Applicazioni. Lezione 13 1

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1 Applicazioni Lezione 13 1

2 Generalità 1/2 Reti considerate: Reti passive con ingressi costanti o sinusoidali I contributi associati alle condizioni iniziali sono dei transitori I contributi associati agli ingressi sono in parte transitori, in parte termini a regime Lezione 13 2

3 Generalità 2/2 Contributo all uscita dell ingresso: funzione trasferimento Y( s) = H( s) S( s) uscita ingresso I poli dell uscita derivano dai poli della funzione di trasferimento H(s) e dai poli dell ingresso S(s) Lezione 13 3

4 Proprietà poli uscita I poli della funzione di trasferimento H(s) sono i poli di rete e danno luogo a transitori I poli dell ingresso S(s) danno luogo ai termini di regime I contributi dei poli di ingresso coincidono con i contributi di regime e possono essere calcolati in modo più semplice (senza antitrasformare) con il calcolo fasoriale Lezione 13 4

5 Esempio con ingresso costante 1/6 Calcolare la corrente i(t) erogata dopo l apertura dell interruttore Rete nel dominio del tempo Ingresso: costante 12V Lezione 13 5

6 Esempio con ingresso costante Condizioni iniziali: 2/6 Induttore è corto circuito Condensatore è circuito aperto 1 vc (0 ) = 12 = 4 V il (0 ) = i(0 ) = = 4 A 3 Lezione 13 6

7 Esempio con ingresso costante 3/6 Trasformata E(s) dell ingresso e(t)=12 volt 12 et () = 12V Es ( ) = s impedenza dell induttore di 1H: s impedenza del condensatore di 0.1F: 10/s Lezione 13 7

8 Esempio con ingresso costante 4/6 Rete nel dominio di Laplace si ottiene: Razionale fratta ( 2) ( ) s s s + I s = = s + s + 2s+ 10 s 2 Lezione 13 8

9 Esempio con ingresso costante Antitrasformazione I( s) = 5/6 s 2 4( s + 2) + 2s+ 10 non esiste polo nell origine dell ingresso: il termine di regime è nullo! Poli di rete complessi coniugati s1,2 = 1± 1 10 = 1± j3 Residuo 4( s + 2) 4( 1+ j3 + 2) 2 R[ s ] = = = 2 j 1 Lezione s ( 1+ j3)

10 Esempio con ingresso costante 6/6 si ottiene il transitorio cisoidale: 4( s + 1) st 1 I( s) = 2Re{ R[ s 2 1] e } = s + 2s+ 10 t 4 = it ( ) = e [4cos(3 t) + sin(3 t)] 3 Lezione 13 10

11 Esempio con ingresso sinusoidale 1/9 Calcolare la tensione i(t) erogata dopo la chiusura dell interruttore Rete nel dominio del tempo Ingresso: sinusoidale o et () = 2sin(3t+ 30) ω = 3 rad / s Lezione 13 11

12 Esempio con ingresso Condizioni iniziali: sinusoidale 2/9 Prima della chiusura dell interruttore c è regime sinusoidale e la rete viene rappresentata nel dominio dei fasori Il generatore vale E = 2 je j 30 o Induttore (non è corto circuito) ha impedenza j3 Lezione 13 12

13 Esempio con ingresso sinusoidale 3/9 0 j30 2 je 6 8 IL = = ( + j ) e 4 + j jω t i () t = Re[ I e ] = L L Lezione j = ω + + ω i (0 ) = Re[ I ] = [ A] L 0 0 cos( t 30 ) sin( t 30 ) L 0

14 Esempio con ingresso sinusoidale 4/9 Trasformata degli ingressi: o et ( ) = 2sin(3t + 30 ) = 3 sin(3 t) + cos(3 t) 3 s 3 3+ s E( s) = 3 + = s + 9 s + 9 s V s rete nel dominio di Laplace impedenza dell induttore di 1H: s Lezione 13 14

15 Esempio con ingresso sinusoidale 5/9 rete nel dominio di Laplace si ottiene (sovrapposizione degli effetti): Es ( ) il (0 ) s 5 I( s) = + = 4 + s 2 s s s (2 + s)(3 3 + s) i (0 ) 5 = + L 2 Lezione 13 2(4 + 3 s)( s + 9) 4 + 3s 2(4 + 3 s) 15

