Nozioni di base - Quiz - 2

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1 Nozioni di base - Quiz - Rispondere ai seguenti quesiti (una sola risposta è corretta).. L insieme delle soluzioni della disequazione (a) (0, ) (, + ) (x ) log(x) x + 0 è: (b) [, ] (c) (d) (e) (, + ) (0, ] [, + ) (, ) [, + ). L insieme delle soluzioni della disequazione sin (5x) cos (5x) è: (a) [0, 0π) (b) k N [kπ, 5π + kπ] (c) [0, 7] (d) [0, 5 ] π (e) R 3. L insieme delle soluzioni della disequazione (a) (, ) x + x < è: (b) R \ { } (c) (0, ] (d) [0, ] (e) (, ) 4. L insieme delle soluzioni della disequazione e x 3 x è: (a) [ 3, ) (, 3] (b) (c) (, 3] (, ) [3, + ) (, ) (, + ) (d) R \ {, } (e) 5. Sia A = {x R : x + < } {x N : (x )(x + ) 0}. Allora: (a) A ammette massimo, ma non minimo (b) A ammette minimo, ma non massimo (c) A non ammette né massimo né minimo (d) A ammette sia massimo che minimo (e) A = ( 3, ) {, 0,, } c 0 Politecnico di Torino

2 6. E data la funzione f(x) = log( + x x ) + x + x. Allora: (a) dom (f) = (, ) (b) dom(f) = (, ) (, + ) (c) f non è mai definita (d) dom (f) = R (e) dom(f) = [, ) 7. Sia A Z tale che sup A = e inf A = 3. Allora, necessariamente: (a) 3 A (b) esiste x A tale che 3 < x < (c) esiste x A tale che x < 0 (d) A coincide con l intervallo ( 3, ] (e) 0 A oppure 3 A 8. L insieme A = { x = 3 + ( ) n 3 n : n N \ {0}} {x R : x < 4} : (a) soddisfa inf(a) = (b) ammette massimo (c) coincide con l insieme delle x R : 3 < x < 4 (d) non è limitato (e) ammette minimo 9. L insieme A = { x = 3 ( ) n 3 n : n N \ {0}} {x R : < x < 6} : (a) non è limitato (b) ammette massimo (c) non ammette minimo (d) soddisfa inf(a) = (e) l estremo inferiore di A è 3 0. Sia K = {x R : 5 6x < 7}. Allora : (a) (b) K = [ 3, ] K = ( 3, ) (c) K = (, + ) (d) K = (, 3 ) (e) K = {x R : 6x 5 > 7}. RISPOSTE QUESITI Item n Risposta d e c a a e c e d b c 0 Politecnico di Torino

3 - Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz - Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta.. Le due funzioni f(x) = ln(9 x ) e g(x) = ln 9 x (a) hanno entrambe dominio ( 3, 3) (b) hanno dominio (, 3) ( 3, 3) (3, + ) (c) sono due scritture diverse della stessa funzione (d) assumono gli stessi valori x (0, + ) (e) assumono gli stessi valori se x < 3. La funzione f(x) = e ln x (a) (b) (c) (d) coincide con la funzione g(x) = x, x R coincide con la funzione g(x) = x, x R coincide con la funzione g(x) = x, x (0, + ) coincide con la funzione g(x) = e ln x, x R (e) coincide con la funzione g(x) = e x, x R + 3. La funzione g(x) = e ln x coincide con la funzione (a) f(x) = x, x R (b) f(x) = e ln x (c) f(x) = e x (d) f(x) = x, x (, 0) (0, + ) (e) f(x) = x, x (0, + ) 4. Siano f(x) = ln(x + ) e g(x) = e (x+). Allora (a) g(x), f(g(x)), g(f(x)) sono definite x R, (b) x R tale che f(g(x)) = g(f(x)) (c) f(g(x)) = x +, x (, + ) (d) g(f(x)) = e(x + ), x R (e) x R, f(g(x)) = g(f(x)) 5. Siano f(x) = e x e g(x) = ln x. Allora (a) g(f(x)) non è pari (b) f(g(x)) è dispari (c) f(g(x)) = g(f(x)), x [, + ) (d) f(g(x)) = g(f(x)), x (0, + ) (e) x R tale che f(g(x)) = g(f(x)) 6. Siano f(x) = (x + ) e g(x) = x. Allora (a) f(g(x)) = x + (b) g(f(x)) = x +, x R (c) f(g(x)) pari (d) f(g(x)) monotona strettamente crescente (e) f(g(x)) monotona strettamente decrescente c 0 Politecnico di Torino

