16.1 Dimensione di uno spazio vettoriale

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1 Lezione 6 6 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto nella lezione precedente come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su un campo K permetta di sostituire a V,chepuòessere complicato da trattare, uno spazio K n,inmanieracheleoperazionisiconservinotramitetale identificazione: ci poniamo il problema di capire se tale numero n (che chiameremo tra poco dimensione dello spazio V )èinqualchemodounattributointrinsecodiv La definizione di dimensione è giustificata dal seguente risultato fondamentale Lemma 6 (Lemma di Steinitz) Sia V uno spazio vettoriale su K = R, Se v,,v n 2 V sono generatori e w,,w m 2 V sono linearmente indipendenti, allora vale m 6 n Dimostrazione Poiché i vettori v,,v n 2 V sono generatori di V,esistonoscalaria i,j 2 K, 6 i 6 m, 6 j 6 n, taliche 8 a, v + a,2 v 2 + a,3 v a,n v n + a,n v n = w a >< 2, v + a 2,2 v 2 + a 2,3 v a 2,n v n + a 2,n v n = w 2 a 3, v + a 3,2 v 2 + a 3,3 v a 3,n v n + a 3,n v n = w 3 >: a m, v + a m,2 v 2 + a m,3 v a m,n v n + a m,n v n = w m (6) Dalla famiglia di identità vettoriali (6) otteniamo una matrice A =(a i,j ) 6i6m 2 K m,n ;ogni 6j6n operazione elementare su A equivale ad un analoga operazione sulle identità di (6) on un numero finito di operazioni elementari di riga di tipo E possiamo trasformare A in una nuova matrice ridotta per righe A =(a i,j ) 2 K m,n corrispondente a delle nuove identità 6i6m 6j6n vettoriali aventi come termini noti certe combinazioni lineari dei vettori w,,w m Poiché ogni identità (6) contiene un vettore w i eivettoriw,,w m sono linearmente indipendenti, dopo tali operazioni il termine noto dell i esima identità conterrà ancora il vettore w i con coefficiente Se per assurdo fosse m>n,almenounarigadia (per fissare le idee diciamo quella di indice m) sarebbenulla,quindiavremmounarelazionedidipendenzalinearedeltipo V =v +v 2 + +v n = b w + + b m w m +w m che non è possibile se, come stiamo supponendo, i vettori w,,w m sono linearmente indipendenti oncludiamo che m 6 n 59

2 6 orollario 62 Sia V uno spazio vettoriale su K = R, esianob =(v,,v n ) e D =(w,,w m ) due basi di V Alloram = n Dimostrazione Poiché v,,v n sono generatori di V e w,,w m sono linearmente indipendenti, per il Lemma 6 risulta m 6 n Similmente,poichéw,,w m sono generatori di V e v,,v n sono linearmente indipendenti, ancora per il Lemma 6 risulta anche m > n Quindi in uno spazio vettoriale finitamente generato e non nullo tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi Questa osservazione ci permette di introdurre la seguente definizione Definizione 63 (Dimensione di uno spazio vettoriale) Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su K = R, La dimensione di V èilnumerodim K (V ) definito come segue: se V = { V },poniamodim K (V )=; se V 6= { V }, dim K (V ) èilnumerodielementidiunaqualsiasisuabase; Nel caso in cui il campo K sia evidente dal contesto, si scrive semplicemente dim(v ) Se lo spazio V non è finitamente generato, allora poniamo per convenzione dim K (V )=, ev èdettospaziovettorialedidimensioneinfinita Esempio 64 Dall Esempio 57 segue che la base canonica =(e,e 2,e 3 ) èuna base di R 3,quindidim R (R 3 )=3 Più in generale, sia K = R, Alloralabasecanonica =(e,,e n ) di K n (si veda ancora l Esempio 57) è formata da n vettori, dunque dim K (K n )=n Esempio 65 Dall Esempio 58 segue che lo spazio vettoriale 2,2 ha come base B =(E,,E,2,E 