Figura 1. F = {y 2, x 2 }

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1 ANALISI VETTORIALE Soluzione esercizi 14 gennaio Esercizio. Assegnato il campo vettoriale F = y 2, x 2 calcolare la circuitazione τ ds ovvero ( y 2 dx + x 2 dy ) essendo Ω il quadrato di vertici ±(1, ), ±(, 1). Figura 1. F = y 2, x 2 1

2 2 Il calcolo diretto di τ ds richiede: le 4 espressioni parametriche dei 4 lati del quadrato, le 4 espressioni dei 4 versori tangenti (costanti su ogni lato) scelti con l orientamento giusto, i 4 integrali unidimensionali. La figura 1 mostra del resto il carattere simmetrico del campo sulla porzione della frontiera del quadrato al di sopra della bisettrice y = x e al di sotto..., simmetria che produce nelle due porzioni lavori opposti, e, quindi, complessivamente ( y 2 dx + x 2 dy ) = Servendosi della formula di Stokes si ha τ ds = rot z ( F ) dx dy da cui, tenuto conto che rot z ( F ) = 2(x y) si ha ( y 2 dx + x 2 dy ) = 2(x y) dx dy Il quadrato Ω assegnato é unione di due domini normali: Ω 1 x, x 1 y x + 1 x 1, x 1 y x + 1 Il calcolo dell integrale doppio su Ω si esegue con la formula di riduzione 1+x 1 x+1 2(x y) dx dy = 2 dx (x y) dy+2 dx (x y) dy Ω 1 1 x Stante l evidente simmetria nel quadrato Ω della funzione 2(x y) é del resto anche evidente che l integrale doppio vale. Si ha pertanto, ancora, ( y 2 dx + x 2 dy ) = 7.2. Esercizio. Determinare i sottoinsiemi E del piano in cui la forma differenziale ω = 2x y x dx y x dy 2 é esatta, ovvero il campo vettoriale 2x F = y x, 1 2 y x 2 Ω x 1

3 é conservativo. Determinare in ciascuno di tali sottoinsiemi le primitive di ω ovvero i potenziali di La forma differenziale ω, ovvero il campo vettoriale F sono definiti nelle due parti di piano Tenuto presente che Ω + : y > x 2, Ω : y < x 2 rot F = sia Ω + che Ω sono aperti semplicemente connessi, si riconosce che in ciascuno dei due campi ω é esatta ovvero F é conservativo. Una primitiva di ω, ovvero un potenziale di F sono ln(y x U(x, y) = 2 ) (x, y) Ω + ln(x 2 y) (x, y) Ω Le due espressioni della primitiva trovate possono essere riassunte nell unica espressione U(x, y) = ln ( y x 2 ) del resto ben nota quando, cercando nel caso unidimensionale la primitiva di 1, si indicava ln( t ). t 7.3. Esercizio. Sia F il campo F = cos(x + y), sin(x + y), detti i cerchi di centro l origine e raggio r determinare 1 lim F. τ ds r r 2 Dalla formula di Stokes si ha τ ds = da cui, tenuto presente che si ha rot z ( F ) dx dy rot z ( F ) = cos(x + y) + sin(x + y) τ ds = [cos(x + y) + sin(x + y)] dx dy 3

4 4 L integrale doppio a secondo membro puó essere a sua volta espresso con il teorema della media come [cos( x r + ỹ r ) + sin( x r + ỹ r )] π r 2 essendo ( x r + ỹ r ) un punto opportuno di. Ne segue pertanto 1 τ ds = [cos( xr + ỹ r 2 r ) + sin( x r + ỹ r )] π Passando al limite per r il cerchio si stringe intorno all origine e quindi necessariamente il punto ( x r + ỹ r ) tende a (, ) e, quindi, lim r avendo tenuto presente che 1 r 2 τ ds = π lim [cos( x r + ỹ r ) + sin( x r + ỹ r )] = 1 r 7.4. Esercizio. Assegnate due funzioni f e g calcolare l integrale curvilineo (f(x) + y)dx + (g(y) 3x)dy essendo la circonferenza di centro (, ) e raggio 1 percorsa nel verso antiorario. Supponiamo f e g almeno continue: allora il campo vettoriale E = f(x), g(y) é conservativo: un suo potenziale é infatti U(x, y) = F (x) + G(y) essendo F e G due primitive di f e g, certamente esistenti se f e g sono almeno continue. Il campo E 1 = y, 3x non é conservativo: infatti rot(e 1 ) = 4 e quindi (f(x) + y)dx + (g(y) 3x)dy = = ydx 3xdy = f(x)dx + g(y)dy+ 4 dx dy = 4π ydx 3xdy =