4 7. Siano f(x) = tan x e g(x) = M(x) (funzione mantissa). Allora (a) (f g)(x) è periodica di periodo π; (b) (g f)(x) è periodica di periodo π; (c) (f g)(x) è periodica di periodo ; (d) (g f)(x) è periodica di periodo ; (e) Im (f g) = [0, ] 8. Siano f(x) = M(x) (funzione mantissa) e g(x) = arctan x. Allora [ (a) im (f g) = 0, π ) 4 (b) g f è periodica di periodo π; (c) f g è periodica di periodo ; [ (d) im (g f) = 0, π ) 4 (e) im (g f) = [0, ) 9. Siano date le tre funzioni f(x) = tan x, g(x) = [x] (funzione parte intera), h(x) = sign x (funzione segno). Allora (a) la funzione h f non è periodica (b) le funzioni h g f ha periodo ; (c) la funzione f h è periodica (d) (h g f)(π) =. (e) Im (h g f) è {0,, } 0. Sia f : R \ {} R; f(x) = (x ) 3. (a) La funzione è monotona strettamente decrescente, quindi è suriettiva (b) Nel suo dominio la funzione è iniettiva, ma non monotona (c) f( ) > f(0) e f() > f(3) la funzione è strettamente decrescente nel dominio (d) Poichè la funzione è iniettiva, allora è monotona strettamente crescente o decrescente (e) La funzione è suriettiva. L insieme immagine della funzione ( ) f(x) = ln e sign(x + ) + è (a) R (b) {0} (c) {} (d) {0, } (e) [-, ]. Sia f(x) = e x e. Allora (a) dom f = R, im f = [0, + ) (b) dom f = R, im f = [0, e] (c) dom f = R, im f = (0, + ) (d) dom f = R, im f = R (e) dom f = [ e, e], im f = R c 0 Politecnico di Torino

5 3. Il dominio della funzione è: f(x) = arccos(x + ) arccos(x ) (a) R (b) (, + ) (c) (, ] [, + ) (d) (e) [, ] 4. Il dominio della funzione è: f(x) = log / ( x 3 3 x) (a) R (b) (, + ) (c) [, + ) (d) [0, ] (e) (0, ) 5. Siano f(x) e g(x) due funzioni dispari e invertibili. Allora la funzione cosh f(x) + sinh (f(x)g(x)) è (a) dispari e non invertibile (b) nè pari nè dispari (c) pari e invertibile (d) dispari e invertibile (e) pari e non invertibile RISPOSTE AI QUESITI Item n Risposta e c e b c d c d e b c a d b e c 0 Politecnico di Torino 3

6 3 - Funzioni, successioni e loro proprietà. Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta.. La successione a n = ( ) n+ + (a) è illimitata (b) è monotona crescente (c) è definitivamente a termini positivi (d) non è infinitesima (e) verifica lim n a n = 3, con n N, (n + ). Sia A = {x R : x = e + cos(nπ) n, n N\{0}}, dove e è il numero di Nepero. Allora, necessariamente: (a) inf A = e (b) min A = e (c) A è illimitato (d) max A = e (c) è definitivamente a termini negativi 3. Dato il sottoinsieme di R così definito: A = {x lq : x x < 5}, allora: (a) A ammette il massimo (b) inf A = 6 (c) A è vuoto (d) inf A > 6 (e) max A = Dato il sottoinsieme di R così definito: A = {x lq : x + x 5}, allora: (a) A ammette massimo (b) sup A = + 6 (c) A ammette minimo (d) sup A = max A (e) inf A = 6 5. Dato il sottoinsieme di lq così definito: A = {x lq : x < }, allora: (a) sup A 5 (b) A non ammette minimo (c) A è illimitato (d) A è superiormente illimitato (e) s := inf A lq, e s > 5 6. Dato il sottoinsieme di R così definito: A = {x R : x }, dire quale delle seguenti affermazioni è FALSA: (a) sup A = max A (b) 5 A (c) sup A = 5 (d) A ammette massimo (e) A ammette minimo c 0 Politecnico di Torino