2,,E 2,2 ),quindidim ( 2,2 )=4 Più in generale, se K = R,, alloradim K (K m,n )=mn Esempio 66 Sia V uno spazio vettoriale su PoichéR, allorav èanche uno spazio vettoriale su R: l operazionedisommarimanelastessa,quelladiprodotto per uno scalare si ottiene restringendo quella definita in V a R V V Per esempio èunospaziovettorialesu, 2 èlinearmenteindipendentee genera come spazio vettoriale su, poichéa+bi =(a+bi), dunquedim () =, come già sappiamo D altra parte èanchespaziovettorialesur Daquestopuntodivista non è più generatore di su R: infattiselofosseognisuoelementosarebbecombinazione lineare di acoefficientiinr e, in questo modo, possiamo ottenere solo i numeri complessi con parte immaginaria nulla Per generare su R occorrono almeno due elementi: per esempio ed i sono generatori di su R, poichéa + bi =(a) + (b)i per ogni a, b 2 R Inoltre essi sono linearmente indipendenti: infatti se a, b 2 R, risulta a + bi =se e solo se a = b = oncludiamo che dim R () =2 Più in generale si può dimostrare che se dim (V )=n, alloradim R (V )=2n oncludiamo il paragrafo con la seguente conseguenza della Proposizione 59

3 Proposizione 67 Sia V 6= { V } uno spazio vettoriale su un campo K = R, Se dim K (V )=n e v,,v n 2 V,leseguentiaffermazionisonoequivalenti: (i) v,,v n 2 V sono generatori di V ; (ii) v,,v n 2 V sono linearmente indipendenti; (iii) (v,,v n ) èbasediv 6 Dimostrazione Se i vettori v,,v n 2 V sono generatori di V scartando eventualmente alcuni di loro otteniamo una base di V :poichéognibasediv ècostituitadan vettori, non è necessario scartare niente, cioè v,,v n sono già linearmente indipendenti Viceversa, se i vettori v,,v n 2 V sono linearmente indipendenti, aggiungendo eventualmente altri vettori otteniamo una base di V :poichéognibasediv ècostituitadan vettori, non ènecessarioaggiungereniente,cioèw,,w n sono già generatori di V Quindi (i) vale se e solo se vale (ii), dunque sono equivalenti a (iii) Esempio 68 In R 4 si considerino i vettori v =(, 2,,), v 2 =(3/2, 7,, p 2), v 3 =(,,, 3/7), v 4 =(, 3,, ) Larelazionedidipendenzalineare v + 2 v v v 4 = R 4 tra di loro si traduce immediatamente nel sistema omogeneo >< 2 = = = >: p = Èfacilevederechel unicasoluzioneditalesistemaè = 2 = 3 = 4 =,cioèi vettori v,v 2,v 3,v 4 sono linearmente indipendenti Per la Proposizione 67 concludiamo che essi sono anche generatori di R 4 senza doverlo verificare direttamente In particolare B =(v,v 2,v 3,v 4 ) èunabasedir 4 62 Dimensione di sottospazi Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K = R, esiaw V un suo sottospazio vettoriale: in questo paragrafo ci occuperemo di rispondere alle domande naturali W èfinitamentegenerato?seloè,cisonolegamitradim K (W ) e dim K (V )? Proposizione 69 Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K = R, AlloraognisottospaziovettorialeW V èfinitamentegenerato Inoltre si ha che dim K (W ) 6 dim K (V ) e dim K (W ) = dim K (V ) se e solo se W = V Dimostrazione Se W = { V } la tesi è ovviamente verificata Supponiamo che W 6= { V } non sia finitamente generato Allora esiste w 2 W \{ V }: risulta L(w ) W,quindideveesisterew 2 2 W \L(w )Percostruzionew e w 2 sono linearmente indipendenti e, per ipotesi, deve esistere w 3 2 W \L(w,w 2 ) In questo modo riusciamo a costruire una successione di vettori { w i } i2n W tale che, per ogni N 2 N, ivettoriw,,w N 2 W sono linearmente indipendenti In particolare ciò dovrebbe

