Esame di Matematica e Abilità Informatiche - Settembre Le soluzioni

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Leona Conte
4 anni fa
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1 Esam d Matmatca Abltà Informatch - Sttmbr 03 L soluzon. Data la funzon f( ) a. trova l domno d f b. scrv, splctamnt pr stso, qual sono gl ntrvall n cu f() rsulta postva qull n cu rsulta ngatva c. dtrmna l vntual ntrszon con gl ass d. studa l comportamnto dlla funzon agl strm dl suo domno, dtrmnando vntual asntot; (gustfcar rsultat d t). calcola la drvata prma scrv, splctamnt pr stso, qual sono gl ntrvall n cu la funzon è crscnt qull n cu è dcrscnt, scrvndo s c sono vntual massm o mnm rlatv o flss a tangnt orzzontal f. dsgna un grafco approssmatvo n un opportuno sstma d rfrmnto a) La funzon è l prodotto dlla funzon y -/(), ch è dfnta pr tutt valor d trann ch 0, dlla funzon sponnzal y, ch è dfnta pr tutt valor d. Prtanto l domno d f è dato dall nsm D { R 0} (-, 0) (0, + ). b) Studamo l sgno d du fattor -/() d y. Il prmo è postvo pr < 0 (, qund, è ngatvo pr >0). Il scondo è smpr strttamnt postvo: S ha dunqu ch f() > 0 pr < 0 f() < 0 pr > 0. c) Innanztutto non v può ssr alcuna ntrszon con l ass y n quanto l punto 0 non appartn al domno. L ntrszon con l ass sono dat dall soluzon dl sstma y y 0 Dobbamo dunqu rsolvr l quazon 0

2 ch non è ma soddsfatta prché ntrszon con du ass. è strttamnt postva. Non c sono dunqu d) Dobbamo rsolvr sgunt quattro t: Comncamo col prmo. Il prmo fattor tnd a -, mntr motvo Rguardo al scondo t, l fattor tnd a. Qund + 0 tnd a. Pr qusto tnd a + quando tnd a 0 -, mntr +. La rtta 0 è qund un asntoto vrtcal, sa a dstra ch a snstra d 0. Rguardo al trzo t, notamo ch + + ch pr ch tnd a + s ha una forma ndtrmnata - /. Possamo dunqu applcar l torma d d l Hôptal: ( ) () Analogamnt, pr ch tnd a -, dato ch +, + s ha smpr una forma ndtrmnata /. Utlzzando, com nl caso prcdnt, l torma d d l Hôptal s ha: ( ) () +. Non v sono dunqu asntot orzzontal. ) Utlzzando la formula dlla drvata d un rapporto, s ha ch f ( ) ( ) ( ) ( ). Dunqu, poché fattor sono smpr postv, s ha ch

3 f ( ) > 0 > 0. La dsquazon > 0 è quvalnt a < 0. Essa è vrfcata pr < <. Prtanto, tnuto anch conto dl domno, f rsulta crscnt pr < < 0 oppur 0 < <, dcrscnt pr < oppur > : f () > 0: D consgunza f ha un mnmo nl punto d ascssa d ascssa. Trovamo l corrspondnt ordnat: un massmo nl punto d f,7 analogamnt s trova ch f,7. Qund l mnmo d l massmo sono, rspttvamnt, punt A B d coordnat A, B, N.B. S not ch nl punto d ascssa 0 non v è, com s sarbb portat a crdr dall anals dl grafco n alto, un flsso a tangnt orzzontal; nfatt tal punto non appartn al domno qund non ha nmmno snso parlar d ch tpo d punto sso sa (massmo, mnmo, flsso, cc.) dato ch la funzon n tal punto non è propro dfnta. f) Tnndo conto ch 0, 70, possamo rapprsntar l mnmo A d l massmo B, oltr ch l asntoto vrtcal 0. A tal fn scglamo un sstma d rfrmnto opportuno, con du untà d msura dvrs sull ass sull ass y, pr mglorar la vsbltà dl dsgno. Tnndo anch conto ch l grafco dv star sopra l ass (coè f è postva) pr < 0 sotto l ass (coè f è ngatva) pr > 0, gungamo al sgunt grafco:

5 . Data la funzon f ( ) + a) trova una prmtva d f b) trova l quazon dlla rtta r tangnt al grafco d f nl punto d ascssa 0 0 a) Notamo nnanztutto ch ( + )d d + d d +. Rsta dunqu da rsolvr l ntgral ndfnto d con la formula d ntgrazon pr part. S ha: d ( )d () d d Prtanto una prmtva d f è la funzon F() +. b) La rtta r ha quazon y m + q. Ora, coffcnt angolar è dato da m f ( 0 ) f (0). C srv dunqu trovar prma la drvata d f. S ha f () () + ( ) +. Prtanto m f (0) l quazon dlla rtta è ora dlla forma y + q, con q ancora da trovar. Pr dtrmnar l ntrctta q, trovamo l coordnat dl punto P 0 ( 0,y 0 ) d tangnza dlla rtta con l grafco d f. Sappamo ch l ascssa d P 0 è 0 0, mntr la sua ordnata è (dato ch l punto P 0 appartn al grafco dlla funzon) y 0 f ( 0) 0 +. Imponamo ch P 0 r y q coè 0 + q, da cu q. Prtanto l quazon dlla rtta r è y +.

6 3. Vn ffttuata una ndagn statstca sul numro d goal subt dal portr d una squadra d calco nll ultm trnta partt. Il portr ha subto 4 goal n tr dll trnta partt dsputat, 3 goal n altr cnqu partt, goal n stt partt, goal n altr dc partt, non ha subto goal nll rmannt cnqu partt. Calcolar la mda, la mdana la dvazon standard d goal subt dal portr nll trnta partt dsputat. Rapprsntamo dat dl problma n una tablla dll frqunz: frqunza goal subt (n pratca la tablla rassum quanto dc la tracca dll srczo: l portr ha subto 4 rt con una frqunza d 3 partt, 3 rt n 5 partt, cc.). Possamo dunqu calcolar la mda d goal subt utlzzando la tablla dll frqunz: mda ,7. Pr calcolar la mdana d goal subt, possamo dsporr n ordn crscnt dat Poché l numro d dat è 30 (numro par), pr calcolar la mdana scglamo dat al 5 6 posto coè, n calcolamo la mda: + mdana, 5. Allo stsso rsultato potvamo gungr n manra pù drtta, snza lncar tutt trnta dat, ma solo calcolando l 5 6 dato, anch autandoc con la tablla dll frqunz. Infn, la varanza è data da dalla formula

7 Var f + + f 5 5 f ( ) dov f 3, f 5, f 3 7, f 4 0, f 5 5 dnotano l frqunz 4, 3, 3, 4, 5 0 sono dat (con rfrmnto alla tablla n alto), 7 è la mda (trovata prma). Calcolamo dunqu gl scart, utlzzando la sgunt tablla: f ( ) f ( ) 3 4,3 5,9 5,87 5 3,3,69 8,45 7 0,3 0,09 0,63 0-0,7 0,49 4, ,7,89 4,45 La sommatora 5 f ( ) è data dalla somma dll ultma colonna nlla tablla n alto: 5 f ( ) 5,87 + 8,45 + 0,63 + 4,9 + 4,45 44,3. D consgunza Var 44,3 / 30,48 la sua radc quadrata è dv stand,48,.

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