7 7. Sia a n = ( ) n+ n 5, con n N. La successione (a n ): (a) è limitata sia superiormente sia inferiormente (b) non ha limite (c) non è divergente (d) è limitata superiormente (e) è indeterminata 8. Sia a n = ( ) n n 5, con n N. La successione (a n ): (a) ha massimo 0 (b) è indeterminata (c) è limitata inferiormente (d) ha lo stesso limite della successione b n = ( ) n+ n 5 (e) è illimitata sia superiormente sia inferiormente 9. Sia a n = sin n 5, con n N. La successione (a n ): (a) è a termini positivi (b) è regolare (c) converge a -5 (d) è divergente (e) è limitata inferiormente 0. Sia a n = sin(nπ) 5, con n N. La successione (a n ): (a) è convergente (b) è indeterminata (c) è a termini di segno alterno (d) non è regolare (e) al variare di n, a n assume solo i valori { 3, 5}. La successione a n = sin n n, n N \ {0} (a) assume solo valori positivi (b) non converge a zero (c) è limitata superiormente (d) è una successione costante (e) si annulla infinite volte (. La successione a n = + ) n, n N \ {0} n (a) ha immagine {a n } = [0, + ) (b) ha lo stesso limite della successione b n = n (c) assume valori negativi (d) è indeterminata (e) è divergente 3. Sia lim n + a n = e. Allora necessariamente: (a) M > 0 : a n e < 0 6, n > M (b) ɛ < 0 4 : a n e < ɛ, n > 0 (c) a n < a n+, n > 0 ( (d) a n = + ) n n (e) i termini a n sono tutti negativi c 0 Politecnico di Torino

8 4. Sia f : R R tale che lim f(x) =, allora: (a) K : x domf, x > K e 4 3 < f(x) < 3 (b) ɛ > 0 δ : x domf, ɛ < f(x) < (c) δ : ɛ > 0, x domf, x < δ ɛ < f(x) < + ɛ (d) ɛ > 0 δ : x domf, f(x) + < ɛ x > δ (e) K : x domf, x > K 4 3 < f(x) < 3 5. La funzione f(x) = e etan x (a) verifica im (f) = [0, + ) (b) verifica (c) è limitata (d) non è periodica lim f(x) = 0+ (e) verifica sup f = e sin ex 6. La funzione f(x) = e (a) verifica im (f) = (0, e] (b) è periodica (c) è limitata (d) verifica inf f = 0 (e) si annulla infinite volte Item numero Risposta d a b e b b d c e a c e a e c c c 0 Politecnico di Torino 3

