E SEVERAMENTE VIETATO USCIRE DALL AULA, salvo consegna definitiva dell elaborato o ritiro dalla prova scritta. Non lasciare nessuna parte dell elaborato scritto ne a MATITA per motivi di sicurezza di conformita all originale consegnato ne ad INCHIOSTRO ROSSO utilizzato dal docente per la correzione. MATRICOLA: TIPOLOGIA:

2 SOLUZIONI COMPITO Esercizio. [ punti] Sia R spazio vettoriale, munito della base canonica e. Siano assegnati i seguenti vettori: v =,,, v =,,, v =,,, le cui componenti sono espresse rispetto ad e. i Verificare che v, v, v sono generatori per R e che sono linearmente indipendenti. ii Considerato il vettore w che, rispetto ad e, ha componenti w =,,, calcolare le componenti di w rispetto alla base v data dai vettori v, v, v. iii Determinare le componenti del vettore u R rispetto alla base e sapendo che, rispetto alla base v, esso ha componenti,,. iv Stabilire se il vettore w appartiene al sottospazio Linv, v. Svolgimento. i Per verificare che i vettori dati sono linearmente indipendenti in R, basta calcolare il determinanate della matrice del sistema dei tre vettori dati rispetto ad e. Esso viene diverso da. Siccome sono tre vettori linearmente indipendenti in R, non possono che generare tutto lo spazio vettoriale, i.e. sono una sua base di R.. ii Ponendo si trova w =,, = c,, + c,, + c,, c =, c =, c = ; queste sono le componenti di w rispetto alla base v. iii u = v v +v =,,, che sono le sue componenti rispetto alla base canonica e. iv Poiche le componenti rispetto a v di w sono, dal punto ii,,,, chiaramente esso non appartiene al sottospazio generato dai primi due vettori della base v. Esercizio. [ punti] Data l applicazione lineare definita da: ϕ x x x x ϕ : R R 5x + x + x + x = x x + x x + x + 5x + x i Stabilire se ϕ e suriettiva. In caso di risposta negativa, determinare una base per Imϕ. ii Stabilire se ϕ e iniettiva. In caso di risposta negativa, determinare una base per Kerϕ. iii Denotato con W R il sottospazio W := Lin v =, v =., v = 7, determinare una base del sottospazio W ed una base del sottospazio W Kerϕ.

3 Svolgimento. i Sia A la matrice rappresentativa dell applicazione ϕ nelle rispettive basi canoniche. Pertanto A ha rango. Ne segue che ϕ non puo essere suriettiva. Una base per Imϕ e ad esempio costituita dalle prime due colonne della matrice A, i.e. Imϕ := Lin 5,. ii Dal teorema di Nullita + Rango, ϕ non puo essere iniettiva, dato che Kerϕ ha dimensione. Una base del Kerϕ e data dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax =, che fornisce Kerϕ := Lin, 9. iii Notiamo che v = v v, mentre v, v sono manifestamente indipendenti. Pertanto dimw = ed una sua base e costituita proprio da v, v. Infine, con semplici conti si trova che W Kerϕ = Lin 5 6. Esercizio. [ punti] Nello spazio vettoriale R, dotato della base canonica e, siano assegnati i vettori: v =, v =, v =. i Verificare che sono linearmente indipendenti e completare il sistema di vettori {v, v, v } ad una base di R. ii Determinare equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio U di R dato da U := Lin{v, v, v }. iii Sia W un qualsiasi sottospazio di R che sia supplementare ad U. Scrivere equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio W. Svolgimento: i La matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori dati ha manifestamente rango. Pertanto i tre vettori sono linearmente indipendenti in R. Per completare il sistema di vettori dato ad una base di R si puo scegliere semplicemente v := e = dato che i tre vettori dati hanno sempre l ultima coordinata nulla, quindi e e sicuramente linearmente indipendente da loro.

4 ii Le equazioni parametriche di U sono quindi X = λ + µ + ν, X = µ + ν, X = ν, X =, λ, µ, ν R. Poiche U ha dimensione, allora U e un iperpiano in R, i.e. e definito da una sola equazione che e quindi X =. iii Vista la non univocita di sottospazi supplementari ad un dato iperpiano, per comodita possiamo scegliere W = Lin{e }. Quindi equazioni parametriche di W sono mentre equazioni cartesiane sono X =, X =, X =, X = α, α R X = X = X =. Esercizio. [ punti] Sia R il piano cartesiano, con riferimento cartesiano ortogonale RCO; x, x. i Scrivere le formule di rotazione R π/,p x x, ; ii Sia l la retta di equazioni parametriche: X = + t X x x di angolo π/ e di centro P =, t R. Determinare l equazione cartesiana della retta R π/,p l, la ruotata di l. x x Svolgimento i Osserviamo che R π/,p =. x x ii La retta R π/,p l ha equazioni parametriche = + t, t R. Percio l equazione cartesiana e data da x + x =. Esercizio 5. [ punti] Nel piano cartesiano R, con coordinate cartesiane x, x, e data la conica euclidea C di equazione cartesiana C : X + X X + X X X =. i Verificare che C e una parabola semplicemente degenere. ii Trovare esplicitamente l equazione dell asse della parabola C. Svolgimento: La matrice della forma quadratica e A = percio ha rango. Quindi la conica, o e una retta doppia cioe una parabola doppiamente degenere oppure e una coppia di rette parallele cioe una parabola semplicemente,

5 5 degenere oppure una parabola generale. Una base ortonormale per R, costituita da autovettori per A e data da {v = /, /, v = /, /}, dove il primo autovettore e relativo all autovalore λ = mentre il secondo e relativo all autovalore λ =. Scriviamo allora x = /y + /y, x = /y /y. Sostituendo nell equazione della conica, otteniamo: y y =. Questa e una parabola semplicemente degenere, determinata dalle due rette parallele y = e y =. ii L asse della parabola nelle coordinate y, y e ovviamente y =. Pertanto, per trovare l equazione cartesiana dell asse di C, basta considerare l isometria inversa y = /x /x y = /x + /x. L asse della parabola iniziale e, nelle vecchie coordinate, dato da X + X =. Esercizio 6. [ punti] Sia RCO, e il riferimento usuale per R con coordinate x, x, x. Stabilire la natura delle quadrica euclidea Q, di equazione cartesiana X + X X + X X X + =. Dedurre inoltre la sua forma canonica affine. Svolgimento: Calcolando il rango della matrice A della forma quadratica di Q, si vede che ha rango. Percio, dalla classificazione, o la quadrica e priva di punti reali, o e un cilindro parabolico, oppure e costituita da un piano doppio oppure e costituita da due piani paralleli. Facilmente si vede che Q contiene il punto p =,,. Q non puo essere un cilindro parabolico, dato che il piano tangente a Q nel punto p ha equazione x + y =, che messo a sistema con l equazione di Q, determina la relazione = invece di una retta contata volte. Percio, per escludere che sia un piano contato volte, basta intersecare con una retta generica dello spazio e vedere che si trovano punti di intersezione distinti e non un punto contato volte.