4 62 accadere anche per N =dim K (V )+,ilcheèassurdoperchécontraddiceillemma6,visto che i vettori w,,w N sono in W,quindiinV Quindi W èfinitamentegenerato;sia(w,,w m ) una sua base Poiché w,,w m 2 W V sono linearmente indipendenti (perché formano una base di W ), allora dim K (W )=m 6 dim K (V ), di nuovo per il Lemma 6 hiaramente se W = V allora dim K (W ) = dim K (V ) = n Viceversa, se dim K (W ) = dim K (V )=n, alloraesisteuninsiemedivettorilinearmenteindipendentiw,,w n di W V, quindi w,,w n generano V per la Proposizione 67: poiché W V segue W = V Esempio 6 In R 4 si considerino i cinque vettori v = (, 2,, ), v 2 = (2,,, ), v 3 =(,,, ), v 4 =(,,, ), v 5 =(4, 4,, ) alcoliamo la dimensione del sottospazio W = L(v,v 2,v 3,v 4,v 5 ) R 4 Abbiamo visto nell Esempio 5 che B =(v,v 2,v 4 ) èunabasediw R 4,quindidim(W )=3< 4: inparticolare W (R 4 Esempio 6 Sia A =(a i,j ) 6i6m 6j6n 2 K m,n Abbiamo verificato nell Esempio 34 che l insieme W delle soluzioni in K n,p del sistema omogeneo AX = m,p èun sottospazio Poiché K n,p èfinitamentegenerato,èlecitocalcolareladimensionedi W PoichéladimensionediW dipende solo dal sottospazio W enondallamatrice A, possiamosupporrechea sia fortemente ridotta per righe e, per fissare le idee, possiamo anche supporre che il suo pivot sulla i esima riga si trovi nella colonna i esima Quindi, posto r =rk(a), ilsistemaax = m,p èdellaforma a,r+ a,r+2 a,n a 2,r+ a 2,r+2 a 2,n a r,r+ a r,r+2 a r,n X = m,p A (62) Indicando con X i la i esima riga di X, seguechelesoluzionidelsistema(62) dipendono dai parametri (vettoriali) liberi X r+,,x n Per semplicità limitiamoci, d ora in poi, a studiare il caso p =,cioèx 2 K n, Le soluzioni del sistema (62) sono allora tutte e sole le matrici colonna della forma a,r+ X r+ a,r+2 X r+2 a,n X n a 2,r+ X r+ a 2,r+2 X r+2 a 2,n X n B dove a r,r+ X r+ a r,r+ X r+2 a r,n X n X r+ X r+2 X n = A nx j=r+ j X j,

5 63 r+ = a,r+ a 2,r+ a r,r+, r+2 = B a,r+2 a 2,r+2 a r,r+2, n = B a,n a 2,n a r,n A In particolare W = L( r+, r+2,, n ) Inoltre la relazione di dipendenza lineare r+ r+ + r+2 r n n = K n, si traduce in un sistema le cui ultime n r equazioni sono r+ = r+2 = = n = oncludiamo che r+, r+2,, n sono generatori linearmente indipendenti di W che, quindi, ha dimensione dim K (W ) = n r = n rk(a) In particolare il rango di una matrice dipende solo dalla matrice stessa e non dalle operazioni elementari fatte su di essa per calcolarlo, comegiàanticipato senza dimostrazione nella Lezione 3! Se, invece, p > 2, illettoreverifichichedim K (W )=(n stesso procedimento rk(a))p seguendo lo Esempio 62 Si consideri il sottoinsieme di K n,n costituito dalle matrici triangolari superiori: TS n (K) ={ A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n a i,j =se i>j} Osserviamo che TS n (K) èunsottospaziovettorialedik n,n ;infattilamatricenulla n,n 2 TS n (K) InoltreseA =(a i,j ) 6i,j6n e B =(b i,j ) 6i,j6n 2 TS n (K) e 2 K, le entrate di indici (i, j) di A + B edi A sono a i,j + b i,j e a i,j,chesonodunquenulle se i>j,cioèa + B e A sono triangolari superiori Poiché K n,n èfinitamentegenerato,taledeveesserets n (K): calcoliamone la dimensione Si noti che E i,j 2 TS n (K) per ogni i, j =,,n con i 6 j Tali matrici sono linearmente indipendenti e possiamo scrivere una qualsiasi matrice a, a,2 a,3 a 2,2 a 2,3 A = a 3,3 A come combinazione lineare A = a, E, + a,2 E,2 + a,3 E,3 + + a 2,2 E 2,2 + a 2,3 E 2,3 + + a 3,3 E 3,3 +, ovvero TS n (K) =L(E i,j i, j =,,n, i<j) Dunque, fissato un ordine, tali matrici formano una base di TS n (K): inparticolare