9 Funzioni e loro proprietà. Limiti Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta.. Sia f : R R tale che f(x) > 0 per ogni x R. Allora a) lim f(x) = 0 b) se esiste il limite lim f(x) = l allora l > 0 c) lim f(x) > 0 d) se esiste il limite lim f(x) = l allora l 0 e) lim f(x) 0 4 x. Il lim cos x + cos x (a) vale 0 (b) vale (c) vale 5 (d) vale + (e) 3. La successione a n = ( + cos n) n+ n (a) è indeterminata (b) si annulla infinite volte (c) (d) converge (e) diverge 4. Della funzione f(x) = (sin x) ln x si può dire che: (a) è sempre positiva per x > (b) esiste lim f(x) (c) ha infiniti zeri (d) lim x 0 f(x) = (e) im(f) = (0, + ) 5. Sia f : R R tale che ɛ > 0 K > 0 : x (3 K, 3 + K) risulta f(x) ɛ > 0. Allora, sicuramente: (a) lim f(x) = 0 x 3 (b) lim f(x) = + x 3 (c) lim f(x) = 0 x 3 (d) lim f(x) = + x 3 (e) lim f(x) = 3 6. Sia f : R R tale che lim f(x) = ; allora: x (a) ɛ > 0 δ : x (, + δ] risulta f(x) < ɛ (b) ɛ > 0 δ : x ( δ, + δ] risulta f(x) < ɛ (c) ɛ > 0 δ : x ( δ, ] risulta f(x) < ɛ (d) ɛ > 0 δ : x [, + δ) risulta f(x) < ɛ (e) ɛ > 0 δ : x ( δ, ] risulta f(x) > ɛ c 0 Politecnico di Torino

10 7. Il limite lim ( πx sin(πx ) + ) cos(x) + e x x (a) vale (b) vale + (c) vale - (d) vale 0 (e) 8. Il limite lim x 0 cos(π cos x) (a) (b) vale + (c) vale (d) vale 0 (e) vale 9. Si consideri la definizione di limite, in termine di ɛ, δ, nel caso particolare del lim x x 3 =. Possiamo dire che, per ogni ɛ > 0 quella condizione risulta verificata prendendo (a) δ = ɛ (b) δ = 3 ɛ (c) δ = ( ɛ) 3 (d) δ = ɛ (e) δ = 3 ɛ ( 0. Il dominio della funzione f(x) = log x ) x è: (a) (, ) (b) (, ) [4, + ) (c) R\{, 4} (d) (, ] (e) (, ) (4, + ). Sia f(x) = x 5. Allora f ((, ]) è: (a) (3, 7) (b) (3, 4) (6, 7) (c) [3, 4] (6, 7] (d) [3, 4) (6, 7] (e) [3, 7]. Tra le seguenti relazioni, indicare quale è anche una funzione (definita su qualche sottoinsieme non vuoto di R, a valori reali): a) x + y + x = 0 b) x = 4x 9 y c) x + x y = 0 d) x + y = e) x + y = 3 c 0 Politecnico di Torino

11 3. La funzione f(x) = x x è: a) inferiormente limitata sul suo dominio b) superiormente limitata sul suo dominio c) monotona sul suo dominio d) limitata sul suo dominio e) iniettiva 4. Sia f(x) = e x. L insieme f ([, )) è: a) [, ln ) ( ln, ] b) [, ln(e )) ( ln(e ), ] c) (, ln ) ( ln, ) d) (, ln(e )] [ ln(e ), ) e) [, ln ] [ ln, ] 5. Sia f(x) = sin x + x, g(x) = ln x. Allora, g(f(x)) è: a) x + sin ln x b) ln x + sin ln x c) ln(x + sin x) d) ln(sin x) + ln x e) sin(ln x + x) 6. Sia f(x) = ln x + x +, g(x) = x. Allora f(g(x)) è uguale a: a) ln x + x b) ln x + x + c) ln x + x + d) ln x + x e) ln x + x 7. Sia f(x) = x e g(x) = x. Sia h(x) = f(g(x)). Allora, h([4, 9]) è: a) [ 3, ] b) ( 3, 3) c) [ 9, 4 ] d) [4, 9 ] e) [, 3] 8. Se f(x) = 3x 3 + allora: a) f (x) = 3 x b) f (x) = 3 3x x c) f (x) = d) f (x) = 3 x + 3 e) non esiste 9. L equazione x = (x + ) ha: a) una sola soluzione nell intervallo (, ) b) una sola soluzione c) 3 soluzioni nell intervallo [, + ) c 0 Politecnico di Torino 3