5 Esercizio. alcolare l integrale curvilineo I della forma (2xy 5) dx + (x 2 + 3y 2 ) dy essendo il segmento da ( 1, ) a (1, ), l arco di parabola y = x 2 1 percorso da ( 1, ) a (1, ). sul segmento: (2xy 5) dx + (x 2 + 3y 2 ) dy 1 = 5 dx = 1 1 sull arco di parabola: x = t, y = t 2 1, t [ 1, 1] (2xy 5) dx + (x 2 + 3y 2 ) dy 1 [ = 2t(t 2 1) 5 + [t 2 + 3(t 2 1) 2 ]2t ] dt = 1 L uguaglianza dei due valori era del resto prevedibile dal momento che il campo (2xy 5), (x 2 + 3y 2 ) ha rotore nullo e, essendo definito in tutto il piano, é conservativo: pertanto il lavoro lungo una curva dipende solo dagli estremi e, il segmento e l arco di parabola hanno gli stessi estremi Esercizio. Mostrare che la forma differenziale x + 5 y ω = x + dx + y + [(x + 5) 2 + y 2 ] 2 [(x + 5) 2 + y 2 ] dy 2 é esatta in tutto il suo insieme di definizione D. La forma xdx + ydy é ovviamente esatta: si tratta del differenziale di x 2 + y 2 2 Analogamente é esatta la x + 5 y dx + [(x + 5) 2 + y 2 ] 2 [(x + 5) 2 + y 2 ] dy 2 Si tratta del differenziale di (x + 5) 2 + y 2

6 6 Quindi complessivamente, posto riesce U(x, y) = x2 + y (x + 5) 2 + y 2 ω = x U(x, y) dx + U(x, y) dy y 7.7. Esercizio. Assegnato il campo vettoriale x u = x 2 + y, y 2 x 2 + y 2 calcolare il lavoro E u. τe ds essendo E : x 2 + y 2 + xy 1 e τ E un versore tangente a E. Il campo 1 x u = r r, y r é radiale: quindi é conservativo. Un suo potenziale é Φ(r) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) Il lavoro quindi lungo la curva chiusa E, come lungo qualsiasi altra curva chiusa che non passi per l origine, é nullo Esercizio. Assegnato il campo vettoriale y v = x 2 + y, x 2 x 2 + y 2 calcolare il lavoro relativo alla circonferenza G di centro (1, 3) e raggio r = 1, alla circonferenza P di centro (1, 3) e raggio r = 4. alla curva : x = cos(t), y = sin(t), t [, kπ], k >. Il campo v ha rotore nullo in R (, ): quindi é conservativo in ogni aperto semplicemente connesso Ω. la circonferenza G di centro (1, 3) e raggio r = 1 é contenuta nell aperto Ω : y > semplicemente connesso contenuto in R (, ): quindi il lavoro di v lungo essa é nullo.

7 7 Figura 2. Il campo Ω la circonferenza P di centro (1, 3) e raggio r = 4 include l origine al suo interno, quindi non é contenuta in alcun aperto semplicemente connesso di R (, ): tenuto conto che rot( v ) = riesce tuttavia, applicando la formula di Stokes all aperto Ω di Figura 2, da cui P y x 2 + y 2, y x 2 + y 2, x = x 2 + y 2 x y = x 2 + y 2 x 2 + y, 2 x x 2 + y 2 essendo la piccola circonferenza di centro l origine. Si ha 2π v. τds = (sin 2 (ϑ) + cos 2 (ϑ))dϑ = 2π e quindi P v. τds = 2π

8 8 L integrale sulla curva assegnata si calcola direttamente kπ v. τds = (sin 2 (ϑ) + cos 2 (ϑ))dϑ = kπ 7.9. Esercizio. Assegnato il campo vettoriale y w = r, x n r n calcolare il lavoro w. τ ds essendo la circonferenza di centro l origine e raggio r >. Il calcolo diretto produce 2π r(sin 2 (ϑ) + cos 2 (ϑ)) w. τ ds = rdϑ = r n = 1 r n 2 2π dϑ = 2π r n 2