Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari

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1 Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale Enrico Saltari

2 La frontiera efficiente con N titoli rischiosi Nel caso esistano N titoli rischiosi, con N 2, il problema della determinazione del portafoglio ottimale può essere formulato nei seguenti termini. Funzione obiettivo Minimizzarelavarianza,σ 2 : minσ 2 =α T Σα La minimizzazione è soggetta a due vincoli. 2

3 Vincolo Inprimoluogo,lasommadellequotediportafogliodeveesserepariad: u T α= Vincolo 2 Insecondoluogo,èdatoilrendimentoattesodelportafoglio,µ,dicuisiintende minimizzare la varianza: I simboli hanno il seguente significato. E T α=µ Tutte le lettere in grassetto rappresentano vettori colonna. L apice ( T sta ad indicarechesitrattadiunvettoreriga. 3

4 αèilvettoredellequotediportafoglio. [ α ] Nelcasodi2titoliessoè α 2. Eèilvettoredeirendimentiattesideititoli. Nelcasodi2titoliessoèE[ Rs R 2s ] = [ µ µ 2 ].Cioè,E(R S =E uèilvettorecompostosoltantoda. Nelcasodi2elementiessoè [ ]. Σ=E [ (R S E(R S E T] èlamatricedellevarianze-covarianze. Nelcasodi2titoliessaè 4

5 E[( Rs µ R 2s µ 2 ( Rs µ R 2s µ 2 ] = [ σ 2 ρσ σ 2 ρσ σ 2 σ 2 2 ]. Procedura di soluzione La procedura di soluzione consiste di 3 passi:. Determinazione delle quote di portafoglio attraverso la soluzione del problema di ottimo vincolato; 2. Determinazione del valore del moltiplicatore di Lagrange; 3. Determinazione dell equazione della frontiera efficiente. Lagrangiano Se formiamo il lagrangiano: L= 2 αt Σα+λ ( u T α +γ ( µ E T α 5

6 e differenziamo rispetto α, otteniamo: ovvero L α =Σα λu γe=0 Σα=λu+γE Portafoglioottimale( Lequoteottimalidiportafoglioα sono α =λσ u+γσ E Per ottenere i valori dei moltiplicatori λ e γ, utilizziamo i due vincoli sostituendovi lequote ottimaliα appenadeterminate. Poiché la sommadelle quote di portafoglio deve essere pari a e il rendimento atteso del portafoglio è µ, otteniamo = u T α =λu T Σ u+γu T Σ E µ = E T α =λe T Σ u+γe T Σ E Definiamo ora i seguenti scalari: 6

7 A=u T Σ u,b=u T Σ E,C=E T Σ E. Allora, il precedente sistema si può riscrivere come λa+γb = λb+γc = µ oinformamatricialecome [ A B B C ][ λ γ ] = [ µ ] Moltiplicatori(2 I valori dei moltiplicatori λ e γ sono λ= D (C µb, γ= D (Aµ B, cond AC B2 Frontiera(3 Sostituendogliα ottimalieivalorideimoltiplicatorinell equazione della varianza e utilizzando le due equazioni dei vincoli, si ha σ 2 = α T Σα =α T (λu+γe = λ+γµ= ( Aµ 2 2Bµ+C D 7

8 Questa è l equazione della frontiera quando sono presenti solo titoli rischiosi. Esempio Definite la frontiera efficiente in presenza di soli titoli rischiosi e scrivete l equazione corrispondente. Sul mercato sono presenti soltanto due titoli rischiosi. La matrice delle varianze-covarianze e il vettore dei rendimenti attesi di questi due titoli siano quelli indicati qui di seguito. Σ= ( 2,E= Ricavate l equazione della frontiera efficiente. (.2. Risposta Calcoliamo l inversa della matrice delle( varianze-covarianze. Il determinante è Σ =, mentre l aggiunta è Σ + 2 =, sicché l inversa 8