12 d) sole soluzioni e) soluzione nell intervallo [, ] 0. Il dominio della funzione f(x) = x 4 x è: a) (, 4) {0} (4, + ) b) ( 4, 4) c) (, 4] [4, + ) d) [ 4, 4] e) (, 4] {0} [4, + ). Il dominio della funzione f(x) = x x + 3 è: a) ( 3, ) (, + ) b) [, + ) c) [ 3, ] d) ( 3, + ) e) (, + ),. Se ɛ > 0 esiste un intorno sinistro di π tale che per ogni x in tale intorno si ha che e f(x) < e + ɛ, allora sicuramente: a) lim x π + f(x) = e b) non esiste lim x π + f(x) c) lim x π f(x) = e d) lim x π f(x) = e e) lim x e f(x) = π 3. Se A > 0 esiste un intorno di x = 5 tale che per ogni x in tale intorno, con x 5, si ha che f(x) 5 A > 0, allora: a) lim (f(x) + 5) = x 5 b) lim f(x) = 5 x 5 c) lim (5 f(x)) = + x 5 d) lim f(x) = + x 5 e) lim f(x) = 5 + A x 5 Quesito numero Risposta d e d c d c d e b a d c e a c Quesito numero Risposta b a c c e b c d c 0 Politecnico di Torino 4

13 LIMITI E SIMBOLI DI LANDAU - Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Il dominio della seguente funzione f(x) = ln( x + 6x + 5) è: (a) (b) (, 5] [, + ) (c) (0, + ) (d) (, 5) (, + ) (e) [0, + ). Data la funzione f(x) = ln( x + 6x + ) quale delle seguenti affermazioni è FALSA?: (a) f(x) = 0 x = 6 e x = 0 (b) f(x) 0 x R (c) non è iniettiva (d) domf = R (e) è pari 3. Data la successione A = (a) min A = -5; max A=5 (b) converge a 5 (c) min A=0; max A=5 (d) inf A=0; sup A = 5 (e) inf A=-5; sup A = 5 sign(n ) 4. lim n + arctan(n!) (n ) (a) + π e 3 (b) π e 3 (c) 0 (d) π e 3 (e) π e 3 5. lim x 0 + log(x ) sin(x ) = (a) + (b) non esiste (c) (d) (e) 0 log(cos(3x)) 6. lim = x 0 + e x (a) (b) -3 (c) 0 (d) + (e) -9 { ( ) n 0 (n 3) n (n + )! n n n! (0.) n } + (0.) n, n N = c 0 Politecnico di Torino

14 7. Sia f(x) = π arctan log(x + ) +. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA? arctan(x + ) (a) domf = (, + ) (b) lim f(x) = 3 π (c) lim f(x) = 4 x 0 π (d) lim f(x) = + x + (e) lim f(x) = 3 π 8. Il limite lim x + x + x 4e x x (a) (b) + (c) - (d) (e) 0 vale: 5 x e x 9. Il limite lim log x x vale: (a) 3 (b) 3 (c) (d) + (e) 0 0. Risolvendo la disequazione (x ) < ɛ, quale limite si verifica? (a) lim x (4x 4x) = 0 (b) lim x 0 (4x 4x) = 0 (c) lim x / (4x 4x) = (d) lim x 0 (4x + 4x + ) = (e) lim (x x / ) < 0. Per x + la funzione f(x) = x + e x + arctan x log (+x ) x (a) ha limite uguale a (b) ha limite uguale a (c) è un infinitesimo (d) è un infinito (e) ha limite uguale a. Per x 3 la funzione f(x) = e (x+3) (a) ha ordine di infinitesimo inferiore a (x + 3) (b) ha ordine di infinito superiore a (x + 3) (c) ha ordine di infinitesimo non confrontabile con (x + 3) (d) ha lo stesso ordine di infinitesimo di (x + 3) (e) ha ordine di infinitesimo superiore a (x + 3) c 0 Politecnico di Torino

