MATEMATICA CORSO A I APPELLO 1 Giugno 2010 Soluzioni

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1 MATEMATICA CORSO A I APPELLO 1 Giugno 2010 Soluzioni 1. In un dato esperimento è noto che solo il 0% delle cavie disponibili verrà trattato con un farmaco A, tale percentuale è nota a meno di un errore assoluto del 3%. Disponendo di 200 cavie, tra quali valori sarà compreso il numero di quelle trattate con il farmaco A? Poiché la percentuale del 0% è nota a meno di un errore assoluto del 3%, la percentuale di cavie trattate con il farmaco A varierà tra il 37% e il 3%, ovvero il numero di cavie tra /100 = 7 e 200 3/100 = Un allele recessivo è responsabile di una certa malattia. Una coppia di genitori, entrambi portatori sani della malattia, ha figli: a) calcola la probabilità che almeno un figlio sia malato; b) calcola il numero atteso di figli malati per questa coppia. Poichè l allele responsabile della malattia è quello recessivo a, significa che gli individui malati avranno genotipo aa, i portatori sani (come i genitori) genotipo Aa e i sani genotipo AA. a) Per calcolare la probabilità che almeno un figlio sia malato, conviene calcolare la probabilità dell evento complementare, ovvero la probabilità che nessun figlio sia malato. La probabilità che un figlio sia malato (evento che accade se e solo se entrambi i genitori portano l allele a con probabilità 1/2 ciascuno) vale P(M) = = 1 quindi P(S) = 1 1/ = 3/. La probabilità che almeno uno dei quattro figli sia malato è allora ( ) 3 1 P(S) = 1 = = b) Indichiamo con X la variabile aleatoria che conta il numero di figli malati e scriviamo la sua distribuzione di probabilità (k = 0, 1, 2, 3,, ovvero i valori che può assumere la variabile aleatoria): P(X = k) = 1 ( k ) ( 1 ) k ( ) 3 k

2 Otteniamo quindi una distribuzione binomiale con parametro p = 1/ e n = ; il valor medio di X è allora E(X) = n p = 1 3. Fai un esempio di funzione f(x) che sia continua e crescente su tutto R, abbia limite per x + uguale a 3 e si abbia f(0) = 2. Una possibile funzione è quella che si ottiene a partire da g(x) = e x : essa è infatti crescente e continua su tutto R, ma il limite per x + vale 0. Per ottenere una funzione con tale limite uguale a 3 possiamo considerare la funzione f(x) = k e x + 3 con k parametro reale da determinare in base alla condizione f(0) = 2. Imponendo quest ultima condizione si ottiene f(0) = k + 3 = 2 k = 5 da cui f(x) = 5 e x + 3. Una ditta farmaceutica sostiene di produrre un nuovo farmaco contro il mal di testa che determina un sollievo istantaneo nel 90% dei casi. Mentre è noto che se una persona è trattata con un placebo si ottiene un sollievo istantaneo nel 5% dei casi. In un esperimento clinico, la metà dei soggetti è trattata con il farmaco, l altra metà con il placebo. a) Scegliendo un soggetto a caso in questa sperimentazione, calcola la probabilità che il soggetto abbia ottenuto un sollievo immediato. b) Sapendo che il soggetto, scelto a caso, ha ottenuto un sollievo immediato, calcola la probabilità che sia stato trattato con il farmaco. Indichiamo con P(FA) e con P(PL) le probabilità che una persona sia trattata con il farmaco e con il placebo rispettivamente. Siano poi P(SI) e P(NS) le probabilità che una persona abbia o non abbia un sollievo istantaneo. Dal testo si deduce: a) P(FA) = P(PL) = 1 2 P(SI FA) = P(SI) = P(FA)P(SI FA)+P(PL)P(SI PL) = P(SI PL) = = 7.5%

3 b) P(FA SI) = P(FA)P(SI FA) P(SI) = Supponi che la ditta farmaceutica (vedi esercizio ) abbia ragione e che il nuovo farmaco prodotto abbia efficacia nel 90% dei casi. Vengono trattati con questo farmaco 120 pazienti. a) Calcola la probabilità che la media campionaria di coloro che hanno tratto giovamento sia superiore a 0.8. b) Determina un intervallo, centrato intorno alla media teorica, in cui la media campionaria dei pazienti che hanno tratto giovamento andrà a trovarsi con probabilità c) Quanto grande dovrebbe essere il campione affinché la media campionaria si discosti dalla media teorica, in valore assoluto, per meno di 0.01 con probabilità 0.95? Indichiamo con X i (i = 1,...,120) la variabile aleatoria che vale 1 se la i-esima persona trae beneficio dal farmaco e 0 se la i-esima persona non trae beneficio. Si ha P(X i = 1) = 9 10 P(X i = 0) = 1 10 ed inoltre µ i = E(X i ) = 9 10 σ i = V ar(x i ) = 3 10 La media campionaria è la variabile aleatoria M = X 1 + X X che ha media µ M = µ i = 9/10 = 0.9 e deviazione standard σ M = σ i / a) P(M > 0.8) = 1 P(M 0.8) Standardizzando il valore 0.8 si ha 1 P(M st < ) = 1 P(Mst < 3.7) 1 b) Dobbiamo trovare k > 0 in modo che P( M µ M k) = 0.95 P( k+µ M M k+µ M ) =

4 Standardizzando il valore k+µ M e ricordando (o guardando sulle tavole) che si ottiene una probabilità 0.95 con estremi 1.96 e 1.96 si ha k + µ M µ M = 1.96 k = Quindi l intervallo sarà [0.87, 0.953]. c) Dobbiamo trovare la dimensione del campione n in modo che P( M n µ M 0.01) = 0.95 dove M n è la variabile aleatoria media campionaria che ha media 0.9 e deviazione standard 0.3/ n. P( µ M M n µ M ) = 0.95 Standardizzando il valore µ M e ricordando (o guardando sulle tavole) che si ottiene una probabilità 0.95 con estremi 1.96 e 1.96 si ha µ M µ M 0.3/ n = 1.96 n Supponi che la concentrazione c(t) di un farmaco nel sangue al tempo t soddisfi la seguente equazione differenziale dc dt = 0.1 e 0.3 t per t 0 a) Risolvi l equazione differenziale nell ipotesi che alla lunga non rimanga nessuna traccia del farmaco nel sangue. b) Disegna il grafico di c(t). c) Quanto tempo occorrerà affinché la concentrazione raggiunga la metà del suo valore iniziale? a) Per risolvere l equazione differenziale è sufficiente una semplice integrazione (k R) c(t) = 1 10 e (3/10) t dt = 1 3 e (3/10) t + k Per trovare la soluzione particolare del testo dobbiamo determinare k e per questo imponiamo che lim c(t) = 0 t + da cui k = 0 e c(t) = 1 3 e (3/10) t

5 b) Il grafico della funzione (anche per tempi negativi) è nella figura sottostante. c) Il valore iniziale della concentrazione è c(0) = 1/3 quindi c(t) = e (3/10) t = 1 6 t = 10 3 ln2 5