Nome..Cognome. classe 3D 26 Gennaio Verifica: Parabola e circonferenza

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1 Nome..Cognome. classe D Gennaio 0 erifica: Parabola e circonferenza. Dai la definizione di parabola. Considera la parabola di fuoco F(,) e direrice r:, deermina: a) l equazione dell asse b) le coordinae del verice (puni: ). Deermina le equazioni di due parabole che hanno il verice comune (; ), passano per il puno (; 0) e hanno gli assi paralleli agli assi caresiani. Rappresena le curve rovae e specifica se si raa di funzioni. (puni: ). Trova la rea angene alla parabola di equazione + + parallela alla rea di equazione 0. Indicando con T il puno di angenza, con il verice della parabola e con il puno di inconro della rea angene con l asse, calcola l area del riangolo T. (puni: ). Deermina l equazione della parabola con asse parallelo all asse, con verice (0;) e passane per (-; ). Successivamene rova l equazione della rea angene alla parabola in e scrivi l equazione della circonferenza con cenro C sull asse e angene in alla rea. (puni:,). Scrivi l equazione della parabola con asse parallelo all asse delle ordinae, angene in (;0) alla rea di coefficiene angolare e passane per B(;). Deermina sull arco B di parabola un puno P in modo che risuli: PH + PM essendo PH e PM le disanze di P dall asse e dalla rea +0. (puni:,). Traccia il grafico della funzione f ( ) + 8. a) Deermina il dominio D e l insieme delle immagini Imf b) Considerando f : D Im f specifica se si raa di una funzione inieiva (giusifica la risposa). (puni:,). Trova l equazione della funzione rappresenaa. a) Deermina Dominio e insieme delle immagini b) Calcola l immagine di c) Calcola le conroimmagini di. (puni:,)

2 Soluzioni verifica D Gennaio 0 ) Dai la definizione di parabola. Considera la parabola di fuoco F(,) e direrice r:, deermina: a) l equazione dell asse b) le coordinae del verice (puni: ) 8 La parabola è il luogo dei puni P del piano equidisani da una rea dea direrice e un puno deo fuoco L asse di simmeria è la rea passane per il fuoco, perpendicolare alla direrice: m ( ) + Il verice è il puno medio del segmeno FH, dove H è il puno di inersezione ra asse e direrice: H : + : + H F ) Deermina le equazioni di due parabole che hanno il verice comune (; ), passano per il puno (; 0) e hanno gli assi paralleli agli assi caresiani. Rappresena le curve rovae e specifica se si raa di funzioni. 8 La parabola con asse vericale appariene al fascio di equazione: a( ), per deerminare a, è sufficiene imporre il passaggio per 0 a ( ) a ( ) + E una funzione, poiché ad ogni reale corrisponde una e una solo. La parabola con asse orizzonale appariene al fascio di equazione: a( ), per deerminare a, è sufficiene imporre il passaggio per a (0 ) a

3 ( ) + Non è una funzione, poiché ad ogni reale o all inerno di un dominio NON corrisponde una e una solo. ) Trova la rea angene alla parabola di equazione + + parallela alla rea di equazione 0. Indicando con T il puno di angenza, con il verice della parabola e con il puno di inconro della rea angene con l asse, calcola l area del riangolo T. T La angene richiesa ha m il puno di angenza si può deerminare imponendo ' + 0 T (0;), di conseguenza : + Il verice della parabole è ( ; ). Per deerminare l area del riangolo: ( ) + ( ) 0 T T T L alezza è la disanza ra la rea e il verice ( ) + h T h rea ( T ) ) Deermina l equazione della parabola con asse parallelo all asse, con verice (0;) e passane per (-; ). Successivamene rova l equazione della rea angene alla parabola in e scrivi l equazione della circonferenza con cenro C sull asse e angene in alla rea. 0 8 C La parabola appariene al fascio di equazione: a, per deerminare a, è sufficiene imporre il passaggio per a a + La rea angene in alla parabola ha coefficiene angolare dao da: '( ) ( ) : ( + ) + Il cenro della circonferenza da deerminare è il puno di inersezione ra l asse delle ordinae e la rea r passane per perpendicolare a : m r r : ( + ) + 0 C : + 0 Il raggio della circonferenza è: C +

4 La circonferenza ha equazione: ) Scrivi l equazione della parabola con asse parallelo all asse delle ordinae, angene in (;0) alla rea di coefficiene angolare e passane per B(;). Deermina sull arco B di parabola un puno P in modo che risuli: PH + PM essendo PH e PM le disanze di P dall asse e dalla rea +0. (puni:,) La parabola ha equazione del ipo : a + b + c, i parameri devono soddisfare alle segueni condizioni: a parabola a + b + c 0 B parabola a + b + c b m ( ) a + b c + Il puno P sull arco B della parabola ha coordinae P k; k + k con k Quindi PH k PM k + k + La relazione imposa dal problema divena la seguene equazione: k k k + k + k k k Il puno P ha quindi le segueni coordinae: P ; non H acceabile acceabile P M B ) Traccia il grafico della funzione f ( ) + 8. a) Deermina il dominio D e l insieme delle immagini Imf b) Considerando f : D Im f specifica se si raa di una funzione inieiva (giusifica la risposa). (puni:,) Per racciare l grafico della funzione si può ignorare il modulo e poi ribalare rispeo all asse le pari negaive

5 C(;) R D [ ; ] Im f [ 0; ] Considerando f : D Im f la funzione non è inieiva, poiché esisono valori del codominio che hanno più di una conroimmagine. ) Trova l equazione della funzione rappresenaa. a) Deermina Dominio e insieme delle immagini b) Calcola l immagine di c) Calcola le conroimmagini di. (puni:,) La funzione rappresenaa è definia a rai, in paricolare in [ ; ] è una semicirconferenza di cenro (-; ) e raggio ( + ) + ( ) ( ) ( + ) Considerando la semicirconferenza con si oiene ( + 8 ; + è una semiparabola con asse orizzonale, verice (-; ) passane per (;) menre in [ ) + a( ) imponendo il passaggio per il puno di coordinae (;) a + ( ) ) + a ( ) Considerando la semiparabola con si oiene + + La funzione risula quindi: > Con D [ ; + ) Im f [ 0; + ) L immagine di è il valore che la funzione assume quando, poiché in la funzione ha come espressione la semiparabola, sosiuisco il valore nella seconda espressione f ( ) + Le conrimmagini di sono le evenuali alle quali corrisponde ; dal grafico si osserva che ciò si verifica per valori sulla semicirconferenza che si possono rovare risolvendo: ±