16 I( s) c è solo un polo di rete in s o =-4/3. Il transitorio è dato dal suo contributo Residuo Esempio con ingresso Antitrasformazione sinusoidale 6/9 (2 + s)(3 3 + s) i L (0 ) 5 2 2(4+ 3 )( + 9) (4+ 3 ) = + s s s s si ottiene il transitorio: (2 + s )(3 3 + s ) i (0 ) 5 Rs ( ) = + = o o o L 2 2 3( so + 9) i ( t) = e st o = e t 4 t /3 Lezione 13 16

17 Esempio con ingresso sinusoidale Termine di regime I( s) 7/9 (2 + s)(3 3 + s) i L (0 ) 5 2 2(4+ 3 s)( s + 9) 4+ 3s 2(4+ 3 s) = + Invece di calcolare i residui, è più veloce calcolare direttamente i termini di regime. principio di sovrapposizione degli effetti i () t = i' () t + i" () t p p p non c è contributo in continua sull uscita i' ( t ) = 0 p Lezione 13 17

18 Esempio con ingresso sinusoidale 8/9 per il contributo in alternata I o j30 2 je " p = = j ( j3) 2 Lezione 13 18

19 Esempio con ingresso o sinusoidale 9/9 j30 2 je I" p = = j ( j3) 2 i ( t) = cos(3 t) sin(3 t) p Espressione finale: it () = i() t + i() t = t 4 t /3 = e + p cos(3 t) sin(3 t), t > 0 Lezione 13 19

20 Reti nel dominio delle frequenze Lezione 13 20

21 Trasformate di Fourier Lezione 13 21

22 Scopo Si consideri il circuito con ingresso arbitrario Lezione 13 22

23 Rappresentazione di segnali con Integrale di Fourier sinusoidi f ( t) F ( ω)cos[ ωt ϕ( ω)] dω f ( t) dω = + = 0 M 0 ω ogni funzione è somma di (infinite) sinusoidi elementari: pulsazione f t F t ω () = M ( ω)cos ω + ϕ( ω) Valor massimo [ ] fase Lezione 13 23

24 Modulo e Fase delle sinusoidi 1/2 = f () ( )cos[ ( )] 0 ω ω t = F ω ω M t + ϕ ω f () t f () tdω le funzioni rappresentabili con integrale di Fourier sono le distribuzioni temperate (segnali) la pulsazione varia in generale con continuità da zero ad infinito Lezione 13 24

25 Modulo e Fase delle sinusoidi 2/2 il valor massimo e la fase delle sinusoidi elementari sono funzioni della pulsazione e si calcolano con la formula 1 jϕ( ω) jωt F = F ( ω) e = f ( te ) dt ω M π Lezione 13 25

26 Trasformate di Fourier Lezione 13 26

27 Rappresentazione nel tempo Rappresentare con integrale di Fourier l impulso rettangolare f() t = ut ( + 1) ut ( 1) Lezione 13 27

28 Rappresentazione nelle pulsazioni Risulta f () t = fω () tdω 0 [ ] fω () t = FM ( ω)cos ωt + ϕ( ω) M 1 1 jω t sin( ω) Fω = e dt = π 1 F sin( ω) ( ω) = 2, ϕω ( ) = 0, π πω 2 π ω Lezione 13 28

29 Approssimazione con intervallo finito Approssimazione dell integrale di Fourier Nei casi pratici l intervallo di integrazione infinito 0 ω viene approssimato con un intervallo di integrazione 0 ω Ω finito ma continuo Ω =10 2 contraccolpo= SinInt[ π ] = π Ω = 20 f () t = f () tdω fω() tdω 0 ω 0 Ω Lezione 13 29

30 Numero finito di pulsazioni 1/2 Approssimando successivamente l integrale con una somma, il numero di sinusoidi che rappresenta un segnale è finito Ω Ω h = 0 ω 0 ω i= 0 f () t f () t dω f () t dω h f () t l impulso rettangolare è approssimato con sinusoidi con pulsazioni equispaziate di h ih Ω / h Lezione 13 30

