es.1 es.2 es.3 es.4 es.5 somma Analisi Matematica 2: Secondo Parziale, , Versione A Cognome e nome:...matricola:...

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1 es.1 es. es.3 es. es.5 somma Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione A Cognome e nome: matricola: Dimostrare che la forma differenziale ) x ω x + y + x3 + y cosx) dx + sinx) + y ) dy x + y è esatta in R \ {, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione rt) t1 t), e 1 t ) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z 1 x y, z. {x, y, z) R 3 : x + y + z, z 1} utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche.. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D {x, y) : x y x}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes, il flusso del campo attraverso la superficie F x + y, y, 3x y ) {x, y, z) R 3 : z x y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

2 es.1 es. es.3 es. es.5 somma Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione B Cognome e nome: matricola: Dimostrare che la forma differenziale ) x ω x x + y + y cosx) dx + y ) + y sinx) dy x + y è esatta in R \ {, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione rt) t1 t), e 1 t ) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z x + y, z. {x, y, z) R 3 : x + y + z, z 3x + y )} utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche.. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D {x, y) : y x, x + y 1}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes, il flusso del campo attraverso la superficie F x + y, y, 3x y ) {x, y, z) R 3 : z 9 x y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

3 es.1 es. es.3 es. es.5 somma Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione C Cognome e nome: matricola: Dimostrare che la forma differenziale ) x ω x + y y sinx) + x dx + ) y + y cosx) dy x + y è esatta in R \ {, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione rt) t t, e t ) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z x y, z. {x, y, z) R 3 : x + y + z 9, z } utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche.. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D {x, y) : x y, x + y 1}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes, il flusso del campo attraverso la superficie F x + y, y, 3x y ) {x, y, z) R 3 : z 1 + x + y 5}. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

4 es.1 es. es.3 es. es.5 somma Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione D Cognome e nome: matricola: Dimostrare che la forma differenziale ω y sinx) + 3x ) x + y 5x dx + cosx) + 3y ) dy x + y è esatta in R \ {, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione rt) t t, e 5 1t ) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z 1 + x + y, 1 z 3. {x, y, z) R 3 : x + y + z 16, z x + y } utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche.. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D {x, y) : x y 3 x}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes, il flusso del campo attraverso la superficie F x + y, y, 3x y ) {x, y, z) R 3 : z x + y 3}. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

5 es.1 es. es.3 es. es.5 es.6 es.7 somma Analisi Matematica : Integrazione alla Secondo Parziale, Determinare la soluzione del problema di Cauchy y ty, y) Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y + y + 13y e t.

6 1A. Ux, y) lnx + y ) + y sinx) + 1 x + cost. Quindi C ω U, 1 e ) U, e). 1B. Ux, y) 1 lnx +y )+y sinx)+ 1 x +cost. Quindi C ω U, 1 e ) U, e). 1C. Ux, y) 1 lnx +y )+y cosx)+x +cost. Quindi C ω U, e ) U, e ) + e e. 1D. Ux, y) 3 lnx +y )+y cosx) 5 x +cost. Quindi C ω U, e 5 ) U, e 5 ) 3 + e 5 e 5. A. ρz) 1 z per z 1. Quindi A π 1 ρz) 1 + ρ z) dz π [5 5 1]. 6 B. ρz) z per z. Quindi A π ρz) 1 + ρ z) dz π [ ]. 6 C. ρz) z per z. Quindi A π ρz) 1 + ρ z) dz π [ ]. 6 D. ρz) z 1 per 1 z 3. Quindi A π 3 1 ρz) 1 + ρ z) dz π. 3A. V π 1 ρz) dz 5π 3, essendo ρz) z. 3B. r, φ π 6, θ π. π V π 6 sin φ dφ r dr π 3 3). 3C. V π 3 ρz) dz π 3, essendo ρz) 9 z. 3D. r, π φ π, θ π. π V π sin φ dφ π r dr 6π 3 + ).

