Fisica Generale T2 - Prof. Mauro Villa CdL in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 11 Gennaio 2018 Scritto - Onde

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1 Fisica Generale T - Prof. Mauro Villa CdL in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 11 Gennaio 018 Scritto - Onde Esercizi: 1) Un onda armonica viaggia lungo una corda, lunga L = 3.7 m e di massa m = 750 g, tenuta tesa da una forza di modulo F = 10 N. L onda ha ampiezza A =.8 cm e frequenza ν = 3.9 Hz. Ignorando ogni effetto della forza peso, calcolare: 1) la velocità v di propagazione dell onda lungo la corda; ) la lunghezza d onda λ ; 3) l energia media per unità di lunghezza della corda (densità lineare di energia u); ) la potenza media P trasmessa dalla corda. ) In una regione di spazio vuoto sono simultaneamente presenti due onde elettromagnetiche, le cui equazioni sono: E 1 = E 0 cos(k y + ωt)( ı + k)/ E = E 0 cos(k y + ωt + π /)ı con E 0 = 100 V/m e ω = s 1. Determinare: 1) la lunghezza d onda λ delle due onde e la direzione di propagazione; ) l espressione del campo magnetico B dell onda risultante; 3) l intensità I dell onda risultante; ) a quale regione dello spettro elettromagnetico appartengono tali onde. Domande: 1) Spiegare il significato di impedenza meccanica o di impedenza per le onde elettromagnetiche. ) Spiegare con qualche esempio l effetto doppler. 3) In quali casi un mezzo su cui viaggiano le onde è detto dispersivo? Cosa significa? Fare qualche esempio. Avvertenze: non è consentito consultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accesi o spenti. Le risposte e le soluzioni devono essere espresse in termini dei simboli e dei dati specificati nel testo. Negli esercizi occorre spiegare i passi principali che conducono alle soluzioni. Nel caso servano, si usino i valori ϵ 0 = C /(Nm ) e μ 0 = π 10 7 Ns /C.

2 Svolgimenti e soluzioni: 1) 1. La velocità di propagazione di un onda è data da: T v = dove T è la tensione a cui è sottoposta la corda, ovvero la forza F. μ La densità lineare che appare nella relazione è μ = m L = 0.75 kg 3.7 m = 0. kg/m Quindi la velocità di propagazione è T v =. μ = 10 kg m /s 0. kg/m =.9 m s. La lunghezza d onda di un onda è data da: λ = vt dove T = π è il periodo di oscillazione dell onda. ω = 1 ν Allora λ = v.9 m /s = = 0.7 m = 7 mm. ν 3.9 1/s 3. L energia media della corda è data da E = 1 dove. μ A ω λ ω = πν = s Quindi la densità di energia u sarà: u = E λ = 1 μ A ω = 1 0. kg m (.8 10 ) m (06.7) 1 s = = kg m s = 3.35 J m. La potenza media trasmessa dalla corda è data da P = E T = 1 μ A ω λ T = 1 μ A ω v =

3 = 1 0. kg m (,8 10 ) m (06.7) 1 s.9 m s = 8.03 W ) 1. Sappiamo che la lunghezza d onda si esprime come λ = v dove v è la velocità di propagazione dell onda, che nel caso di onda ν elettromagnetica è c e ν è la frequenza. Sapendo che ω = πν, allora possiamo riscrivere la lunghezza d onda come λ = πc. ω = π3 108 m /s = mm /s La direzione di propagazione delle due onde è quella dell asse y e sono entrambe onde regressive, quindi il verso di propagazione è quello negativo ( ȷ).. Ricordiamo che il modulo del campo magnetico è legato a quello del campo elettrico dalla relazione: E = cb, quindi possiamo scrivere le due ampiezze così: B 1 = E 0 cos(k y + ωt)( k ı ) B = E 0 c cos(k y + ωt + π )k avendo ragionato sulle componenti di B considerando che esso deve essere perpendicolare sia alla direzione di oscillazione di E che a quella di propagazione delle onde. Allora, il campo magnetico dell onda risultante è B = B 1 + sviluppiamola ricordando anche la regola trigonometrica ( cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β) da applicare su, dove α = k y + ωt e β = π : B = E 0 cos(k y + ωt) ı + E 0 cos(k y + ωt) k + E 0 c cos(k y + ωt + π ) k B

4 B = E 0 c cos(k y + ωt) ı + E 0 c sin(k y + ωt) ı + E 0 cos(k y + ωt)k 3. L onda risultante risulta avere l espressione del campo elettrico data da E TOT = E 1 + E = E 0 cos(k y + ωt)( ı + k)/ + E 0 cos(k y + ωt + π /)ı sviluppiamola ricordando anche la regola trigonometrica ( cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β) da applicare su, dove α = k y ωt e β = π : E E TOT = E 0 cos(k y + ωt) ı E 0 sin(k y + ωt) ı + E 0 cos(k y + ωt)k Sappiamo che l intensità è data da: I = ϵ c (E0 ) m dove (E 0 ) m è il valor medio del quadrato dell ampiezza dell onda, allora andiamo a calcolare quest ultimo termine per tutte le componenti dell onda risultante: E 0 ı = ( E 0 cos(k y + ωt) ı E 0 sin(k y + ωt) ı ) = = E0 cos (k y + ωt) + E 0 sin (k y + ωt) E0 cos(k y + ωt)sin(k y + ωt) Il valor medio di questo termine, tenendo conto che il valor medio del seno e coseno è 1/ e quello del loro prodotto è 0, è (E 0 ı ) m = E 0 + E 0 0 = 5 E 0 Mentre, con le stesse considerazioni, per l altra componente abbiamo (E 0 ) k m = E 0 Quindi, in termini di intensità, avremo: I ı = ϵ c 5 e E 0 Ik = ϵ c E 0 Allora l intensità totale dell onda risultante è

5 I = I ı + Ik = ϵ c 3. E 0 = 8.85 C 10 1 Nm 3 m 108 s 3 V 10 m = 39.8 W Allo stesso risultato si arriva considerando il fenomeno dell interferenza nella componente lungo l asse x e, quindi, la relazione: I ı = I 1 + I + I 1 + I cos Δ dove I1 e I sono le due intensità relative al coseno e al seno, mentre Δ è la differenza di fase tra le due onde (nel nostro caso Δ = π ).. Dato che la lunghezza d onda trovata per entrambi le onde è λ = mm, possiamo dire che esse appartengono alla regione dello spettro elettromagnetico delle microonde. Inoltre, conoscendo la pulsazione dell onda, possiamo ricavarci la frequenza: ν = ω π 8 GHz che rientra nel range di frequenze delle microonde: [1 300] GHz.