31 Numero finito di pulsazioni 2/2 l impulso rettangolare è approssimato con sinusoidi con pulsazioni equispaziate di h Ω / h Ω = 20 h = 1/10 Contraccolpo indipendente da h e da Ω Il segnale in rosso è la sovrapprosizione di 200 sinusoidi elementari equispaziate (a partire dalla pulsazione nulla) di 0.1 rad/s Lezione 13 31

32 Trasformate di Fourier Lezione 13 32

33 Descrizione Calcolare l uscita di una rete con ingresso costituito da un segnale arbitrario Approssimare gli ingressi con funzioni sinusoidali elementari Calcolare l uscita relativa ad ognuna delle sinusoidi elementare con il metodo dei fasori Sommare le uscite cosi ottenute Il procedimento è esatto se le funzioni elementari sono infinite cioè sono riferite a tutte le pulsazioni variabili con continuità da zero ad infinito Lezione 13 33

34 Integrale e Trasformata di Fourier 1/2 Da un punto di vista matematico è preferibile introdurre l integrale di Fourier nella forma: 1 jω t f () t = F( ω) e dω 2π si introducono anche pulsazioni negative! Lezione 13 34

35 Integrale e Trasformata di Fourier 2/2 viene definita la seguente trasformata di Fourier: jω t F ( ω) = f ( t) e dt la trasformata di Fourier è in sostanza il fasore associato alla sinusoide elementare presente nel segnale [ ] fω () t = FM ( ω)cos ωt + ϕ( ω) Lezione 13 35

36 Serie di Fourier 1/2 Se il segnale f(t) è periodico di periodo T: f(t+t)=f(t) la trasformata di Fourier è costituita da infiniti impulsi: jω t F( ω) = f ( t) e dt = 2 π F δ( ω mω ) m= 2π 1 T jmωo t dove : ωo =, Fm = f ( t) e dt T T o m o Lezione 13 36

37 Serie di Fourier 2/2 L integrale di Fourier diviene una serie: la serie di Fourier f () t = F e jm ω o m m= Le funzioni sinusoidali elementari presenti nel segnale si chiamano armoniche e costituiscono un insieme discreto (ancorchè infinito) anzichè continuo. t Lezione 13 37

38 Spettri di segnali 1/2 Si definiscono due spettri: spettro di ampiezza lo spettro di ampiezza molte volte si esprime in db lo spettro di ampiezza si misura con l analizzatore di spettro (la misura è in db) spettro di fase F ( ω) F ( ω) Lezione 13 38

39 Spettri di segnali 2/2 Lo spettro (di ampiezza) può essere: continuo: nella trasformata di Fourier non esistono impulsi a righe nella trasformata di Fourier son presenti solo impulsi (esempio negli spettri delle funzioni periodiche) misto Lezione 13 39

40 Banda di segnali 1/2 Teoricamente un segnale contiene tutte le frequenze da zero ad infinito In pratica ci si limita a considerare solo gli intervalli di frequenza dove gli spettri di ampiezza sono significativi Tali intervalli definiscono le bande del segnale Lezione 13 40

41 Banda di segnali 2/2 Il segnale il cui spettro è indicato in rosso ha una banda B più stretta di quella B 1 del segnale con spettro indicato in nero Lezione 13 41

42 alezione13.nb 1 Impulso triangolare u@t_d = UnitStep@tD; f@t_d = tu@td tu@t 1D; Plot@f@tD, 8t, 1, 3<D ! Graphics! Fω@ω_D = $$$$ 1 1 π t Exp@ I ω td 't 0 1 +% & ω H1 +&ωl ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( πω 2 Calcolare il valore efficace Hin dbl alle frequenze fo = 0, f1 = 1 MHz f2 = 1 GHz Fo = Limit@Fω@ωD, ω 0D êên F1 = Fω@2 πd êên & F1000 = Fω@2 π 1000D êên & FodB = 20 Log@10, Abs@FoDD

43 alezione13.nb 2 F1dB = 20 Log@10, Abs@F1DD F1000dB = 20 Log@10, Abs@F1000DD Gli analizzatori di spettro misuramo i db dei valori efficaci. Quindi : Foe = FodB F1e = F1dB F1000e = F1000dB Plot@Abs@Fω@ωDD, 8ω, 0, 10<D ! Graphics! FωdB = 20 Log@Abs@Fω@ωDDD;

44 Plot[FωdB,{ω,0,10}] !Graphics!

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