15 3. Sia f(x) = e 7 x 3. Allora, per x +, risulta: (a) f(x) = o ( ) x (b) f(x) = o ( ) x 3 (c) f(x) = o ( ) x 4 (d) f(x) = o ( ) x 5 (e) non confrontabile con x 4. Sia f una funzione strettamente decrescente, che ammette la retta x = 3 come asintoto verticale. Allora necessariamente: (a) il numero degli zeri di f è uguale a (b) f può avere uno zero o nessuno zero (c) il numero degli zeri di f è maggiore di (d) se f( ) > 0, allora non ci sono zeri (e) nessuna delle precedenti 5. Quale delle seguenti affermazioni è esatta: (a) e x ( π) x per x + (b) e x ( ) x per x + (c) e x = o ( ( ) x) per x + (d) ( ) x = o (e x ) per x + (e) π x = o ( ( ) x) per x + cos( x + x) 6. Qual è il risultato del limite lim x + x (a) + (b) 0 (c) (d) (c) 7. La parte principale, per x 0, di log ( cos(e x ) ) è (a) x 4 (b) x 4 (c) x (d) x (e) x RISPOSTE AI QUESITI Item n Risposta d e d e b e b a e c d a a b d b a c 0 Politecnico di Torino 3

16 DERIVATE - Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Data la funzione f(x) = x 4, quale delle seguente affermazioni è vera? (a) f (0) 0 (b) f (0) = (c) f (0) = (d) f(x + ) non è derivabile in x = 0 (e) f(x ) è derivabile in x = 0. Il rapporto incrementale della funzione g(x) = cos ( f(x) ), nel punto x 0 è: ( ) ( ) (a) cos f(x) cos f(x 0) (b) cos ( f(x) x x 0 ) cos f(x) f(x 0) (c) cos ( f(x) f(x 0) x x 0 (d) cos ( f(x) f(x 0) f(x) f(x 0) (e) cos ( f(x) ) cos f(x x 0) ( ) f(x 0) ) ) ( ) f(x 0) 3. La funzione f(x) = 5 x +x+3 : (a) non è derivabile (b) f (x) = (x + x + 3) ln 5 f(x) (c) f (x) = (x + x + 3) f(x) (d) f (x) = (x + ) ln(5) f(x) (e) f (x) = (x + ) f(x) ( ) 4. La derivata della funzione f(x) = ln sin (x ) è: ( (a) f (x) = tan ( (b) f (x) = ln sin ( (c) f (x) = cot ( (d) f (x) = cot ( (e) f (x) = tan (x ) ) (x ) ) (x ) ) (x ) ) (x ) ) (x ) 3 cos (x ) (x ) 3 (x ) 3 (x ) 3 5. Per quali valori di a e b la funzione f(x) = { 4 arctan x x > ax + bx x è derivabile in R? (a) a = π; b = (π + ) (b) a = π; b = (π ) (c) a = + π; b = (π ) (d) a = π; b = (π + ) (e) a = π; b = π + c 0 Politecnico di Torino

17 6. Sia data la funzione f(x) = e x x π cos x. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA? (a) f(x) non è derivabile in x = π (b) f(x) è derivabile in x = 0 (c) lim f(x) x (d) f(x) è continua (e) lim f(x) = 0 7. E data la funzione f : [ 3, 4] R R, ivi continua, tale che f( 3) = 5, f(4) =. Quale delle seguenti affermazioni NON è necessariamente vera? (a) f([ 3, 4]) è un intervallo chiuso e limitato (b) La funzione assume in [ 3, 4] tutti i valori compresi tra e 5. (c) L equazione f(x) = λ ammette almeno una soluzione se λ 4 (d) f(x) ammette almeno uno zero nell intervallo ( 3, 4) (e) La funzione assume massimo e minimo nell intervallo [-3,4] 8. La funzione f(x) = 3 x x + : (a) è derivabile nell intervallo (, ) (b) ha due punti di non derivabilità (c) soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell intervallo [-,] (d) non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, ] (e) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [, ] 9. La funzione f(x) = 3x + ln x x+3 : (a) ammette un asintoto obliquo per x ± di equazione y = 3 x (b) ammette asintoto obliquo per x + di equazione y = 3 x (c) non ha asintoti obliqui (d) per x ha un asintoto obliquo (e) ammette un asintoto obliquo per x + di equazione y = 3 x La funzione inversa della funzione f(x) = x ln x ha come retta tangente al suo grafico, nel suo punto di ascissa x = e: (a) y = (x e) e (b) y = (x e) e (c) x = e (d) y = (x e) + e (e) y = (x e) + e c 0 Politecnico di Torino