9 è Σ = Σ Σ+ = ( 2 Calcoliamo i parametri dell equazione della frontiera efficiente A = u T Σ u= ( ( 2 B = u T Σ m= ( ( 2 ( C = m T Σ m= (.2. ( 2 D = AC B 2 = =0.0 = (.2 =.2. (.2. L equazione della frontiera efficiente è perciò Aµ σ= 2 2Bµ+C =0 µ 2 2.4µ+.45 D =.45 9

10 .4 Rendimento atteso Deviazione standard 0

11 La frontiera efficiente con N titoli rischiosi e titolo non rischioso Supponiamo ora che accanto agli N titoli rischiosi esista un titolo privo di rischio. Indichiamolarelativaquota di portafoglio conα 0 econ R 0 il suo rendimento. Poichélasommadellequoteècomunqueparia,α 0 = u T α.ilrendimento del portafoglio può allora essere espresso come µ=α 0 R 0 +E T α= ( u T α R 0 +E T α Vincolo Il vincolo per questo problema è perciò µ R 0 =(E R 0 u T α Il lagrangiano diviene allora L= 2 αt Σα+γ [ µ R 0 (E R 0 u T α ]

12 e la minimizzazione comporta ovvero L α =Σα γ(e R 0u=0 Σα=γ(E R 0 u Portafoglio ottimale( Le quote ottimali di portafoglio sono perciò α =γσ (E R 0 u, α 0 = ut α Utilizziamo il vincolo per determinare il valore del moltiplicatore µ R 0 = (E R 0 u T α =(E R 0 u T γσ (E R 0 u = γ ( AR 2 0 2BR 0+C Moltiplicatore(2 da cui γ= µ R 0 AR 2 0 2BR 0+C 2

13 Dalla definizione della varianza e dal vincolo otteniamo così σ 2 = α T Σα =α T (E R 0 uγ = γ(µ R 0 e sostituendo il valore del moltiplicatore prima ricavato, otteniamo infine σ 2 = µ R 0 AR 2 0 2BR 0+C (µ R 0 Frontiera(3 L equazione della frontiera efficiente in questo caso è una retta µ=r 0 ±σ AR0 2 2BR 0+C Esempio SupponetecheiltassodiinteresseprivodirischiosiaR 0 =. Utilizzandoidati della precedente domanda, determinate l equazione della frontiera efficiente. 3

14 Risposta Poiché l equazione della frontiera efficiente è µ=r 0 ±σ AR0 2 2BR 0+C otteniamo subito µ=+σ A 2B+C=+3.65σ Il portafoglio di tangenza Nel portafoglio di tangenza il titolo privo di rischio non viene detenuto e perciò α 0 =0.Inaltreparole,lasommadellequotediportafoglioditangenza,α T dei titolirischiosièparia: =u T α T Se sostituiamo in questa equazione le quote ottimali prima ricavate, 4

15 Portafoglio ottimale( α =γσ (E R 0 u determiniamo il valore del moltiplicatore per il portafoglio di tangenza u T α T ==u T Σ (E R 0 uγ=(b AR 0 γ Moltiplicatore(2 e perciò γ T = B AR 0 Portafoglio di tangenza(3 Le quote del portafoglio di tangenza sono quindi α T = B AR 0 Σ (E R 0 u Avendoricavatoα T,possiamodeterminaremediaevarianzadelportafoglio di tangenza. 5

16 Inparticolare,dalvincolodeterminiamol eccessodirendimentoatteso,µ t R 0 µ T R 0 = (E R 0 u T α T =(E R 0 u T Σ (E R 0u B AR 0 = AR2 0 2BR 0+C B AR 0 Dalla definizione di varianza, otteniamo σ 2 T = αt T Σα T = = AR2 0 2BR 0+C (B AR 0 2 (B AR 0 2(E R 0u T Σ ΣΣ (E R 0 u Esempio Utilizzando i dati della precedente domanda, determinate la composizione del portafoglio di tangenza, nonché il rendimento atteso e lo scarto quadratico medio. 6