6 64 dim K (TS n )=n +(n ) + (n 2) + +2+=n(n +)/2 Si considerino i sottoinsiemi di K n,n costituiti dalle matrici triangolari inferiori, strettamente triangolari superiori, strettamente triangolari inferiori, cioè rispettivamente TI n (K) ={ A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n a i,j =se i<j}, STS n (K) ={ A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n a i,j =se i > j }, STI n (K) ={ A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n a i,j =se i 6 j } ome esercizio, il lettore dimostri che STS n (K), TI n (K) e STI n (K) sono sottospazi vettoriali di K n,n enedeterminibasi,verificandochedim K (TI n )=n(n +)/2 e dim K (STS n )=dim K (STI n )=n(n )/2 Esempio 63 L esempio precedente è un caso particolarmente fortunato in cui l intersezione di una base dello spazio vettoriale V con il sottospazio W,dà una base di W :purtroppononèsemprecosìsiconsideriilsottoinsiemedik n,n costituito dalle matrici simmetriche, cioè Sim n (K) ={ A 2 K n,n t A = A } Osserviamo che Sim n (K) èunsottospaziovettorialedik n,n Infatti n,n 2 Sim n (K); se A, B 2 Sim n (K) e 2 K, perleproprietàcheleganolatrasposizioneallasomma di matrici ed al prodotto di matrici per scalari, si ha A + B = t A + t B = t (A + B), A = t A = t ( A), cioè A + B, A 2 Sim n (K) Poiché K n,n èfinitamentegenerato,taledeveesseresim n (K) Per calcolare la sua dimensione restringiamoci, per semplicità, al caso n =2, K = R: tratteremoil caso generale più avanti In questo caso sappiamo che una base di R 2,2 èdatada B =(E,,E,2,E 2,,E 2,2 ) Da un lato osserviamo che non ogni matrice di R 2,2 è simmetrica, dunque sicuramente dim R (Sim 2 (R)) 6 3 < 4 = dim R (R 2,2 ) Dall altro gli elementi della base B che sono in Sim 2 (R) sono E, ed E 2,2,chesono linearmente indipendenti, dunque dim R (Sim 2 (R)) > 2 Se fosse dim R (Sim 2 (R)) = 2, per la Proposizione 67 seguirebbe che E, ed E 2,2 sarebbero generatori di (Sim 2 (R)) Tuttaviapoiché a, a, E, + a 2,2 E 2,2 = a 2,2 èchiarochee, ed E 2,2 non sono sufficienti a generare Sim 2 (R): concludiamoche dim R (Sim 2 (R)) > 3 e, quindi, dim R (Sim 2 (R)) = 3 Per costruire una base di Sim 2 (R) èsufficientetrovarealloratrematricisimmetriche linearmente indipendenti: due, E, ed E 2,2,leabbiamogià,quindibasta

7 65 determinare una terza matrice simmetrica che non sia in L(E,,E 2,2 ),cioèchenon sia diagonale Posto allora E,2 = segue che B =(E,,E 2,2, E,2 ) èbasedisim 2 (R) B Vedremo più avanti che dim K (Sim n (K)) = dim K (TS n (K)) = n(n +)/2 Si noti però che Sim n (K) 6= TS n (K) pur avendo la stessa dimensione, infatti non è vero che due sottospazi della stessa dimensione coincidono! 63 Rango e dimensione Proposizione 64 Siano K = R, e A =(a i,j ) 6i6m 2 K m,n una matrice 6j6n Posto v i =(a i,,,a i,n ) 2 K n, i =,,m, risulta w j =(a,j,,a m,j ) 2 K m, j =,,n, rk(a) =dim K (L(v,,v m )) = dim K (L(w,,w n )) = rk( t A) Dimostrazione Nel paragrafo 42 abbiamo definito il rango di una matrice A =(a i,j ) 6i6m 6j6n come il numero di righe non nulle di una matrice A =(a i,j ) 6i6m 6j6n 2 K m,n 2 K m,n ridotta per righe ed equivalente per righe ad A Per dimostrare la prima parte della tesi è sufficiente far vedere che ogni tipo di operazione elementare di riga, pur cambiando le righe di A, nonmutailsottospaziocheessegenerano Poiché esse coinvolgono al massimo due righe per volta, possiamo ridurci a studiare il caso m =2 ÈchiarocheL(v,v 2,)=L(v 2,v,), cioèloscambiodirighe(operazioneelementaree3) non muta la dimensione Poiché v = v + 2 v 2 + se e solo se per ogni 2 K\{ } si ha v = ( v )+ 2 v 2 +, segue che L(v,v 2,)=L( v,v 2,), cioèlamoltiplicazionediunarigaperunoscalarenon nullo (operazione elementare E2) non muta la dimensione Infine v = v + 2 v 2 + se e solo se per ogni 2 K si ha v = (v + v 2 )+( 2 )v 2 + equindil(v,v 2,)=L(v + (operazione elementare E) non muta la dimensione Posto vi =(a i,,,a i,n ) 2 Kn, i =,,m,concludiamoche v 2,v 2,), cioèsommareadunarigaunmultiplodiun altra dim K (L(v,,v m )) = dim K (L(v,,v m)) = rk(a )=rk(a) Poiché le righe di t A coincidono con le colonne di A, ilragionamentofattosopradimostraanche che dim K (L(w,,w n )) = rk( t A) Sia r =rk(a) Allora è possibile estrarre dall insieme v,,v m un sottoinsieme di r vettori linearmente indipendenti che generano L(v,,v m ):perfissareleideesupponiamocheessisiano v,,v r Alloraabbiamodellerelazionidellaforma 8 v i = v i per i =,,r >< v r+ = r+, v + r+,2 v 2 + r+,3 v r+,r v r >: v m = m, v + m,2 v 2 + m,3 v m,r v r

8 66 Eguagliando le componenti j esime al primo ed al secondo membro di tali equazioni, otteniamo 8 a i,j = a i,j per i =,,r >< a r+,j = r+, a,j + r+,2 a 2,j + r+,3 a 3,j + + r+,r a r,j >: a m,j = m, a,j + m,2 a 2,j + m,3 a 3,j + + m,r a r,j Posto u =(,,,,, r+,,, m, ), u 2 =(,,,,, r+,2,, m,2 ), u 3 =(,,,,, r+,3,, m,3 ), u r =(,,,,r, r+,r,, m,r ), segue allora che w j = a,j u + a 2,j u 2 + a 3,j u a r,j u r,cioèl(w,,w n ) L(u,,u r ), dunque rk( t A)=dim K (L(w,,w n )) dim K (L(u,,u r )) 6 r =rk(a) Sostituendo ora A con t A eripetendoilragionamentootteniamork(a) =rk( tt A) 6 rk( t A) sicché, in conclusione, risulta rk(a) =rk( t A) e, perciò, la tesi è completamente dimostrata Osservazione 65 Quasi sempre la definizione di rango di una matrice viene data utilizzando la proprietà sopra, che non dipende dalla riduzione operata, dicendo che il rango di A 2 K m,n èladimensionedelsuospazioriga,cioèdelsottospazio di K n generato dalle sue righe, e del suo spazio colonna, cioè del sottospazio di K m generato dalle sue colonne Poiché tale dimensione si calcola a partire da una base dello spazio riga, cioè da un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti dello spazio riga, talvolta si dice anche che il rango di A 2 K m,n èilmassimonumerodisuerigheocolonne linearmente indipendenti Vogliamo ora utilizzare la Proposizione 64, descrivendo un altro metodo per determinare basi di uno spazio vettoriale V finitamente generato su un campo K = R, apartiredaunsuoinsiemedigeneratoriodisuoivettorilinearmente indipendenti AtalescopofissiamounabaseB =(w,,w n ) di V evettoriv,,v m 2 V Supponiamo che [v i ] B =(a i,,,a i,n ) 2 K n per i =,,mpoiché [ v + + m v m ] B = [v ] B + + m [v m ] B, allora v,,v m sono linearmente dipendenti se e solo la stessa proprietà vale per [v ] B,,[v m ] B 2 K n Quindi dim K (L(v,,v m )) coincide con il rango della matrice A =(a i,j ) 6i6m avente come riga i esima le componenti del vettore v i rispetto 6j6n alla base B fissata Illustriamo questa osservazione con un paio di esempi