18 . Data la funzione f(x) = xe x, quale delle seguenti proprietà NON è vera? (a) lim x f( x) f() = e (b) f(x ) = (x )e x (c) lim f(x ) f() = + (d) f (0) f (x) = e x ( + x) (e) f( x) lim x =. La funzione f(x) = x arctan x x: (a) ha due asintoti orizzontali (b) ammette come asintoto, per x +, la retta di equazione y = x + π (c) per x + ha la retta di equazione y = x + come asintoto obliquo (d) ha come asintoto, per x, la retta di equazione y = x + (e) non ammette asintoto obliquo 3. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f(x) = x (a) Ha la retta y = x + ln 3 come asintoto obliquo sinistro (b) Ha lo stesso dominio della funzione f(x) = x ln x + 3x (c) Non ha punti a tangente orizzontale (d) Ha la retta x = come asintoto verticale sinistro (e) Ha la retta y = x ln 3 come asintoto obliquo ln 3x x +? 4. Data la funzione f(x) = ln( 3 x + 8), quale delle seguenti affermazioni è FALSA? (a) f(x) non soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, ] (b) f(x) ha un punto di non derivabilità in x = 0 (c) In x = 0 ha un punto di cuspide (d) f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [, 4] (e) In x = 0 ha un punto di flesso a tangente verticale Item n Risposta d a d c b a d d e d e c d c c 0 Politecnico di Torino 3

19 CALCOLO DIFFERENZIALE - Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Quale delle seguenti funzioni coincide con la funzione f(x) = x x? (a) f(x) = x x ) x (b) f(x) = ( x (c) f(x) = e x log x (d) f(x) = x x x log x (e) f(x) = e. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f(x) = x x? (a) dom f = (0, + ) (b) f(x) = x x (c) im f = (0, + ) (d) f(x) = e x log x (e) La funzione è prolungabile, a destra, per continuità in x = 0 3. La derivata della funzione f(x) = x x è: (a) f (x) = ( log x)x x (b) f (x) = ( log x)x x (c) f (x) = ( log x)x x + (d) f (x) = ( + log x)x x (e) f (x) = ( + log x)x x 4. La derivata della funzione f(x) = ( x x) è: (a) f (x) = (log x + ) ( (b) f (x) = (log x + ) ( (c) f (x) = (log x ) ( (d) f (x) = (log x ) ( (e) f (x) = (log x + ) ( x ) x x ) x x ) x x ) x x ) x 5. Sia f(x) = (x + ) k k x allora: (a) ha un minimo in x = per k = 3 (b) ha un massimo in x = per k = 3 (c) ha un minimo in x = per k = (d) ha un massimo in x = per k = (e) k Z, x = non è né massimo né minimo per f(x) 6. Sia I R un sottoinsieme non vuoto e f : I R una funzione derivabile e tale che f (x) < 0 x I. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (a) f è strettamente crescente su I (b) f è strettamente crescente su I se e solo se I è un intervallo (c) f è strettamente decrescente su I (d) f è crescente su I (e) Se I è un intervallo, allora f è strettamente decrescente su I c 0 Politecnico di Torino