17 Risposta Impiegando la formula, otteniamo α T = Σ (E R 0 u= B AR ( 0 ( = 0. = 0.2 ( Lamediaè µ T = R 0 + AR2 0 2BR 0+C B AR 0 = + A 2B+C = B A 0.2 =.25 mentre lo scarto quadratico medio è σ T = AR2 0 2BR 0+C (B AR 0 2 = =.2 7

18 .4 Rendimento atteso Deviazione standard 8

19 Una derivazione alternativa della frontiera in presenza di soli titoli rischiosi Invece di determinare esplicitamente il valore del moltiplicatore di Lagrange per calcolare le quote di portafoglio di tangenza, possiamo procedere nel seguente modo. Partiamo dalla condizione per la determinazione delle quote ottimali di portafoglio sicché L α =Σα γ(e R 0u=0 Σα=γ(E R 0 u che riscriviamo come γ Σα=E R 0u 9

20 Definiamo adesso una nuova variabile y Sostituendo, avremo perciò lacuisoluzioneè y= α γ Σy=E R 0 u y=σ (E R 0 u Per ottenere le quote ottimali del portafoglio di tangenza, è sufficiente ora normalizzare le nuove variabili, vale a dire gli elementi del vettore, in modo tale chelalorosommasiaparia α i = y i u T y = y i yi 20

21 Per verificare l uguaglianza appena scritta, è sufficiente qualche passaggio algebrico α T = u T y y= u T( Σ (E R 0 u Σ (E R 0 u= = Σ (E R 0 u B AR 0 Inoltre, sono sufficienti due portafogli di tangenza per generare l intera frontiera. Il motivo è che la combinazione lineare convessa di due portafogli di tangenza dàluogoaunaltroportafoglioditangenza. Supponiamoinfatticheα X eα Y siano due portafogli che giacciono sulla frontiera. Allora per questi portafogli deve essere vero che x = Σ (E R X u; α Xi = x i u T x = x i xi y = Σ (E R Y u; α Yi = y i u T y = y i yi dove R i per i = X,Y indica il tasso di interesse privo di rischio relativo ai dueportafogliditangenzax ey.moltiplicandolaprimaequazionepera(una costante,lasecondaper aesommando,otteniamo ax+( ay=σ [E (ar X +( ar Y u] 2

22 Ponendo z = ax+( ay dato che la somma dei pesi è uguale a e ar X +( ar Y =R Z,possiamoscrivere z=σ [E R Z u];α Zi = z i u T z = z i zi Esempio PoniamoR X ugualeaer Y paria.5. Ipesidelvettorexsonoallora x = Σ (E R X u= ( ( = 0. ( = ( Normalizzando a questi pesi dividendo per la loro somma, otteniamo (.5 α X = = 0.5 che sono gli stessi pesi ottenuti in precedenza per il portafoglio di tangenza. 22

23 RipetiamooralestesseoperazioniconR y.abbiamo eperciò y = Σ (E R Y u ( ( = 0.05 α y = ( = = ( ( Se calcoliamo media e volatilità dei due portafogli, otteniamo: σ X =.2,µ X =.25 σ Y = 2.24,µ Y =.4 Qualunque altro portafoglio può essere ottenuto da una combinazione lineare di X e Y. Ad esempio, quello rappresentato dal punto blu in figura è ricavato pesando ilportafogliox conunpesodi0.6ey con0.4 α Z =0.6 ( ( = (

24 Il rendimento medio di questo portafoglio è perciò oppure µ Z =E T α z = (.2. ( 2.. =.3 mentre la sua volatilità è oppure σ Z = = σ Z = = µ Z = α X µ X +α Y µ Y = α T Z Σα Z= = =.3 ( 2.. ( 2 α 2 X σ2 X +2α xα y σ XY +α 2 yα 2 y= ( = =.49 ( ( 2 = 2.2=.49 (