9 67 Esempio 66 In R 5 siano dati i vettori v =(,, 2,, 3), v 2 =(2,,,, ), v 3 =(, 2,,, ) FissatalabasecanonicadiR 5,lamatriceA definita sopra è 2 3 A 2 A, 2 che è ridotta per righe Quindi v,v 2,v 3 sono linearmente indipendenti Esempio 67 Si considerino in 2,2 le matrici +i i/2 3 A = i 2 i, A 2 =, i 2 A 3 = +2i, A 3i 2 4 = +2i Sia B =(E,,E,2,E 2,,E 2,2 ) la base di 2,2 definita nell Esempio 58 Allora [A ] B =(, +i, i 2,i ), [A 2 ] B =(i/2, 3,i 2, ), [A 3 ] B =(, +2i, 3i 2, ), [A 4 ] B =(, +2i,, ) eladimensionedim (L(A,A 2,A 3,A 4 )) coincide con il rango della matrice +i i 2 i Bi/2 3 i +2i 3i 2 A +2i che è ridotta per righe: pertanto dim (L(A,A 2,A 3,A 4 )) = 4 = dim ( 2,2 )Quindi ivettoria,a 2,A 3,A 4 sono linearmente indipendenti e (A,A 2,A 3,A 4 ) èunabase di 2,2 Quanto visto suggerisce un metodo per calcolare la dimensione del sottospazio generato da un insieme di vettori v,,v m linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V,determinarneunabaseecompletarlaabasediV Si può considerare la matrice A le cui righe sono le componenti dei vettori v,,v m rispetto ad una fissata base B: per calcolare la dimensione ed una base del sottospazio L(v,,v m ) basta allora ridurre per righe A ottenendo una matrice A ridotta per righe e poi considerare i vettori di V le cui componenti rispetto a B sono dati da tali righe Per completare tale base a base di V, in forza della Proposizione 64, basta aggiungere alle righe non nulle della matrice A esattamente dim K (V ) rk(a) righe non nulle in modo che la matrice finale abbia rango dim K (V ) epoiconsiderarei vettori di V aventi quelle righe come componenti rispetto alla base B

10 68 Esempio 68 Èfacileverificarecheivettoriv,v 2,v 3,e 2,e 3 dell Esempio 66 sono linearmente indipendenti Infatti la matrice A definita sopra è A = B A, che è ridotta per righe ed ha rango 5 In particolare (v,v 2,v 3,e 2,e 3 ) èbasedir 5 Ad un analoga conclusione si giungerebbe scegliendo in luogo di e 2,e 3 altri vettori, purché la matrice risultante A rimanga ridotta per righe: per esempio possiamo scegliere v 4 =(,,,, ) e v 5 =(,,,, 7/33) Qualora la matrice A non fosse ridotta per righe, si potrebbe procedere analogamente riducendola prima per righe e poi studiando la matrice A così ottenuta: infatti ogni operazione di riga sulla matrice A equivale ad un operazione sull insieme dei vettori v,,v m che non cambia lo spazio L(v,,v m ) ma solo l insieme dei suoi generatori Esempio 69 In R 2,2 si considerino le matrici 2 A =, A 2 = 3, A 3 = 2 2 Vogliamo stabilire se A,A 2,A 3 sono linearmente indipendenti o meno e, nel caso lo siano, trovare una base di R 2,2 che li contenga Si consideri la base B =(E,,E,2,E 2,,E 2,2 ) di R 2,2 :allora [A ] B =(,,, ), [A 2 ] B =(, 2, 3, ), [A 3 ] B =(2,, 2, ) La matrice avente come righe le componenti di tali matrici rispetto alla base B è A 2 3 A 2 2 on operazioni elementari di riga otteniamo R 2!R 2 R R A 3!R A R 2$R 2 A = A Le righe di A sono le componenti rispetto a B delle matrici 2 3 B = A =, B 2 =, B 3 =, 2 che sono linearmente indipendenti, perchè le loro componenti rispetto a B sono le righe non nulle di una matrice ridotta per righe, cioè A

11 Per determinare una base di R 2,2 contenente A,A 2,A 3,èsufficientedeterminare una matrice A 4 62 L(A,A 2,A 3 ) A tale scopo basta determinare una matrice A 4 tale che [A 4 ] B 62 L((,,, ), (, 2, 3, ), (2,, 2, )) = L((,,, ), (, 2,, ), (, 3, 2, )) 69 Per fare questo è sufficiente determinare una matrice 4 4 di rango 4 elecui prime tre righe coincidano con le righe di A,peresempio A = B 3 2 A Quindi scegliamo A 4 = E,2 e B =(A,A 2,A 3,A 4 ) èlabaserichiestadir 2,2 Esempio 62 Si consideri l insieme K[x] dei polinomi nell indeterminata x a coefficienti in K: nell Esempio 48 abbiamo visto che esso è uno spazio vettoriale non finitamente generato Il motivo è che il grado di un polinomio può essere grande a piacere; per ovviare a tale problema, per ogni n >, sipuòintrodurreil sottoinsieme K[x] n = { p(x) 2 