Esame scritto di fisica moderna

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1 Esame scritto di fisica moderna Traccia di soluzione 4 luglio 01 Esercizio 1. hamiltoniana data è quella di una buca di potenziale infinita, le cui autofunzioni sono date da due famiglie, dispari ψ n x = ψ n x e pari ψ n+1 x = ψ n+1 x nπ ψ n x = Asin x, n = 1,,... 1 n+1π ψ n+1 x = Bcos x, n = 0,1,,... associate ai valori di energia E n = kn m = 4n π, n = 1,,... 3 m E n+1 = kn+1 m = n+1 π, n = 0,1,,... 4 m Ricaviamo i coefficienti A e B usando la condizione di normalizzazione e ponendo la fase arbitraria eguale a uno: 1 = ˆ ψ n x = A ˆ nπ sin ˆ x = B ψ n x = ψ n+1 x = n+1π cos x = A = B = 5 nπ sin x, n = 1,,... n+1π cos x, n = 0,1,,... 7 Il valore medio dell impulso e della posizione nell n-esimo autostato dell Hamiltoniana sono in quanto sono dati dall integrale di una funzione pari su dominio dispari. e indeterminazione dell impulso si ottiene notando che p = x = 0 8 p = me n = n π, 9 1

2 da cui nπ p = p p =. 10 indeterminazione in posizione si ottiene da ψ n x x ψ n x = x sin nπ x = x = 1 1 4n π, n = 1,... ψ n+1 x x ψ n+1 x = x cos n+1π x = 1, n = 0,1,.. 1 n+1 π 11 quindi x = x x = 1, n = 1,, n π Esercizio. Iniziamo scrivendo, in notazione di Dirac, lo stato come ψt = e i E 1t ψ 1 + e i E t e iα ψ, 13 dove E 1 = π /m e E = π /m. Esso dipende dal solo parametro α perchè una sovrappossizione di due stati in generale dipende da quattro parametri. Di questi uno è una fase globale inosservabile, un altro è fissato per normalizzazione, ed un terzo è fissato dalla condizione che i due possibili risultati dati siano equiprobabili. Nella base delle coordinate πx ψx,t = x ψt = 1 e i E 1t cos πx + 1 e i Et e iα sin Utilizzando questo risultato calcoliamo la matrice densità del sistema:. 14 x ρ y = x ψt ψt y 15 { 1 = e i πx E1t cos + 1 } e i πx Et e iα sin 1 { 1 e i πy E1t cos + 1 } e i πy Et e iα sin 17 = 1 [ πx πy πx πy cos cos +sin sin + 18 e i[e E 1 t α] πx πy cos sin +e i[e E 1 t α] πy ] πx cos sin. 19 Supponiamo che sia stata eseguita una misura di energia sullo stato ψx, t, ottenendo come risultato E 1. o stato dopo tale misura è ψ ψ1 x,t = 1 e i E 1t cos πx, 0 associato alla matrice densità x ρ ψ1 y = 1 πx cos cos πy, 1

3 x ρ ψ1 x = 1 πx cos. Se invece si è ottenuto come risultato E lo stato è ψ ψ = 1 e i πx Et e iα sin, 3 associato alla matrice densità x ρ ψ y = 1 πx sin sin x ρ ψ x = 1 sin πx πy, 4. 5 Esercizio 3. Fissiamo t = 0, e calcoliamo il valore medio dell impulso p, sapendo che ψx,t = 0 = 1 πx [cos πx +e iα sin ]. Si ha p = i = i 4 3 ˆ ˆ [ cos e iα πx +e iα sin [ e iα cos πx cos 3π e iα4 3π ][ πx πx e iα sin π sin πx +e iαπ πx cos ] πx πx sin ] e iα e iα = 8 sinα. 7 3 Pertanto se imponiamo la condizione p = 4 3 troviamo sinα = 1, ossia α = π Esercizio 4. o stato al generico tempo t è ψx,t = 1 [e i πx ] E1t cos +e i πx Et e iπ sin. 8 Il valore medio dell impulso in funzione di t è quindi p = i = i 4 3 [ e i πx ][ E1t cos +e i πx Et e iπ sin ˆ [ e i[e 1 E t +π ] πx πx cos cos [e i[e 1 E t +π ] e i[e 1 E t +π ] ] ˆ = 8 3 sin E 1 E t + π. 3 e i E 1t π πx sin +e i Et e iπ e i[e 1 E t +π ] πx sin sin πx π πx cos ] ] 9

4 Questa quantità è nulla se e solo se l argomento del seno è uguale a nπ: quindi E 1 E t + π = nπ 30 π m π t m = nπ π 31 3 π m t = nπ π, 3 t 0 = m 1+n π Esercizio 5. equazione di Schrödinger per le autofunzioni dispari di energia è Ĥ ψ n x = E n ψ n x 34 x ˆp m +Vx ψ nx = E n x ψ n x 35 m ψ nx g ˆ / δxψ n x = E n ψ n x. 3 m / Ma l integrale con δx si annulla dato che la funzione è dispari ψ0 = ψ0 = 0, quindi ritroviamo la stessa equazione di Schrödinger che per il potenziale V 0. Ne segue che le autofunzioni dispari del primo sistema sono anche autofunzioni di questo nuovo sistema. Esercizio. Supponendo di avere uno stato ad energia negativa E < 0, partiamo dall equazione di Schrödinger nella regione / x / m ψ x = E + g m δx ψx. 37 a soluzione generale è del tipo e può quindi riscritta come ψx = c 1 e κx +c e κx, dove κ = me > 0, 38 ψx = Csinhκx+δ. 39 Imponendo che la funzione d onda si annulli ai bordi della buca otteniamo { Asinhκx+/ se / < x < 0 ψx = Bsinhκx / se 0 < x < /. Dalla continuità della funzione d onda nell origine otteniamo così 40 A = B. 41 e costanti possono essere fissate per normalizzazione non richiesta. Si ha κ A = sinhκ κ. 4 4

5 a condizione su g può essere ottenuta imponendo la discontinuità della derivata prima della funzione d onda nell origine: ˆ ǫ ψ x = ψ 0 + ψ 0 = g ψ0, 43 m ǫ m m da cui Questa equazione ha una soluzione unica se g > 4/. κ g = tanh κ. 44 5