25 .4 Rendimento atteso.3.2 (s X, µ X (s Y, µ Y. 0 2 Deviazione standard 25

26 La determinazione dei coefficienti beta Le condizioni di ottimo relative al portafoglio di tangenza possono essere utilmente riscritte nel seguente modo L α T = Σα T γ(e R 0 u = cov T γ(e R 0 u=0 Ilvettoredellecovarianzecov T diciascunodeititoliconilportafoglioditangenza èperciò Utilizzando le condizioni di ottimo cov T =γ(e R 0 u Σα T =(E R 0 uγ possiamo riscrivere la varianza del portafoglio di tangenza come σ 2 T = αt T Σα T =α T T (E R 0uγ = (µ T R 0 γ 26

27 perchéperilportafoglioditangenzaµ T =α T T Eelasommadellequoterelative aititolirischiosièparia,α T Tu=.Eliminandoγ dalleultimedueequazioni, ricaviamo i beta ovvero cov T = σ2 T µ T R 0 (E R 0 u E R 0 u=(µ T R 0 cov T σ 2 T =(µ T R 0 β T SML Elemento per elemento i beta si possono scrivere come µ i =R 0 +(µ T R 0 β i Questa è l equazione della linea di valutazione delle attività. 27

28 Esempio SupponiamoancoracheiltassodiinteresselordoprivodirischiosiaR 0 =.In questo caso il portafoglio di tangenza è (.5 α T = 0.5 eibetasono β= cov T σ 2 T = (.2 2Σα T =0.8 2 ( = ( Si noti che per i titoli presenti nel portafoglio di tangenza le relazioni espresse dalla linea di valutazione delle attività valgono con esattezza, senza i residui tipici delle regressioni: µ =.2=R 0 +β (µ T R 0 =+0.8(.25 µ 2 =.=R 0 +β 2 (µ T R 0 =+0.4(.25 28

29 Una derivazione alternativa dei coefficienti beta Poiché i beta sono per definizione i coefficienti di regressione che hanno come regressore il portafoglio di tangenza, per un qualsiasi portafoglio o titolo Z non necessariamente efficiente possiamo scrivere, assumendo che il portafoglio di tangenzasiaα X β = cov(α Z,α X var(α X = E[ α T Z (R S E(R S E T α TX E [ α T TX (R S E(R S E T ] α TX ] = αt Z Σα TX α T X Σα TX Usiamoorailprocedimentoprimavisto. Definiamounanuovavariabilex= α γ. Dalle condizioni di ottimo γ Σα=E R Xu Σy=E R X u 29

30 Per ottenere le quote ottimali del portafoglio di tangenza, è sufficiente ora normalizzarelenuovevariabilix T inmodotalechelalorosommasiaparia α i = x i u T x = x i Seα T èilportafoglioditangenza,siavràperciò xi x=σ (E R X u;α T = u T x x Sostituendo, otteniamo β T = α T Z Σ u T x x α T X Σ = u T x x = αt Z (E R Xu α T X (E R Xu α T Z Σ u T x Σ (E R X u α T Y Σ u T x Σ (E R X u Ricordandocheα T Z E=µ Z echeα T X E=µ X,ricaviamo ovvero µ Z R X =β X µ X R X µ X =R X +β X (µ X R X 30

31 Esempio SupponiamocheiltassodiinteresselordoprivodirischiosiaR 0 =echeperciò il portafoglio di tangenza sia ( α T.5 = 0.5 Perottenereibetadeiduetitoli,poniamoperilprimotitolounportafogliopari ( ( 0 a eperilsecondo.alloraibetadeiduetitolisono 0 β = αt Z Σα TX α T X Σα TX β 2 = αt Z Σα TX α T X Σα TX = = ( 0 ( 2 ( 0 ( 2 ( =0.8 ( =0.4 3