K[x] deg(p) 6 n } Osserviamo che K[x] n èunsottospaziovettorialedik[x]: infattiilpolinomionullo (che, per definizione, ha grado ) èink[x] n per ogni n > Inoltre la somma di due polinomi di grado non maggiore di n èancoraunpolinomiodigradonon maggiore di n eilprodottodiunpolinomiodigradononmaggioredin per uno scalare 2 K èancoraunpolinomiodigradononmaggioredin Rispetto a K[x], ilsottospaziok[x] n ha il vantaggio di essere finitamente generato Infatti se p(x) 2 K[x] n si ha p(x) =a + a x + a 2 x a n x n + a n x n ove a i 2 K per i =,,n oncludiamo che K[x] n = L(,x,x 2,,x n,x n ) K[x] i domandiamo quale sia la dimensione di K[x] n (come spazio vettoriale su K) Poiché per generare K[x] n bastano n + suoi elementi, precisamente i monomi,x,x 2,,x n,x n,risultadim K (K[x] n ) 6 n + Inoltre tali monomi sono linearmente indipendenti: infatti una loro combinazione lineare non è altro che un polinomio e, per definizione, un polinomio è nullo se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli! oncludiamo che B =(,x,x 2,,x n,x n ) èunabasedik[x] n,quindi dim K (K[x] n )=n + Ogni altra base di K[x] n ècostituitadan+ vettori Per verificare che n+ polinomi in K[x] n formano una base basta verificare che sono linearmente indipendenti

12 7 per la Proposizione 67 Per esempio sia a 2 K esiconsideril insiemeordinatodi n +polinomi B =(,x a, (x a) 2,,(x a) n, (x a) n ) Tali polinomi sono linearmente indipendenti poiché nessuno di loro è combinazione lineare dei precedenti: per convincersene basta osservare che il grado dell h esimo polinomio è h Quindi se p(x) 2 K[x] n esistono scalari a,,a n tali che p(x) =a + a (x a)+a 2 (x a) a n (x a) n + a n (x a) n : questo è lo sviluppo di Taylor di p(x) di punto iniziale a e, nel corso di Analisi, viene solitamente osservato che a = p(a) e a h =(d h p(x)/dx h )(a) per h > Esempio 62 In R[x] 3 si considerino i polinomi p (x) =+x + x 2 + x 3, p 2 (x) = 2x +3x 2, p 3 (x) =x 2x 3, p 4 (x) =2+4x 2 x 3, p 5 (x) =3x 2x 2 + x 3 : vogliamo stabilire se questi 5 polinomi sono linearmente indipendenti e, nel caso non lo siano, trovare una base di W = L(p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x)) R[x] 3 Osserviamo subito che dim(r[x] 3 )=4,perciòcinquepolinomidevonoessere linearmente dipendenti per il Lemma 6 Si consideri la base B =(,x,x 2,x 3 ) di R[x] 3 Allora [p (x)] B =(,,, ), [p 2 (x)] B =(, 2, 3, ), [p 3 (x)] B =(,,, 2), [p 4 (x)] B =(2,, 4, ), [p 5 (x)] B =(, 3, 2, ) La matrice avente come righe le componenti dei polinomi dati rispetto alla base B è 2 3 A = B 2 4 A 3 2 on operazioni elementari di riga otteniamo R 2!R 2 R R A 4!R 4 2R! 3 2 B 2 R 2 $R 3! 2 B A R 3!R 3 +3R 2 R 4!R 4 +2R 2 R 5!R 5 3R! 2 2 R 4!R 4 R 3 R B 2 7 5!R 5 +R 3 2! B 2 2 A = A 2 7

13 7 Le righe di A sono le componenti rispetto a B dei polinomi q (x) =+x + x 2 + x 3, q 2 (x) =x 2x 3, q 3 (x) =2x 2 7x 3 che sono linearmente indipendenti, perchè le loro componenti rispetto a B sono le righe di una matrice ridotta per righe, cioè A Inoltre si ha W = L(p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x)) = L(q (x),q 2 (x),q 3 (x)) In particolare la terna (q (x),q 2 (x),q 3 (x)) èunabasediw,dunquedim(w )=3e W R[x] 3 hi si voglia convincere dell uguaglianza direttamente osservi che L(p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x)) = L(q (x),q 2 (x),q 3 (x)) q (x) =p (x), q 2 (x) =p 3 (x), q 3 (x) =p 2 (x) p (x)+3p 3 (x) quindi q (x),q 2 (x),q 3 (x) 2L(p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x)); nededuciamol