7 . Teorema di Gauss-Green: Sia D un sottoinsieme aperto e limitato di R per cui la frontiera D è una curva semplice e regolare a tratti orientata nel sense antiorario. Sia P dx + Q dy una forma differenziale su D D D di classe C 1. Allora Q x P ) dxdy P dx + Q dy). y D A. Siano γ 1 {t, t ) : t 1}, γ {t, t) : t 1}. Allora [ ] A 1 xdy ydx) 1 γ 1 1 γ 1 + γ D [ttdt) t dt] [t dt ttdt)] ) 1 3. B. Siano γ 1 {t, t) : 1 t 1 }, γ {cost), sint)) : π t 3π }. Allora [ ] 1 A 1 xdy ydx) 1 + 3π π γ [cos tcos tdt) sin t sin t)dt)] π. [t dt) t)dt] 1 C. Siano γ 1 {t, t) : 1 t 1 }, γ {cost), sint)) : π t }. Allora 5π A 1 + [ 5π π γ 1 + γ ] xdy ydx) 1 1 [tdt) tdt)] 1 [cos tcos tdt) sin t sin t)dt)] π. D. Siano γ 1 {t, t ) : t 1}, γ {t 3, t) : t 1}. Allora [ ] A 1 xdy ydx) 1 γ 1 1 γ [ttdt) t dt] [t 3 dt t3t dt)] ) 5 1.

8 5A. Prima soluzione. Essendo F, si ha F A, dove A, x 3 y, xy + y ) + φ. Quindi F n ds π π A d s) A dy 1 + cosθ)) sin θ) dθ π π cosθ)) dθ [ θ 1 sinθ)] π θ π. cos θ) 3 sin θ) cos θ dθ [ 1 cosθ) + d sin 3 θ) dθ 6 Seconda soluzione: Siccome F, si può cambiare la superficie in {x, y, ) : x + y } con la stessa curva di frontiera. In tal caso F n ds F n ds F 3 x, y) dxdy π π 3x y dxdy 3ρ 5 cos θ sin θ dθdρ 3 1 sinθ) π ρ 5 dρ sin θ) dθ [ θ + 1 cosθ)] π θ π. 5B. Prima soluzione. Essendo F, si ha F A, dove A, x 3 y, xy + 1 y ) + φ. Quindi F n ds π π A d s) A dy 1+cosθ)) sin θ) dθ 79 1 cosθ)) dθ π π 3 cos θ) 3 3 sin θ) 3 cos θ dθ [ 1 cosθ) + d sin 3 θ) dθ 6 [ θ 1 sinθ)] π θ 79 π. Seconda soluzione: Siccome F, si può cambiare la superficie in {x, y, ) : x + y 9} con la stessa curva di frontiera. In tal ] dθ ] dθ

9 caso F n ds F n ds F 3 x, y) dxdy 3 π π 3x y dxdy 3ρ 5 cos θ sin θ dθdρ 3 1 cosθ) 79 3 π ρ 5 dρ sin θ) dθ [ 1 θ 1 sinθ)] π θ 79 π. 5C. Prima soluzione. Essendo F, si ha F A, dove A, x 3 y, xy + 1 y ) + φ. Quindi F n ds π π A d s) A dy 1 + cosθ)) sin θ) dθ π π 1 cosθ)) dθ [ θ 1 sinθ)] π θ π. cos θ) 3 sin θ) cos θ dθ [ 1 cosθ) + d sin 3 θ) dθ 6 Seconda soluzione: Siccome F, si può cambiare la superficie in {x, y, 5) : x + y } con la stessa curva di frontiera. In tal caso F n ds F n ds F 3 x, y) dxdy π π 3x y dxdy 3ρ 5 cos θ sin θ dθdρ 3 1 cosθ) π ρ 5 dρ sin θ) dθ [ 1 θ 1 sinθ)] π θ π. 5D. Prima soluzione. Essendo F, si ha F A, dove A ] dθ

10 , x 3 y, xy + 1 y ) + φ. Quindi F n ds π π A d s) A dy 1+cosθ)) sin θ) dθ 79 1 cosθ)) dθ π π 3 cos θ) 3 3 sin θ) 3 cos θ dθ [ 1 cosθ) + d sin 3 θ) dθ 6 [ θ 1 sinθ)] π θ 79 π. Seconda soluzione: Siccome F, si può cambiare la superficie in {x, y, 3) : x + y 9} con la stessa curva di frontiera. In tal caso F n ds F n ds F 3 x, y) dxdy 3 π π 3x y dxdy 3ρ 5 cos θ sin θ dθdρ 3 1 cosθ) y [y)/1 + y)t )] per y) y c 1 e t cos3t) + c e t sin3t) e t. 3 π ρ 5 dρ sin θ) dθ [ 1 θ 1 sinθ)] π θ 79 π. ] dθ