20 7. Il dominio della funzione f(x) = + log(x 3) è: ( ) 3 (a), + [ 3e + (b), 3 ) 3e ( ) 3e + (c), + e ( 3 (d), 3e + ] e [ ) 3e + (e), + e 8. Il dominio della funzione f(x) = (a) (0, ) (, e] (b) (, e] (c) (0, ) [e, + ) (d) (, + ) (e) (e, + ) log x è: 9. La funzione f(x) = log 5 + e 4x log 4 e 5x : (a) ha la retta y = 5x + log 5 come asintoto obliquo, per x + e la retta y = 4x log 4 come asintoto obliquo, per x (b) non ha asintoto obliquo (c) ha la retta y = 5x log 5 come asintoto obliquo (d) ha la retta y = 4x + log 4 come asintoto obliquo (e) ha la retta y = 4x log 4 come asintoto obliquo, per x + e la retta y = 5x + log 5 come asintoto obliquo, per x ( log x 0. Il limite lim 5 4 ) x x log 4x (a) vale log 3 (b) vale 3 (c) vale 0 (d) vale (e) non esiste. Il limite lim (a) 0 (b) 0 (c) (d) 0 (e) 0 e x x 0 cos (3x) x vale c 0 Politecnico di Torino

21 . La successione a n = (sin(n π ) cos(n π +5 )) n (a) ammette limite finito (b) ammette limite infinito (c) è limitata (d) è crescente (e) è decrescente 3. Sia f : I = [ 7, 4] R; sapendo che f è derivabile in I e che x 0 I quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) se x 0 è un punto di minimo per la funzione allora f (x 0 ) = 0 e f (x 0 ) > 0 (b) se x 0 [ 6, 3] è un punto di massimo per f allora f (x 0 ) = 0; (c) se f(x 0 ) è minimo per f allora f (x 0 ) = 0; (d) se x 0 è un punto di minimo per f allora f (x 0 ) = 0 (e) se x 0 è un punto di massimo per f allora f (x 0 ) = 0; 4. Per la funzione f : [, ) R, f(x) = 3 x quale delle seguenti affermazioni NON è vera? (a) f ammette sup, ma non max assoluto (b) f ammette minimo assoluto (c) x = è punto di minimo assoluto (d) 0 è il minimo assoluto della funzione (e) x = è un punto di massimo relativo della funzione 5. Per la funzione f(x) = arccos x π, quali delle seguenti affermazioni NON è corretta? (a) x = è punto di minimo assoluto per la funzione (b) π è il massimo della funzione ( e ) (c) esiste f 4 (d) f () = 0 ( e (e) f = f 4) ( e ) 4 6. Per la funzione f(x) = tanh x quale delle seguenti affermazioni NON è corretta? (a) x = 0 è punto di minimo assoluto per la funzione (b) x = 0 è punto angoloso (c) x > 0, f (x) > 0 (d) lim f (x) = x 0 + (e) f () = 4 e + e 7. La derivata della funzione f(x) = 3 x 3 + e x3 è: (a) f (x) = 3 x3 + e x3 (b) f (x) = ex3 + 3 x3 + e x3 (c) f (x) = (ex3 + 6x) 3 3 x 3 + e x3 c 0 Politecnico di Torino 3

22 (d) f (x) = x (e x3 + ) 3 (x3 + e x3 ) (e) f (x) = 3(ex3 + ) 3 x3 + e x3 8. La derivata della funzione f(x) = log x + x 4 è: x (a) f (x) = (x 4)(x x (, ] [, + ) + ) x (x 4)(x x (, ) + ) (b) f x (x) = (x )(x + )(x + ) (c) f x (x) = (x 4)(x + ) (d) f (x) = x(x + ) (x )(x + ) x (e) f (x) = (x 4)(x + ) x (x 4)(x + ) x (, ) (, + ) x (, ) 9. La derivata della funzione f(x) = log(x x + e) è: 0 x (a) f (x) = 4x e (x x < + e) (b) f 4x (x) = (x + e) (c) f 4x (x) = (x x + e) 0 x > (d) f (x) = 4x (x x < + e) (e) f (x) = 4x (x + e) RISPOSTE AI QUESITI Domanda numero Risposta d c a d c e e b e e e c b c d e d c d c 0 Politecnico di Torino 4