inclusione L(q (x),q 2 (x),q 3 (x)) L(p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x)) Viceversa, p (x) =q (x), p 2 (x) =q 3 (x)+q (x) 3q 2 (x), p 3 (x) =q 2 (x), p 4 (x) =q 3 (x)+2q (x) 2q 2 (x), p 5 (x) = q 3 (x)+3q 2 (x) quindi p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x) 2L(q (x),q 2 (x),q 3 (x)): in particolare abbiamo l inclusione L(q (x),q 2 (x),q 3 (x)) L(p (x),p 2 (x),p 3 (x),p 4 (x),p 5 (x)) Per esercizio il lettore completi l insieme q (x),q 2 (x),q 3 (x) abasedir[x] 3 64 La formula di Grassmann oncludiamo la lezione con un ultimo risultato importante Proposizione 622 (Formula di Grassmann) Sia V uno spazio vettoriale su un campo K = R, Se U, W V sono sottospazi vettoriali finitamente generati allora dim K (U)+dim K (W )=dim K (U \ W )+dim K (U + W ) (64) Dimostrazione Se U e W sono finitamente generati lo stesso vale per U + W,dallaProposizione 4 Poiché U \ W è sottospazio di W che è finitamente generato, esso stesso è finitamente generato Sia (v,,v n ) una base di U \ W :inparticolareu \ W = L(v,,v n )Poichév,,v n 2 U, W sono vettori linearmente indipendenti, per la Proposizione 59 li possiamo completare a basi di U e W rispettivamente; in altre parole, esistono u,,u p 2 U e w,,w q 2 W tali che (v,,v n,u,,u p ) sia una base di U e (v,,v n,w,,w q ) sia una base di W In particolare u,,u p,w,,w q 62 U \ W = L(v,,v n ) Ancora dalla Proposizione 4 i vettori v,,v m,u,,u p,w,,w q sono generatori di U + W Verifichiamo che sono linearmente indipendenti: si consideri la relazione di dipendenza lineare

14 72 v + + n v n + u + + p u p + w + + q w q = V Poiché v + + n v n + u + + p u p 2 U e ( w + + q w q ) 2 W coincidono, essi appartengono a U \ W :inparticolareesistono,, n 2 K tali che v + + n v n + u + + p u p = ( w + + q w q )= v + + n v n Dall uguaglianza ( w + + q w q )= v + + n v n segue v + + n v n + w + + q w q = V : poiché (v,,v n,w,,w q ) èunabasediw si ha = = n = = = q =,perciò v + + n v n + u + + p u p = = V :d altraparte(v,,v n,u,,u p ) èunabase di U, dunquesihaanche = = n = = = p = oncludiamo che dim K (U) =n + p, dim K (W )=n + q, dim K (U \ W )=n e dim K (U + W )= n + p + q, cheimplicalaformula(64) Osservazione 623 Se riscriviamo la Formula di Grassmann (64) come dim K (U + W ) = dim K (U)+dim K (W ) dim K (U \ W ), segue che la dimensione della somma di due sottospazi è sempre minore o uguale alla somma delle dimensioni L uguaglianza vale se e solo se risulta dim K (U \ W )=, se e solo se U \ W = { V } Quando questo accade, si parla di somma diretta di due sottospazi, e si indica con U W (invece che solo U + W ) Esempio 624 Si considerino v =(, 2, 3, 4), v 2 =(,,, 5), v 3 =(2,, 3, 3), v 4 =(,,, ), v 5 =(,, 2, 5) in R 4 eisottospazi V = L(v,v 2,v 3 ), W = L(v 4,v 5 ) R 4 Il lettore verifichi per esercizio che dim(v )=3e dim(w )=2 Allora V \ W contiene vettori non nulli Infatti applicando la formula di Grassmann dim(v \ W ) = dim(v )+dim(w ) dim(v + W )=3+2 dim(v + W ) Poiché V + W R 4 si ha dim(v + W ) 6 dim(r 4 )=4,quindidim(V \ W ) >, quindi V \ W 6= { R 4 } Esempio 625 Osserviamo che ogni matrice A 2 K n,n può essere scritta come somma di una matrice triangolare superiore e di una matrice strettamente triangolare inferiore, cioè K n,n = TS n (K)+STI n (K) PoichéTS n (K) \ STI n (K) = n,n, dalla Proposizione 622 segue (si veda l Esempio 62) dim K (STI n (K)) = dim K (TS n (K) \ STI n (K)) + dim K (TS n (K)) + STI n (K)) dim K (TS n (K)) = + n 2 n(n +)/2 =n(n )/2