Poi occorre il calore acquisito dal gas. Analizziamo le tre trasformazioni ricordando che il lavoro è l area sottesa: int

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1 apitolo Soluzioni. Il lavoro complessivo sarà l area del ciclo nel piano: L ( V V )( P P ) J.0 0 J Poi occorre il calore acquisito dal gas. Analizziamo le tre trasformazioni ricordando che il lavoro è l area sottesa: E L [ ( P V ) ( )] P( V V ) ( ) E L [ ( P V ) ( P V )] ( ) Per il lavoro di - si deve calcolare l area di un trapezio con segno negativo: L [ ( P P)( V V )] [ ( ) ( )] E L P V Il gas riceve calore solo nel tratto -, quindi: L P P V V. Indichiamo con V V, V V, V V, P P P, P P. Per il calcolo del rendimento ci occorre il lavoro eseguito dal ciclo, che è pari all area da esso racchiusa nel piano pressione-volume: ( )( ) ( )( ) L base altezza V V P P V V P P Poi occorre il calore acquisito dal gas. Analizziamo le tre trasformazioni ricordando che il lavoro è l area sottesa, quindi per - e - si deve calcolare l area di un trape- zio: L L [ ( P P)( V V )] P V 9 E L [ ( P V ) ( )] ( ) 9 E L [ ( P V ) ( P V )] ( ) E L [ ( ) ( P V )] P( V V ) ( ) ome si vede il gas riceve calore solo durante -: Sostituendo nell espressione per : P P V V

2 L Per il calore ceduto si ha: ( ) (.000.0)J.0 J. MJ. Dalla definizione di rendimento quale rapporto fra lavoro eseguito e calore ricevuto si ha che per ogni joule ricevuto in forma di calore il motore restituisce 0.0J in lavoro. Per erogare 00J ogni secondo in lavoro dobbiamo allora fornirgliene ogni secondo in calore: 00J/s 00J/s 0.0 he in un ora corrispondono a: 00 J/s 00 s/h.7m J/h P P V V. Se preleva 00J in calore significa che restituisce in lavoro ogni ciclo: 00 L J 0J Poiché un ciclo dura.00 s abbiamo la potenza: 0J.0 J /s.0w.00s. Per il calcolo del rendimento ci occorre il lavoro eseguito dal ciclo, che è pari all area da esso racchiusa nel piano pressione-volume: L ab ( V V ) ( P P) Dividiamo il ciclo nella metà superiore dell ellisse in cui il volume aumenta, ed in quella inferiore in cui diminuisce: tratti - e poi -, con V V, P P, V V, P P. Per la metà superiore il lavoro del gas sarà dato dall area del rettangolo che ha per base l asse maggiore (V-V) ed altezza fino al valore di pressione corrispondente a metà ellisse (P+P)/, più metà ellisse: L ( V V ) ( P P) (8 ) E L ( P V ) (8 ) (0 ) Per la metà inferiore avremo per il lavoro l area del rettangolo meno mezza ellisse, il tutto preso con segno negativo: L [( V V ) ( P P) ] (8 ) E L ( P V ) (8 ) ( 0 ) Per il rendimento: L L 0.7 (0 ) P P V A B V 7. I due cicli eseguono lo stesso lavoro dato che racchiudono la stessa area del piano pressione volume: L base altezza Il maggior rendimento compete allora a quello che riceve meno calore per funzionare. ome abbiamo visto nel problema svolto nel testo, i cicli composti da isocore ed isobare ricevono calore solo nei tratti in cui aumenta il volume od in quelli in cui aumenta la pressione. Dovremo quindi calcolare il calore solo nei tratti di isocora in

3 salita (quelli di sinistra) e nei tratti di isobara in espansione (quelli superiori. Per il ciclo A risulta: 0 isocora isocora isocora E L isobara isobara isobara E L P( V V ) A Per il ciclo B si ha: isocora isocora isocora E L 0 ( ) isobara isobara isobara E L P V P V P V V B Pertanto è più conveniente il ciclo A essendo: L A A B 8. Dall equazione di stato ricaviamo: T K 7K nr.0 8. L B T T K 8K nr.0 8. nrt P Pa 8.70 Pa V.000 Il gas riceve calore solo nei tratti - e -. Risulta: E L ( ) ( P P ) V (8.7.0) J.8 0 J E L nrt ln( V / V ) nrt ln( V / V ).08.8ln(.00/.00)J.0 0 J Mentre il lavoro complessivo sarà quello lungo l isoterma - più quello (negativo) lungo l isobara -: L L L nrt ln( V / V ) P ( V V ) [ (.00.00) 0 ]J 0. 0 J L L 0. 0 (.8.0) Durante il ciclo si ha lavoro esclusivamente quando il volume cambia, cioè lungo - (positivo) e - (negativo). Lungo la prima trasformazione risulta: L P ( V V ) P( V V ) E ( P V ) 9 E L Lungo la trasformazione isocòra - abbiamo L 0J ed inoltre: E ( P V P V ) 9 9 E L Lungo l isoterma - abbiamo: nrt costante ed inoltre:

4 L nrt ln( V / V ) nrt ln( V / V ) nrt ln(/ ) nrt ln ln E L ln Il rendimento risulta: L L L ln ln ln 0.80 / 0. Il lavoro eseguito dal gas nel ciclo è pari all area racchiusa: L ( V V )( P P) ( ) Il gas riceve calore solo nei tratti - e -: E L ( PV P) P( V V ) ( ) E L ( ) ( ) ( )( ) L ( ) ( ) ( ) he è una funzione omografica y ( ax b) /( cx d) di asoto orizzontale y a/ c /, valore al quale il rendimento sta sempre sotto.. L efficienza è il rapporto calore su lavoro (calcolarla un ciclo o in un ora è lo stesso se in un ora si hanno molti cicli): calore prelevato 7000 J k.00 lavoro ricevuto L L In un ora dobbiamo quindi fornire al condizionatore il lavoro: L (7000/.00)J.0 0 J a questo corrisponde una potenza:.00 J 7 W 00s 8 In ogni ciclo, ricordando che quando si applica il primo principio il soggetto è il condizionatore e dobbiamo cambiare segno al lavoro da noi eseguito su di esso: E L L 0 L ( )J 800 J Pertanto ogni secondo in media il condizionatore cede all esterno un calore: 800 J J /s 00s 9.0k J k 0. J. Trasformiamo il calore assorbito ogni secondo dall esterno in unità SI: BTU BTU k J k J/h. 00 s. k J/ s.kw h h BTU h L efficienza è il rapporto calore su lavoro (in un ciclo o in un secondo è lo stesso): calore prelevato. kw.00s k. lavoro ricevuto L kw.00s. alcoliamo il calore ceduto all esterno ad ogni ciclo tramite il primo principio L + ricordando che se il soggetto è il dispositivo, L.0 kj 0 (ricevuto), 0 (ricevuto) e 0. kj 0 (ceduto): L (.0 kj) ( 0. kj) 8. kj Da questi si ha l efficienza del condizionatore:

5 calore prelevato 8. k J k.0 lavoro ricevuto L.0 k J Per avere la potenza dissipata dividiamo il lavoro che il dispositivo riceve in un ciclo per la durata del ciclo stesso: L.0 kj potenza 00 W durata ciclo 0.0 s. alcoliamo il lavoro L ricevuto ed il calore ceduto alla miscela di acqua e ghiaccio: k L m (8.) k J.8 0 J f k L ( ) k J. 0 J Per il calore prelevato risulta: L L (.8.) 0 k J.0 0 k J Da questi si ha l efficienza del frigorifero: calore prelevato.00 k J k.8 lavoro ricevuto L.0 k J 7. Il motore a disposizione ha un rendimento teorico massimo di: T 7 K 0.8 T 7 K il minimo calore da fornire è quello che con tale rendimento permette di eseguire un lavoro di 0J : L 0 J J 9 J In questa centrale solo un terzo dell energia della fissione dell uranio viene convertita in energia elettrica, tuttavia un impianto di arnot che lavorasse fra le stesse due temperature avrebbe un rendimento: T 8 K 0. T K uesto valore rappresenta un limite superiore per il rendimento di qualsiasi centrale nucleare a fissione si voglia costruire nei pressi di quel fiume. E considerati gli inevitabili attriti che riducono il rendimento ideale, ci pare che ottenendo 0.0 gli ingegneri abbiano svolto un lavoro egregio. 9. Il motore ha un rendimento: T (7 0.0) K 9K 0.70 T (7 80.0) K K Detta T la nuova temperatura della sorgente calda, dovremo allora avere: T T 9 K T K T 0.70 quindi dobbiamo aumentare la temperatura di K K 9K 9 0. Il motore ha un rendimento: L 0J 00J Pertanto fra la temperatura della sorgente calda e quella fredda sussiste la relazione:

6 T T T T T T Eseguire lo stesso lavoro prelevando due terzi del calore significa chiedere che il rendimento aumenti fino a: 0 J (00 J) 8 Detta T la nuova temperatura della sorgente calda, dovremo allora avere: T T 8 8 T T T T T 8 T 8 L incremento percentuale risulta allora: T T T T 00% 00% 00% 0% T T. alcoliamo il calore da sottrarre al latte per ottenere il gelato: esso si compone di tre contributi. Innanzitutto abbiamo il calore da sottrarre per portare il latte alla tempera- tura di solidificazione 7 K mc(0.0 ) (.008.0)J.7 0 J poi c è il calore da sottrarre per solidificare il latte: m (. 0.00)J. 0 J ed infine il calore per portare la temperatura a.00 : 00K 0J A 0J 00K 00K 0J B 0J 0J 0J 00K mc( ) ( )J J per un totale di:.7 0 J. 0 J J.98 0 J Il minimo lavoro necessario per sottrarre al latte questo calore è quello svolto da un ciclo frigorifero di arnot che lavori fra le due temperature : T ( 7) K 8 K e T (.0 7) K 08 K. La sua efficienza vale: T 8 K k.70 T T 08 K 8 K che è pari anche al rapporto / L, cioè il frigorifero di arnot può sottrarre al latte.70j di calore con ogni Joule di lavoro ricevuto. Da questo risulta che il lavoro minimo per fare il gelato vale:.980 J L 7. 0 J k.70. Il dispositivo A è un motore che non può esistere perché, pur rispettando il primo principio: L 0J 0J 0J viola apertamente il secondo, dato che il suo rendimento supera quello di una macchina di arnot che lavori fra le stesse temperature. L 0 T 00 0 T 00. Il dispositivo B è un frigorifero possibile, che rispetta sia il primo principio: L 0J 0J 0J

7 sia il secondo, essendo la sua efficienza inferiore a quella di una macchina frigorifera di arnot che lavori fra le stesse temperature: 0 T 00 k k L 0 T T Il dispositivo non è né un motore né un frigorifero: preleva calore da due sorgenti a temperatura diversa e lo converte in lavoro. uesto apparecchio rispetta il primo principio, poiché il calore entrante equivale al lavoro prodotto: L 0J 0J 0J ma non può esistere perché così tutto il calore prelevato dalla sorgente a 00 K sarebbe trasformato in lavoro, ed analogamente diverrebbe lavoro tutto il calore prelevato dalla sorgente a 00 K, in aperta violazione della formulazione di Kelvin del secondo principio. 00K 0J 0J 0J 00K. In un ora viene sottratto alla stanza il calore (0000)J.7 0 J, e questo grazie al lavoro L 70 Wh, che, trasformato in joule risulta L 70 W00 s/h J. L efficienza del condizionatore vale:.70 J k.9, L.7000 J mentre per un frigorifero ideale che lavori fra T 9K e T 0 K si avrebbe: T 9K k 9. T T 0K 9K. Un motore di arnot fra le due sorgenti assegnate avrebbe un rendimento: T 0 0. T 0 Per produrre 00J di lavoro ogni ciclo deve prelevare dalla sorgente calda: L 00 J J 0. e cedere alla sorgente fredda la differenza: L ( 00)J J Il motore reale cede il doppio di questo calore, cioè J e quindi preleva dalla sorgente calda: L ( 00)J J con un rendimento: L Un ciclo frigorifero di arnot ha efficienza: T 7 0 k 9. T T (7 0) (7 0) Dalla definizione di efficienza abbiamo: k calore prelevato lavoro ricevuto L k ( ) ( k ) 7

8 00 J 9. J k Sappiamo che una macchina reversibile a due sorgenti ha rendimento pari a quello di un motore di arnot. Poiché una miscela di acqua e ghiaccio alla pressione atmosferica ha temperatura 7 K, risulta: T T 00 sappiamo anche che risulta: 0.8 ( 0.7) alcoliamo il calore ceduto alla sorgente fredda in un ciclo: L mt ( )J.00 0 J f ciclo e da questo abbiamo:.000 J. 0 J 0.7 Dal primo principio si ha il lavoro eseguito ogni ciclo: L ( )J. 0 J e considerando che questo lavoro viene fornito in.0 s otteniamo la potenza erogata: L t ciclo.0 J / s.87 kw.0 9. alcoliamo l energia che incide sul frigo ogni secondo: 000W/m (.00 m ).00 kw.00 k J/s Se vogliamo che il gelato non si scaldi, il frigorifero deve prelevare dal gelato questo stesso calore ogni secondo ed immetterlo nell atmosfera. L efficienza di un frigorifero di arnot che operi fra.00 9K e.0 08K risulta: T 9K k.90 T T 08K 9K Ricordando il significato dell efficienza di un frigorifero: calore prelevato k L k lavoro ricevuto L Il rapporto fra calore prelevato e lavoro fornito in un ciclo sarà lo stesso che mediamente avremo ogni secondo. Pertanto potrà prelevare ogni secondo.00 k J 0.00 kj se ogni secondo gli si fornisce un lavoro: L k ( ) k J.k J Al frigorifero occorre quindi una potenza minima di. kw 8